Hochheben von Kurven in positiver Charakteristik nach ... - D-BSSE

DiplomarbeitHochheben von Kurvenin positiver Charakteristiknach Charakteristik Nullangefertigt am Mathematischen Institutvorgelegt der Mathematisch-NaturwissenschaftlichenFakultät der Universität Bonnim September 1999von Niko Beerenwinkel aus Düsseldorf

Inhaltsverzeichnis1 Einleitung 21.1 Problemstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Anwendung: Die algebraische Fundamentalgruppe in positiverCharakteristik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 Beweisskizze der Lösung des Hochhebeproblems . . . . . . . . 51.3.1 Der nicht-singuläre Fall . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3.2 Der allgemeine Fall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 Normalisierungen der projektiven Geraden 82.1 Dedekind-Weber-Äquivalenz über Körpern . . . . . . . . . . . 82.2 Dedekind-Weber-Äquivalenzüber Bewertungsringen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.3 Flachheit über diskreten Bewertungsringen . . . . . . . . . . . 113 Ebene Knotenkurven 183.1 Knoten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.2 Lineare Systeme von Kurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.3 Knotenkurven sind nicht-singuläre Punkte . . . . . . . . . . . 254 Hochheben von Kurven 284.1 Der Fall ebener Knotenkurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284.2 Der allgemeine Fall: Beweis des Hauptsatzes . . . . . . . . . . 321

1.2 Anwendung: Die algebraische Fundamentalgruppein positiver CharakteristikEine Lösung des obigen Problems findet seine Anwendung bei gewissen Problemstellungen,die man zunächst nur in Charakteristik 0 lösen kann unddann im Fall positiver Charakteristik auf den Fall der Charakteristik 0zurückführen möchte. Wir betrachten dazu ein Beispiel (s. [Po2]). Sei C einirreduzibles, reduziertes, noethersches, normales Schema über einem Körperk, K(C) der Funktionenkörper von C und Ω ein fest gewählter algebraischerAbschluß von K(C). Dann ist die Kategorie E(C) der irreduziblen, etalenÜberlagerungen von C äquivalent zu der Kategorie K(C) der endlichen, separablenKörpererweiterungen F/K(C), die in Ω enthalten sind und für dieaußerdem die Normalisierung ˜C −→ C von C in F unverzweigt ist. Dabeiwird einer Überlagerung C ′ ∈ E(C) ihr Funktionenkörper zugeordnet. DasKompositum L aller Körpererweiterungen aus K(C) ist eine GaloiserweiterungL/F (C). Die Gruppeπ 1 (C) := Gal(L/F (C))heißt die algebraische Fundamentalgruppe von C. Per Definition ist sie eineproendliche Gruppe. Im allgemeinen ist ihre Struktur nicht bekannt. Allerdingsgibt es im Fall char(k) = 0 Vergleichssätze (die auf den GAGA-Sätzenvon Serre beruhen), die – wie wir gleich sehen werden – die Bestimmung vonπ 1 (C) mit Hilfe topologischer Methoden erlauben.Wir verallgemeinern die Situation zunächst noch etwas: Ist T ein abgeschlossenes,reduziertes Unterschema von C, so entsprechen die irreduziblen,etalen Überlagerungen von C \T in funktorieller Weise den irreduziblen, normalenÜberlagerungen von C, die nur entlang T verzweigt sind. π 1 (C \ T )beschreibt also die Kategorie der außerhalb T unverzweigten, irreduziblen,normalen Überlagerungen von C.Sei nun k = C der Körper der komplexen Zahlen, C eine irreduzibles,reduziertes, normales, projektives Schema über C und T ein abgeschlossenesUnterschema von C. Dann trägt C(C) eine von C induzierte Topologie (diefeiner als die Zariskitopologie ist). In dieser Topologie ist C(C) \ T wegweisezusammenhängend. Mit π top1 (C(C) \ T ) sei die Gruppe der Homotopieklassenvon geschlossenen Wegen (mit festem Basispunkt) in C(C) \ T , also dietopologische Fundamentalgruppe von C(C) \ T bezeichnet. Dann erhält mandie algebraische Fundamentalgruppe von C \ T gerade als Komplettierungder topologischen Fundamentalgruppe bzgl. der Krulltopologie.Hat C nun die Dimension 1 (d.h. C ist eine Kurve) und besteht T ={P 1 , . . . , P n } aus n verschiedenen Punkten von C, so ist C(C) eine kompakteRiemannsche Fläche und C(C)\T eine n-fach punktierte, orientierbare, offene3

