Hochheben von Kurven in positiver Charakteristik nach ... - D-BSSE
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Sei F e<strong>in</strong>e endliche Körpererweiterung <strong>von</strong> K(Pk 11) = k(t) und ˜Pk−→ P1 kdie Normalisierung der projektiven Geraden <strong>in</strong> F/k(t). Pk1 ist überdeckt <strong>von</strong>den offenen, aff<strong>in</strong>en TeilmengenD + (X 0 ) ∼ = Spec(k[t]) und D + (X 1 ) ∼ = Spec(k[t −1 ]),und man erhält Pk 1,<strong>in</strong>dem man diese aff<strong>in</strong>en Varietäten entlang Spec(k[t, t−1 ])verklebt. Die Normalisierung erhält man nun durch Normalisierung dieseraff<strong>in</strong>en Teilmengen und entsprechendes Verkleben. Sei also R t der ganze Abschluß<strong>von</strong> k[t] <strong>in</strong> F und R t −1 der ganze Abschluß <strong>von</strong> k[t −1 ] <strong>in</strong> F . Dannist˜P 1k= Spec(R t) ∪ Spec(R t −1),entlang der Normalisierung <strong>von</strong> Spec(k[t, t −1 ]) <strong>in</strong> F verklebt. Insbesondereist ˜P k 1 −→ Spec(k) flach, weil die k-Algebren R t und R t −1 flach s<strong>in</strong>d (sie s<strong>in</strong>dsogar endlich erzeugt und torsionsfrei, also frei).Sei nun C e<strong>in</strong>e irreduzible, eigentliche Kurve über k und ˜C −→ C ihreNormalisierung. Sei f ∈ F := K(C) e<strong>in</strong>e nicht-konstante, rationale Funktionauf C. Dann def<strong>in</strong>iert f e<strong>in</strong>e E<strong>in</strong>bettung <strong>von</strong> Funktionenkörpern e<strong>in</strong>erVariablen über kk(f) ↩→ K(C)und daher <strong>nach</strong> obigem Äquivalenzsatz auch e<strong>in</strong>en endlichen, surjektivenMorphismus <strong>von</strong> k-<strong>Kurven</strong>C F −→ Pk 1 ,wobei C F die normale Kurve ist, die unter der Dedek<strong>in</strong>d-Weber-Äquivalenzdem Körper F entspricht. Damit ist C F die Normalisierung <strong>von</strong> C, alsoC F∼ = ˜C. Sei jetzt ˜P1 k−→ Pk1 die Normalisierung der projektiven Geraden<strong>in</strong> der Körpererweiterung F/k(f). Dann gibt es e<strong>in</strong>en (<strong>nach</strong> der IdentifizierungK(C F ) = F e<strong>in</strong>deutig bestimmten) Isomorphismus ˜f, der das folgendeDiagramm kommutativ machtC F⏐↓˜f−−−→ ˜P k1⏐↓P 1k P 1k .Wir erhalten die Normalisierung der k-Kurve C also als Normalisierung derprojektiven Geraden über k <strong>in</strong> K(C)/k(f). Inbesondere ist also die Normalisierunge<strong>in</strong>er irreduziblen, eigentlichen Kurve über e<strong>in</strong>em Körper k flachüber Spec(k).9