Hochheben von Kurven in positiver Charakteristik nach ... - D-BSSE
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Def<strong>in</strong>ition 1. Ist C e<strong>in</strong>e Kurve über e<strong>in</strong>em beliebigen Körper k und s :Spec(k) −→ C e<strong>in</strong> k-rationaler Punkt, so heiße s e<strong>in</strong> k-rationaler Knoten<strong>von</strong> C, falls ÔC,s ∼ = k[[x, y]]/(xy).Ist C e<strong>in</strong>e Kurve über e<strong>in</strong>em R<strong>in</strong>g R und s : Spec(R) −→ C e<strong>in</strong> R-rationaler Punkt, so heiße s e<strong>in</strong> R-rationaler Knoten <strong>von</strong> C, falls für allep ∈ Spec(R) der zugehörige κ(p)-rationale Punkt s p : Spec(κ(p)) −→ C p e<strong>in</strong>κ(p)-rationaler Knoten <strong>in</strong> der Faser C p <strong>von</strong> C über p ist. (Dabei ist κ(p) derRestklassenkörper <strong>in</strong> p.)E<strong>in</strong>e Kurve heiße schließlich e<strong>in</strong>e m-fache Knotenkurve, falls ihre e<strong>in</strong>zigenS<strong>in</strong>gularitäten m Knoten s<strong>in</strong>d.Bemerkung 4. Dem Beweis <strong>von</strong> Lemma 6 entnehmen wir, daß wann immere<strong>in</strong>e ebene, aff<strong>in</strong>e Kurve C = C f über e<strong>in</strong>em beliebigen Körper durch e<strong>in</strong>eGleichung f = 0 gegeben ist und f 2 <strong>in</strong> teilerfremde L<strong>in</strong>earformen zerfällt,P = (0, 0) e<strong>in</strong> Knoten <strong>von</strong> C f ist.Beispiel 2. Sei R zunächst e<strong>in</strong> beliebiger R<strong>in</strong>g und t ∈ R. Wir betrachtendie ebene, aff<strong>in</strong>e Kurve C = C ft = Spec(R[x, y]/(f t )), def<strong>in</strong>iert durchDie partiellen Ableitungen <strong>von</strong> f s<strong>in</strong>df = f t = x 2 + txy − y 2 − y 3 .f x = 2x + ty, f y = tx − 2y − 3y 2 ,f xx = 2, f xy = t, f yy = −2 − 6y.Der Punkt (0, 0) ist <strong>in</strong> jedem Fall e<strong>in</strong> s<strong>in</strong>gulärer Punkt <strong>von</strong> C. Um zu prüfen,ob er e<strong>in</strong> Knoten ist, wollen wir Lemma 5 heranziehen und berechnenf xx (0, 0) · f yy (0, 0) = −4 und f xy (0, 0) 2 = t 2 .Der Punkt (0, 0) ist also genau dann e<strong>in</strong> Knoten, wenn <strong>in</strong> allen Fasern <strong>von</strong> Cgilt. Konkreter:a) R = Z.t 2 ≠ −4Dann gilt für alle t ∈ Z, daß (0, 0) ke<strong>in</strong> Knoten <strong>von</strong> C ist, weil eszu jedem t ∈ Z e<strong>in</strong>e Pr<strong>in</strong>zahl p mit t 2 ≡ −4 (mod p) gibt, d.h. <strong>in</strong>m<strong>in</strong>destens e<strong>in</strong>er Faser <strong>von</strong> C ist (0, 0) ke<strong>in</strong> Knoten.b) R = Z[ √ −5].Dann ist (0, 0) genau dann e<strong>in</strong> Knoten, wenn t = ± √ −5 ist. Es giltnämlich genau dann t 2 ≢ −4 (mod p) für alle Primzahlen p, wennt 2 +4 = ±1 ist, d.h. wenn t = ± √ −5 ist (beachte √ −3 ∉ R = Z[ √ −5]).21