Hochheben von Kurven in positiver Charakteristik nach ... - D-BSSE
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Sei nun A = O v e<strong>in</strong> diskreter Bewertungsr<strong>in</strong>g mit zugehöriger Bewertung v,K se<strong>in</strong> Quotientenkörper und F/K e<strong>in</strong> Funktionenkörper <strong>in</strong> e<strong>in</strong>er Variablenüber K. Es sei t ∈ F transzendent über K derart, daß F e<strong>in</strong>e endliche,separable Erweiterung <strong>von</strong> K(t) ist. Es bezeichne R t den ganzen Abschluß<strong>von</strong> K[t] <strong>in</strong> F und R t den ganzen Abschluß <strong>von</strong> O v [t] <strong>in</strong> F .Wir setzen v auf K(t) durch die Gaußbewertung v t fort:( )ar t r + · · · + a 0v t := m<strong>in</strong>b s t s + · · · + b v(a i) − m<strong>in</strong> v(b j).0 0≤i≤r 0≤j≤sDaß v t tatsächlich e<strong>in</strong>e Bewertung ist, besagt gerade der Satz <strong>von</strong> Gaußüber den Inhalt <strong>von</strong> Polynomen über faktoriellen R<strong>in</strong>gen. Sei S t der ganzeAbschluß <strong>von</strong> O vt <strong>in</strong> F .Es sei V die (endliche) Menge <strong>von</strong> Fortsetzungen <strong>von</strong> v t auf F . Die durchV bestimmte <strong>in</strong>f-Norm w auf F ist def<strong>in</strong>iert durchWir setzenw(x) := <strong>in</strong>f v(x), für x ∈ F.v∈VO w := {x ∈ F | w(x) ≥ 0}.Da der ganze Abschluß e<strong>in</strong>es R<strong>in</strong>ges <strong>in</strong> e<strong>in</strong>em Körper gleich dem Durchschnittaller den R<strong>in</strong>g enthaltenden Bewertungsr<strong>in</strong>ge dieses Körpers ist, soistO w = ⋂ v∈VO v = S t .Sei jetzt C F die dem Funktionenkörper F/K unter der Dedek<strong>in</strong>d-Weber-Äquivalenz zugeordnete, irreduzible, eigentliche, normale Kurve über K (dasModell <strong>von</strong> F/K). Für jeden Divisor D ∈Div(C F ) hat man dann den endlichdimensionalenK-VektorraumL(D) := {f ∈ F | (f) + D ≥ 0}= {f ∈ F | v P (f) + v P (D) ≥ 0 für alle P ∈ C F }aus dem man für alle m∈N den O v -Modul L w (mD) := L(mD) ∩ O w erhält.Wir beschreiben jetzt den ganzen Abschluß des Polynomr<strong>in</strong>ges O v [t] <strong>in</strong> F mitHilfe dieser Moduln:Lemma 2. Sei D := (t) ∞ der Poldivisor <strong>von</strong> t. Dann gilt:(1) R t = R t ∩ O w ,(2) R t = ⋃ L(mD),m≥1und daher R t = ⋃m≥1L w (mD).13