Hochheben von Kurven in positiver Charakteristik nach ... - D-BSSE

Frage: Gilt dies auch über einem beliebigen Integritätsbereich A anstelleeines Körpers k?Wir wollen wie oben vorgehen und betrachten zunächst die Normalisierung˜P A 1 der projektive Gerade P1 A über A in einer endliche Erweiterung Fihres Funktionenkörpers K(t). Sei R t der ganze Abschluß von A[t] in F undR t −1 der ganze Abschluß von A[t −1 ] in F . Dann ist˜P 1 A = Spec(R t) ∪ Spec(R t −1),entlang des Spektrums des ganzen Abschlußes von A[t, t −1 ] in F verklebt.Uns stellen sich jetzt also die beiden folgenden Fragen:1. Sind R t und R t −1 flache A-Moduln?2. Kann man die Normalisierung einer A-Kurve C als Normalisierung derprojektiven Geraden über A erhalten?2.2 Dedekind-Weber-Äquivalenzüber BewertungsringenIst A = O v ein Bewertungsring mit Bewertung v, so lassen sich beide Fragenin folgendem Sinne positiv beantworten (vgl. [G-M-P2] und [Gre]): SeiK der Quotientenkörper von O v und sei C eine eigentliche, ganze, normaleO v -Kurve mit Funktionenkörper F := K(C). Die lokalen Ringe an den generischenPunkten der irreduziblen Komponenten der abgeschlossenen Faservon C dominieren den Ring O v . Sei V = {w 1 , . . . , w n } die Menge der dadurchdefinierten Fortsetzung von v auf F . Diese Fortsetzungen sind sog.Konstantenreduktionen (im Sinne von Deuring), d.h. die Erweiterungen derRestklassenkörper sind wieder Funktionenkörper vom Transzendenzgrad 1.Für t ∈ F \ K sei V t die Menge aller Fortsetzungen der von v induziertenGaußbewertung (s. u.) auf K(t) auf F . Ist V = V t , so heißt t ein Elementmit der Eindeutigkeitseigenschaft für V (vgl. [G-M-P1]).Als Verallgemeinerung der oben beschriebenen Dedekind-Weber-Äquivalenzbetrachtet man nun die beiden folgenden Katagorien:(i) Die Kategorie C Ov• deren Objekte eigentliche, ganze, normale O v -Kurven C sind, sodaß K = Quot(O v ) algebraisch abgeschlossen in F = K(C) istund• deren Morphismen eigentliche surjektive O v -Morphismen sind.10