Hochheben von Kurven in positiver Charakteristik nach ... - D-BSSE

Sei F eine endliche Körpererweiterung von K(Pk 11) = k(t) und ˜Pk−→ P1 kdie Normalisierung der projektiven Geraden in F/k(t). Pk1 ist überdeckt vonden offenen, affinen TeilmengenD + (X 0 ) ∼ = Spec(k[t]) und D + (X 1 ) ∼ = Spec(k[t −1 ]),und man erhält Pk 1,indem man diese affinen Varietäten entlang Spec(k[t, t−1 ])verklebt. Die Normalisierung erhält man nun durch Normalisierung dieseraffinen Teilmengen und entsprechendes Verkleben. Sei also R t der ganze Abschlußvon k[t] in F und R t −1 der ganze Abschluß von k[t −1 ] in F . Dannist˜P 1k= Spec(R t) ∪ Spec(R t −1),entlang der Normalisierung von Spec(k[t, t −1 ]) in F verklebt. Insbesondereist ˜P k 1 −→ Spec(k) flach, weil die k-Algebren R t und R t −1 flach sind (sie sindsogar endlich erzeugt und torsionsfrei, also frei).Sei nun C eine irreduzible, eigentliche Kurve über k und ˜C −→ C ihreNormalisierung. Sei f ∈ F := K(C) eine nicht-konstante, rationale Funktionauf C. Dann definiert f eine Einbettung von Funktionenkörpern einerVariablen über kk(f) ↩→ K(C)und daher nach obigem Äquivalenzsatz auch einen endlichen, surjektivenMorphismus von k-KurvenC F −→ Pk 1 ,wobei C F die normale Kurve ist, die unter der Dedekind-Weber-Äquivalenzdem Körper F entspricht. Damit ist C F die Normalisierung von C, alsoC F∼ = ˜C. Sei jetzt ˜P1 k−→ Pk1 die Normalisierung der projektiven Geradenin der Körpererweiterung F/k(f). Dann gibt es einen (nach der IdentifizierungK(C F ) = F eindeutig bestimmten) Isomorphismus ˜f, der das folgendeDiagramm kommutativ machtC F⏐↓˜f−−−→ ˜P k1⏐↓P 1k P 1k .Wir erhalten die Normalisierung der k-Kurve C also als Normalisierung derprojektiven Geraden über k in K(C)/k(f). Inbesondere ist also die Normalisierungeiner irreduziblen, eigentlichen Kurve über einem Körper k flachüber Spec(k).9