Fläche. In diesem Fall ist π top1 (C(C) \ T ) isomorph zu der Gruppe Γ g,n , die2g + n Erzeugendea 1 , b 1 , . . . , a g , b g , c 1 , . . . , c nmit der einzigen Relation[a 1 , b 1 ] · · · · · [a g , b g ] · c 1 · · · · · c n = 1hat. Dabei ist g das geometrische Geschlecht von C\T , welches gleich dem topologischenGeschlecht von C(C)\T ist. Die algebraische Fundamentalgruppevon C \ {P 1 , . . . , P n } wird also von diesen Elementen und dieser Relation alsproendliche Gruppe erzeugt:π 1 (C \ {P 1 , . . . , P n }) = ˆΓ g,n .Dieses Ergebnis läßt sich auf Kurven über beliebigen algebraisch abgeschlossenenKörpern k der Charakteristik 0 übertragen, indem man zeigt, daßπ 1 (C \ T ) invariant unter Basiswechseln der Form Spec(K) −→ Spec(k) mitalgebraisch abgeschlossenen Körpern k und K ist. Die Struktur der algebraischenFundamentalgruppe haben wir also aus der topologischen Fundamentalgruppegewonnen, und in der Tat ist kein Beweis bekannt, der ohne diesetopologischen Überlegungen auskommt. Wie weit lassen sich diese Ergebnisseauf den Fall positiver Charakteristik übertragen?Sei nun k ein algebraisch abgeschlossener Körper von positiver Charakteristikp und C eine irreduzible, projektive, nicht-singuläre Kurve über k.Um das obige Resultat in Charakteristik 0 zu nutzen, heben wir X zu einerKurve C über dem diskreten Bewertungsring R der Charakteristik 0 (mitQuotientenkörper K und Restklassenkörper k) hoch derart, daß die abgeschlosseneFaser von C isomorph zu C ist. Sei ¯K ein algebraischer Abschlußvon K und ¯C := C K × Spec( ¯K) die Konstantenerweiterung von C K mit ¯K.Man hat dann ein kommutatives Diagramm¯C⏐↓C K⏐↓C↑⏐−−−→ Spec( ¯K)⏐↓−−−→ Spec(K)⏐↓−−−→ Spec(R)↑⏐C k∼ = C −−−→ Spec(k).4

Besteht T wieder aus den n verschiedenen k-wertigen Punkten P 1 , . . . , P n ∈C, so gibt es nach dem Henselschen Lemma (vgl. Satz 5) R-wertige PunkteQ 1 , . . . , Q n von C derart, daß Q i nach P i spezialisiert. Sei ¯Q i := Q i ×Spec( ¯K)gesetzt.Für jede Primzahl p sei G p die abgeschlossene Untergruppe von π 1 (C \T ),die von den p-Sylowuntergruppen erzeugt wird. Man setztπ (p′ )1 (C \ T ) := π 1 (C \ T )/G p .Es sei weiter E (p′) (C \ T ) die Teilkategorie von E(C \ T ), die aus den galoischen,unverzweigten, irreduziblen Überlagerungen von C \ T von einemGrad prim zu p besteht. Dann entsprechen diese Überlagerungen den normalenUntergruppen von π (p′ )1 (C \ T ) von endlichem Index. Es gilt nun der vonGrothendieck stammendeSpezialisierungssatz. Die KategorienE (p′) (C \ {P 1 , . . . , P n }) und E (p′) (¯C \ { ¯Q 1 , . . . , ¯Q n })sind äquivalent. Insbesondere hat man eine Isomorphie von proendlichenGruppenπ (p′ )1 (C \ {P 1 , . . . , P n }) ∼ = π (p′ )1 (¯C \ { ¯Q 1 , . . . , ¯Q n }).Bemerkung. Tatsächlich gilt noch mehr: Bezeichnet π t 1(C \T ) die zahme Fundamentalgruppe,die man erhält, wenn man über T nur zahme Verzweigungzuläßt, so gibt es einen surjektiven Homomorphismus proendlicher GruppenˆΓ g,n −→ π t 1(C \ {P 1 , . . . , P n }),den sog. Spezialisierungshomomorphismus, der auf den prim-zu-p-Quotientenden obigen Isomorphismus induziert ([Mur, Chapter IX]).1.3 Beweisskizze der Lösung des HochhebeproblemsDas Hauptresultat dieser Arbeit wird mit Satz 6 die Lösung des obigen Hochhebeproblemssein. Wir werden das Problem auf das Hochheben von ebenenKurven zurückführen. Betrachten wir zunächst einen Spezialfall:1.3.1 Der nicht-singuläre FallSei also C ⊂ Pk2über k. Dann isteine ebene, irreduzible, projektive, nicht-singuläre KurveC = Proj (k[X, Y, Z]/(F ))5

