Hochheben von Kurven in positiver Charakteristik nach ... - D-BSSE

Weitere Magazine

Empfehlungen

Info

ist als induktiver Limes von freien Moduln flach.Alle bisherigen Überlegungen gelten genauso für t −1 an Stelle von t, dawir nur vorausgesetzt haben, daß t transzendent über K ist und F/K(t) eineseparable Erweiterung ist. Also ist auch der ganze Abschluß R t −1 von O v [t −1 ]in F ein flacher O v -Modul und damit˜P 1 O v= Spec(R t ) ∪ Spec(R t −1),entlang (Spec(O v [t, t −1 ]))˜ verklebt, flach über Spec(O v ).Bemerkung 2. Wir haben eingangs schon erwähnt, daß man mehr über diezu einer eigentlichen Menge von Konstantenreduktionen V assoziierten O v -KurveSpec(R t ) ∪ Spec(R t −1)(t ein Element mit der Eindeutigkeitseigenschaft für V ) weiß. In der Tat giltmit den obigen Bezeichnungen ([G-M-P2, Theorem 1.1])Spec(R t ) ∪ Spec(R t −1) ∼ = Proj ⊕ m≥0L w (mD).Aber auch über den ganzen Abschluß R t des Ploynomringes O v [t] übereinem (beliebigen) Bewertungsring O v in einer endlichen, separablen ErweiterungF/K(t) ist mehr bekannt: Nach Lemma 1 ist R t ein endlicher O v [t]-Modul. Dies ist nach [Kna, Theorem 3.1] (s. auch [G-M-P2, Lemma 1.2])bereits äquivalent dazu, daß R t ein freier O v [t]-Modul vom Rang [F : K(t)]ist. Daraus folgt insbesondere die Flachheit von R t über O v .17
3 Ebene Knotenkurven3.1 KnotenIn diesem Abschnitt soll der Begriff des Knotens auf einer Kurve erläutertund charakterisiert werden.Wir betrachten zunächst ebene, affine Kurven über einem algebraischabgeschlossenen Körper k. Ist f ∈ k[x, y] ein Polynom, so bezeichnen wir diedurch die Gleichung f = 0 definierte ebene, affine Kurve mitC f := Spec (k[x, y]/(f)) .Sei P = (a, b) ein Punkt von C := C f und T (x, y) := (x + a, y + b) dieTranslation, die den Nullpunkt in den Punkt P verschiebt. Sei f T (x, y) :=f(x + a, y + b) das Polynom, das die verschobene Kurve C f T definiert. Wirschreibenf T = f r + f r+1 + · · · + f d , f r ≠ 0,mit den homogenen Komponenten f i vom Grad i und nennen die Linearfaktorenvon f r die Tangenten von C im Punkt P . Die Zahlµ P (C) := µ (0,0) (C f T ) := rheißt die Multiplizität von P auf C. Ein beliebiger Punkt Q liegt genau dannauf C, wenn µ Q (C) > 0. Ferner sind die Punkte Q mit µ Q (C) > 1 genau diesingulären Punkte von C. Ein Doppelpunkt ist ein Punkt der Multiplizität2. Ein Doppelpunkt heißt gewöhnlich, wenn zusätzlich die beiden Tangentenverschieden sind, d.h. f 2 zerfällt in teilerfremde Linearfaktoren. GewöhnlicheDoppelpunkte heißen auch Knoten. Ist f T = ∏ g i die Faktorisierung von f Tin seine irreduziblen Komponenten, so ist µ P (C f ) = ∑ µ (0,0) (C gi ).Es bezeichne f x := ∂f die (formale) partielle Ableitung von f nach x,∂xf xy := (f x ) y . Wir werden die folgende Charakterisierung von Knoten benutzen:Lemma 5. Sei P ein Doppelpunkt auf der Kurve C = C f . Dann ist P genaudann ein Knoten, wenn f xy (P ) 2 ≠ f xx (P ) f yy (P ).Beweis. Die obige Diskussion zeigt, daß wir P = (0, 0) annehmen dürfen. Seialsof = f 2 + · · · + f d , f i homogen vom Grad i, f 2 ≠ 0.Wir schreibenf 2 = (a 1 x + b 1 y) (a 2 x + b 2 y), a i oder b i ≠ 0, i = 1, 2.18
Seite 1 und 2: DiplomarbeitHochheben von Kurvenin
Seite 4 und 5: 1.2 Anwendung: Die algebraische Fun
Seite 6 und 7: Besteht T wieder aus den n verschie
Seite 8 und 9: Wir werden sehen, daß man eine Kur
Seite 10 und 11: Sei F eine endliche Körpererweiter
Seite 12 und 13: (ii) Die Kategorie F Ov• deren Ob
Seite 14 und 15: Sei nun A = O v ein diskreter Bewer
Seite 16 und 17: Divisorengruppen f ∗ : Div(P 1 K
Seite 20 und 21: Dann ist per Definition P genau dan
Seite 22 und 23: Definition 1. Ist C eine Kurve übe
Seite 24 und 25: (a ′ 1, . . . , a ′ N ) genau d
Seite 26 und 27: 3.3 Knotenkurven sind nicht-singul
Seite 28 und 29: Wir betrachten nun die (2m×2m)-Tei
Seite 30 und 31: 2. Die generische Faser C K = C ×
Seite 32 und 33: Für r = 1 genügt es beliebige Rep
Seite 34 und 35: Beweis. C 0 ist birational äquival
Seite 36 und 37: Wir zeigen als nächstes, daß auch
Seite 38 und 39: Beispiel 7. Wir wollen jetzt auch d
Seite 40: [Po1][Po2][Roq]Popp, H., Zur Redukt

Hochheben von Kurven in positiver Charakteristik nach ... - D-BSSE

Sie wollen auch ein ePaper? Erhöhen Sie die Reichweite Ihrer Titel.

Template löschen?

Als Template speichern?