Hochheben von Kurven in positiver Charakteristik nach ... - D-BSSE

(ii) Die Kategorie F Ov• deren Objekte Paare (F, V ) sind mit einem Funktionenkörper Fin einer Variablen über K und einer endlichen Menge V von Konstantenreduktionen,die v fortsetzen, und• deren Morphismen (F, V ) −→ (E, W ) aus einer Einbettung vonKörpern F ↩→ E bestehen, so daß dadurch W alle Fortsetzungenvon V auf E enthält.Unter gewissen Bedingungen an die Bewertung v (genauer muß v dieLocal Skolem Property besitzen, s. [G-M-P3]), die jedenfalls alle nichtarchimedischenBewertungen von globalen Körpern und die BewertungenHenselscher Bewertungsringe erfüllen, sind die Kategorien C Ov und F Ov kontravariantäquivalent ([Gre, Theorem 2]). Ein wichtiger Schritt im Beweisdieses Satzes ist es zu zeigen, daß jede O v -Kurve C aus C Ov die Normalisierungvon PO 1 vin K(C)/K ist. Mit den obigen Bezeichnungen gilt genauerC ∼ = Spec(R t ) ∪ Spec(R t −1),wobei t ein Element mit der Eindeutigkeitseigenschaft für V ist (V ={w 1 , . . . , w n } wie oben), und C ist eine projektive, flache, normale, ganze,separierte O v -Kurve ([G-M-P2, Theorem 1.1 und Theorem 2.1]). Die Flachheitkann man zeigen, indem man den O v -Modul R t (bzw. R t −1) darstellt alsinduktiven Limes von freien Moduln.Mit Blick auf unser Hochhebeproblem werden wir hier auf direktere Weisezeigen, daß die Normalisierung der projektiven Geraden über einem diskretenBewertungsring in einer endlichen, separablen Körpererweiterung flachist. Dazu werden wir – nach einigen Vorbereitungen – wie oben beschriebenvorgehen und R t als induktiven Limes von gewissen O v -Moduln darstellenund diese als frei nachweisen.2.3 Flachheit über diskreten BewertungsringenZiel dieses Abschnitts ist es, den folgenden Satz zu beweisen:Satz 1. Sei R ein diskreter Bewertungsring, K := Quot(R) und F eineendliche, separable Körpererweiterung des Funktionenkörpers K(t) von P 1 R .Dann ist die Normalisierung von P 1 R in F˜P 1 R−→ Spec(R)eine flache Kurve.11