Hochheben von Kurven in positiver Charakteristik nach ... - D-BSSE

Beweis. Für (1) ist die Inklusionklar. Ist umgekehrt x ∈ R t ∩ O w undR t ⊂ R t ∩ S t = R t ∩ O wX n + a n−1 (t)X n−1 + · · · + a 1 (t)X + a o (t)sein Minimalpolynom über K(t), so gilt für die Koeffizientena i (f) ∈ K[t] ∩ O vt = O v [t].Der Poldivisor D von t ist definiert als∑(t) ∞ = −v P (t),P ∈supp((t) ∞)wobei supp((t) ∞ ) = {P ∈ C F | v P (t) < 0} die (endliche) Polstellenmengevon t ist. Ein Element f ∈ F liegt also genau dann in L(mD), wenn diebeiden folgenden Bedingungen erfüllt sind:(i) v P (f) ≥ 0 für alle P ∈ C F \ supp((t) ∞ )(ii) v P (f) ≥ m v P (t) für alle P ∈ supp((t) ∞ ).Da die zweite Bedingung für große m immer erfüllt ist, giltf ∈ ⋃ m≥1L(mD) ⇐⇒ f ∈ O P ∀ P ∉ supp((t) ∞ )⇐⇒f ∈ ⋂t∈O PO P .Die Ringe O P , die t enthalten, sind aber genau die Bewertungsringe von F/Kdie K[t] enthalten. Also ist ihr Durchschnitt gleich R t .Lemma 2 verweist uns auf das Studium der Moduln L w (mD). Unser Zielist nunLemma 3. Für alle m ∈ N ist L w (mD) ist ein endlicher O v -Modul undsomit (als torsionsfreier Modul über dem Hauptidealring O v ) frei.Zum Beweis von Lemma 3 holen wir etwas weiter aus. Sei f ∈F transzendentüber K. Dann definiert f einen gleichnamigen, endlichen, surjektivenMorphismus von Kurven C F −→ PK 1 und dieser einen Homomorphismus der14