Hochheben von Kurven in positiver Charakteristik nach ... - D-BSSE

Sei nun A = O v ein diskreter Bewertungsring mit zugehöriger Bewertung v,K sein Quotientenkörper und F/K ein Funktionenkörper in einer Variablenüber K. Es sei t ∈ F transzendent über K derart, daß F eine endliche,separable Erweiterung von K(t) ist. Es bezeichne R t den ganzen Abschlußvon K[t] in F und R t den ganzen Abschluß von O v [t] in F .Wir setzen v auf K(t) durch die Gaußbewertung v t fort:( )ar t r + · · · + a 0v t := minb s t s + · · · + b v(a i) − min v(b j).0 0≤i≤r 0≤j≤sDaß v t tatsächlich eine Bewertung ist, besagt gerade der Satz von Gaußüber den Inhalt von Polynomen über faktoriellen Ringen. Sei S t der ganzeAbschluß von O vt in F .Es sei V die (endliche) Menge von Fortsetzungen von v t auf F . Die durchV bestimmte inf-Norm w auf F ist definiert durchWir setzenw(x) := inf v(x), für x ∈ F.v∈VO w := {x ∈ F | w(x) ≥ 0}.Da der ganze Abschluß eines Ringes in einem Körper gleich dem Durchschnittaller den Ring enthaltenden Bewertungsringe dieses Körpers ist, soistO w = ⋂ v∈VO v = S t .Sei jetzt C F die dem Funktionenkörper F/K unter der Dedekind-Weber-Äquivalenz zugeordnete, irreduzible, eigentliche, normale Kurve über K (dasModell von F/K). Für jeden Divisor D ∈Div(C F ) hat man dann den endlichdimensionalenK-VektorraumL(D) := {f ∈ F | (f) + D ≥ 0}= {f ∈ F | v P (f) + v P (D) ≥ 0 für alle P ∈ C F }aus dem man für alle m∈N den O v -Modul L w (mD) := L(mD) ∩ O w erhält.Wir beschreiben jetzt den ganzen Abschluß des Polynomringes O v [t] in F mitHilfe dieser Moduln:Lemma 2. Sei D := (t) ∞ der Poldivisor von t. Dann gilt:(1) R t = R t ∩ O w ,(2) R t = ⋃ L(mD),m≥1und daher R t = ⋃m≥1L w (mD).13