Hochheben von Kurven in positiver Charakteristik nach ... - D-BSSE

Divisorengruppen f ∗ : Div(P 1 K ) −→ Div(C F ). Unter dem Grad von f verstehenwir den Grad des Morphismus f, also den Grad der Körpererweiterungder Funktionenkörper der Kurven:deg f = [K(C F ) : K(P 1 K)] = [F : K(f)].Es ist (f) = (f) 0 − (f) ∞ = f ∗ ((0) − (∞)) und deg f = deg(f) 0 = deg(f) ∞ ,wobei deg zuletzt den Grad der Divisoren (f) 0 bzw. (f) ∞ bezeichnet. Fürein Polynom f(t) bezeichne deg t f den Grad von f als Polynom in t.Lemma 4. Sei t ∈ F transzendent über K und f = f(t) = g(t) eine rationaleh(t)Funktion in t mit teilerfremden Polynomen g und h. Dann gilt:[K(t) : K(f)] = max{deg t g, deg t h}.Beweis. Sei zunächst q(t) = ∑ a i t i irgendein Polynom in t. Dann ist für alleP ∈ C Fv P (q) ≥ min v P (a i t i ) = min iv P (t).iiDaher folgt aus v P (t) ≥ 0 auch v P (q) ≥ 0. Ist dagegen v P (t) < 0, so sinddie Werte iv P (t) für alle i mit a i ≠ 0 verschieden, und daher gilt in obigerUngleichung Gleichheit:v P (q) = miniiv P (t) = (deg t q)v P (t).Daher ist (q) ∞ = (deg t q)(t) ∞ , und die Nullstellen von q sind verschieden vonden Polstellen von t. Insbesondere ist(f) = (g) 0 − (h) 0 − (deg t g − deg t h)(t) ∞ .Sei nun o. E. deg t g ≥ deg t h (betrachte andernfalls 1/f(t)). Nach Voraussetzunghaben g und h keine gemeinsamen Nullstellen, und wir haben geradegesehen, daß alle diese Nullstellen von den Polstellen von g und h verschiedensind. Daher ist deg(f) 0 = deg(g) 0 und somit[K(t) : K(f)] =[F : K(f)][F : K(t)] = deg fdeg t = deg(g) 0= deg(g) ∞= degdeg(t) 0 deg(t) t g.∞Für ein Polynom f(t) ist also insbesondere deg f = (deg t f)(deg t).Beweis von Lemma 3. Sei α 1 , . . . , α n eine Basis von F über K(t) undα ∗ 1, . . . , α ∗ n die duale Basis. Da O v [t] noethersch ist, gilt nach Lemma 1L w (mD) ⊂ R t ⊂ O v [t]α ∗ 1 + · · · + O v [t]α ∗ n.15