Hochheben von Kurven in positiver Charakteristik nach ... - D-BSSE

Sei also f = p 1 (t)α1 ∗ + · · · + p n (t)αn ∗ ∈ L w (mD) mit p i ∈ O v [t]. Wir zeigen,daß es eine von f unabhängige Konstante c = c(t, α 1 , . . . , α n , m) gibt, dieden Grad aller Polynome p i (t) beschränkt.Zunächst gilt für alle j:( )∑Spur(fα j ) = Spur p i (t)αi ∗ α j = ∑ p i (t) Spur(αi ∗ α j ) = p j (t)iiund daher p j = ∑ σ σ(fα j), wobei σ die verschiedenen K-Einbettungen vonF in einen algebraischen Abschluß von K(t) durchläuft. Aufgrund des vorherigenLemmas genügt es nun zu zeigen, daß der Grad von p j als rationaleFunktion beschränkt ist. Dazu müssen nur die n Summanden σ(fα j ) alsbeschränkt nachgewiesen werden.Da die Ungleichung (f) + mD ≥ 0 stets an allen Stellen, an denen fdefiniert ist, erfüllt ist, giltf ∈ L(mD) ⇐⇒ (f) ∞ ≤ mD.Daher ist der Grad von f beschränkt: deg f = deg(f) ∞ ≤ m deg(D) unddamit auch der Grad von σ(f). Ist deg σ(f) ≤ c ′ (σ, m), so gilt schließlichdeg σ(fα j ) ≤ c ′ + maxideg σ(α i ) für alle j = 1, . . . , n.f ist also in dem endlichen O v -Moduln∑i=1 j=0c∑t j αi ∗ O v enthalten.Bemerkung 1. Lemma 3 besitzt folgende Verallgemeinerung: Sei O v ein (beleibiger)Bewertungsring und V eine Menge von Konstantenreduktionen, dieeigentlich ist (im Sinne von [Gre, Definition 1.1]). Ist dann E ein endlichdimensionalerK-Untervektorraum von F , so giltdim K (E) = dim Kv (Ev),wobei Kv der Restklassenkörper von K bzgl. v ist und Ev := (E ∩ O w +m v O w )/m v O w mit m v := {x ∈ F | w(x) > 0} und w die inf-Norm. Insbesondereist dann E ∩ O v ein endlicher O v -Modul.Wir kommen nun zumBeweis von Satz 1. Der O v -ModulR t = ⋃ m≥1L w (mD) = lim −→L w (mD)16