Hochheben von Kurven in positiver Charakteristik nach ... - D-BSSE

Dann ist per Definition P genau dann ein Knoten, wenn (a 1 , b 1 ) ≠ λ(a 2 , b 2 )für alle λ ∈ k ∗ , d.h. a 1 b 2 ≠ a 2 b 1 .Andererseits verschwinden alle 2. Ableitungen der f i im Punkt P = (0, 0)für alle i ≥ 3. Daher gilt:f xy (P ) 2 ≠ f xx (P ) f yy (P ) ⇐⇒ (f 2 ) xy (P ) 2 ≠ (f 2 ) xx (P ) (f 2 ) yy (P )⇐⇒ (a 1 b 2 + a 2 b 1 ) 2 ≠ 2a 1 a 2 · 2b 1 b 2⇐⇒ (a 1 b 2 − a 2 b 1 ) 2 ≠ 0.Das typische Beispiel eines Knotens ist der Punkt (0, 0) auf der (reduziblen)KurveC xy = Spec(k[x, y]/(xy)).Das folgende Lemma zeigt, daß die Eigenschaft Knoten zu sein lokal ist, d.h.nur von der Komplettierung des lokalen Ringes in diesem Punkt abhängt.Lemma 6. Ein Punkt P der ebenen, affinen Kurve C ist genau dann einKnoten, wennÔ C,P∼ = k[[x, y]]/(xy)als k-Algebren.Beweis. Sei o. E. P = (0, 0) ∈ C = C f . Das C definierende Polynom f seivon der Form f(x, y) = f 1 (x, y) + f 2 (x, y) + · · · + f d (x, y), f i homogen vomGrad i. Der Punkt P ∈ C ist genau dann ein Knoten, wenn f 1 = 0 ist undf 2 in teilerfremde Linearfaktoren l 1 und l 2 zerfällt.Sei P ein Knoten. Wir haben die kompletten, lokalen RingeÔ C,P = k[[x, y]]/(f) und ÔC xy,(0,0) = k[[x, y]]/(xy)als isomorph nachzuweisen. Dazu konstruieren wir zunächst schrittweise formalePotenzreiheng = l 1 + g 2 + g 3 + . . .h = l 2 + h 2 + h 3 + . . .mit deg g i = deg h i = i derart, daß f = gh in k[[x, y]] ist. Um g 2 und h 2 zubestimmen hat man die Gleichungh 2 l 1 + g 2 l 2 = f 3zu lösen. Dies ist möglich, weil l 1 und l 2 das maximale Ideal (x, y) ⊂ k[[x, y]]erzeugen. Aus dem selben Grund kann man g 3 und h 3 so finden, daßh 3 l 1 + g 3 l 2 = f 4 − g 2 h 2 .19