Hochheben von Kurven in positiver Charakteristik nach ... - D-BSSE

Im Grad n schließlich ist die Gleichungh n−1 l 1 + g n−1 l 2 = f n − ∑g i h j (f n = 0 für n > d)i+j=nin h n−1 und g n−1 zu lösen.Es ist also ÔC,P = k[[x, y]]/(gh). Weil g und h mit linear unabhängigen,linearen Termen beginnen, gibt es einen Automorphismus von k[[x, y]], der gauf x und h auf y abbildet. Dieser induziert einen Isomorphismusk[[x, y]]/(gh) ∼ = k[[x, y]]/(xy). (1)Sei nun umgekehrt ein solcher Isomorphismus gegeben. Wir bemerkenzunächst, daß f nicht irreduzibel sein kann in k[[x, y]], denn dann wäre (f)ein Primideal (weil k[[x, y]] ein faktorieller Ring ist) und somit k[[x, y]]/(f) ∼ =k[[x, y]]/(xy) nullteilerfrei, was ja offensichtlich nicht der Fall ist. Es ist alsof = gh mit formalen Potenzreihen g, h ∈ k[[x, y]], die beide keine Einheitensind, also mit linearen Termen beginnen:g = g 1 + g 2 + g 3 + . . .h = h 1 + h 2 + h 3 + . . .mit deg g i = deg h i = i. Daraus folgt, daß f 1 = g 0 h 1 + h 0 g 1 = 0 ist.Nehmen wir nun an es wäre f 2 = l 2 mit einer Linearform l ∈ k[x, y]. Danngibt es eine zu l teilerfremde Linearform q ∈ k[x, y]. Nach einem linearenKoordinatenwechsel können wir l(x, y) = x und q(x, y) = y annehmen. DerIsomorphismus (1) induziert dann einen Isomorphismusk[[x, y]]/(f, y) ∼ = k[[x, y]]/(xy, y) ∼ = k[[x, y]]/(y) ∼ = k[[x]].Nun ist aber k[x, y]/(f, y) ein endlich-dimensionaler k-Vektorraum (weil f =x 2 + f 3 (x, y) + · · · + f d (x, y) und y teilerfremd sind) und daher auch dieKomplettierung k[[x, y]]/(f, y). Für k[[x]] ist dies aber offenbar nicht derFall, im Widerspruch zu obigem Isomorphismus.Bemerkung 3. Allgemeiner hängt die Multiplizität eines Punktes auf einerKurve nur vom lokalen Ring in diesem Punkt ab ([Ful, 3.2, Thm. 2]). Daherist die Zahl µ P (C) auch für eine projektive Kurve C wohldefiniert.Geometrisch sieht eine ebene, affine Kurve in der Nähe eines Knotens alsoso aus wie der Schnitt zweier Geraden. Diese Charakterisierung veranlaßt unszur folgenden20