Hochheben von Kurven in positiver Charakteristik nach ... - D-BSSE

3 Ebene Knotenkurven3.1 KnotenIn diesem Abschnitt soll der Begriff des Knotens auf einer Kurve erläutertund charakterisiert werden.Wir betrachten zunächst ebene, affine Kurven über einem algebraischabgeschlossenen Körper k. Ist f ∈ k[x, y] ein Polynom, so bezeichnen wir diedurch die Gleichung f = 0 definierte ebene, affine Kurve mitC f := Spec (k[x, y]/(f)) .Sei P = (a, b) ein Punkt von C := C f und T (x, y) := (x + a, y + b) dieTranslation, die den Nullpunkt in den Punkt P verschiebt. Sei f T (x, y) :=f(x + a, y + b) das Polynom, das die verschobene Kurve C f T definiert. Wirschreibenf T = f r + f r+1 + · · · + f d , f r ≠ 0,mit den homogenen Komponenten f i vom Grad i und nennen die Linearfaktorenvon f r die Tangenten von C im Punkt P . Die Zahlµ P (C) := µ (0,0) (C f T ) := rheißt die Multiplizität von P auf C. Ein beliebiger Punkt Q liegt genau dannauf C, wenn µ Q (C) > 0. Ferner sind die Punkte Q mit µ Q (C) > 1 genau diesingulären Punkte von C. Ein Doppelpunkt ist ein Punkt der Multiplizität2. Ein Doppelpunkt heißt gewöhnlich, wenn zusätzlich die beiden Tangentenverschieden sind, d.h. f 2 zerfällt in teilerfremde Linearfaktoren. GewöhnlicheDoppelpunkte heißen auch Knoten. Ist f T = ∏ g i die Faktorisierung von f Tin seine irreduziblen Komponenten, so ist µ P (C f ) = ∑ µ (0,0) (C gi ).Es bezeichne f x := ∂f die (formale) partielle Ableitung von f nach x,∂xf xy := (f x ) y . Wir werden die folgende Charakterisierung von Knoten benutzen:Lemma 5. Sei P ein Doppelpunkt auf der Kurve C = C f . Dann ist P genaudann ein Knoten, wenn f xy (P ) 2 ≠ f xx (P ) f yy (P ).Beweis. Die obige Diskussion zeigt, daß wir P = (0, 0) annehmen dürfen. Seialsof = f 2 + · · · + f d , f i homogen vom Grad i, f 2 ≠ 0.Wir schreibenf 2 = (a 1 x + b 1 y) (a 2 x + b 2 y), a i oder b i ≠ 0, i = 1, 2.18