definiert durch ein homogenes Polynom F (X, Y, Z) mit Koeffizienten in k.Es sei d der Grad von F . Dann hat C das Geschlecht g = 1 (d − 1)(d − 2)2([Ful, 8.3, Prop. 5]). Sei nun Φ(X, Y, Z) ∈ R[X, Y, Z] ein Polynom vom Gradd, das modulo m gerade F ergibt. Dann leistet die KurveC := Proj (R[X, Y, Z]/(Φ))das Gewünschte. C ist nämlich eine glatte R-Kurve (die Flachheit vonR[X, Y, Z]/(Φ) ist über dem Hauptidealring R gleichbedeutend mit Torsionsfreiheit,welche leicht zu sehen ist), C k ist isomorph zu C über k, undC K ist nicht-singulär (Jacobi-Kriterium) und hat das gleiche Geschlechtg = 1 (d − 1)(d − 2) wie C.21.3.2 Der allgemeine FallIst nun C 0 eine beliebige, irreduzible, nicht-singuläre, projektive Kurve überk, so besitzt C 0 ein birationales ModellC = Proj (k[X, Y, Z]/(F )) ,welches eine ebene, projektive Kurve ist, die höchstens Knoten als Singularitätenbesitzt ([Har, IV 3.11]). Wir wollen jetzt C auf die geforderte Weisehochheben. Geht man nun so naiv wie oben im nicht-singulären Fall vor undwählt irgendein Polynom Φ, dessen Reduktion modulo m dann F ergibt, sowerden im allgemeinen über den Knoten von C nicht-singuläre Punkte von Cliegen. Das hat zur Folge, daß das geometrische Geschlecht von C größer istals das von C. (Dies wird in Abschnitt 4 genauer erläutert, s. auch [Roq].)Wir betrachten ein einfaches Beispiel.Beispiel 1. Sei char(k) = p > 3. Der Punkt (0, 1) der ebene, affine KurveC ′ := Spec ( k[x, y]/(3x 2 − 3y 2 + 2y 3 + y p ) )ist ein singulärer Punkt, weil die partiellen Ableitungen des definierendenPolynoms f in diesem Punkt verschwinden. Aber in der HochhebungC ′ := Spec ( R[x, y]/(3x 2 − 3y 2 + 2y 3 + y p ) )definiert durch die (naive) Hochhebung φ von f ist (0, 1) kein singulärerPunkt mehr, weil jetzt in Charakteristik 0ist.∂φ(0, 1) = p ≠ 0∂y6

Wir werden sehen, daß man eine Kurve über k, die höchstens Knoten alsSingularitäten besitzt, dennoch zu einer gleichartigen Kurve über R hochhebenkann.In Abschnitt 3 werden wir uns dazu zunächst detallierter mit solchenKurven auseinandersetzen. Insbesondere werden wir sie als k-wertige Punkteauf einer geeigneten projektiven Varietät interpretieren. Die Punkte dieserVarietät werden dann in Abschnitt 4 mit einem höherdimensionalen HenselschenLemma zu R-wertigen Punkten hochgehoben. Einen solchen R-wertigen Punkt kann man wieder als ebene, projektive Knotenkurve überR deuten. Die gesuchte Kurve ist schließlich die Normalisierung dieser Hochhebung.Um einzusehen, daß sie die geforderten Eigenschaften besitzt, müssenwir insbesondere ihre Flachheit über R nachweisen. Dies geschieht, indemman die Kurve als Normalisierung der projektiven Geraden über R in einergeeigneten Körpererweiterung erhält. Im folgenden Abschnitt 2 werden wirsehen, daß solche Kurven flach sind.7

2 Normalisierungen der projektiven GeradenSei A ein Integritätsbereich und K der Quotientenkörper von A. Der FunktionenkörperK(S) eines ganzen Schemas S ist der lokale Ring am generischenPunkt von S. Ist S = PAn = Proj(A[X 0, . . . , X n ]) der n-dimensionale projektiveRaum über A, so istK(P n A ) = K(P n K) = K(t 1 , . . . , t n ),der rationale Funktionenkörper in den n Variablen t i = X iX 0(i ≠ 0) über K.Ist n = 1, so setzen wir t := t 1 = X 1X 0und identifizieren K(PA 1) = K(t).2.1 Dedekind-Weber-Äquivalenz über KörpernSei jetzt k ein beliebiger Körper. Eine Kurve über k ist ein reduziertes, separiertesk-Schema von endlichem Typ und reiner Dimension 1. Unter allenKurven über dem Körper k gibt es nun eine gewisse Klasse von Kurven,die durch ihren Funktionenkörper schon (bis auf Isomorphie) eindeutig bestimmtsind. Genauer hat man die Dedekind-Weber-Äquivalenz, die besagt,daß beiden folgenden Kategorien äquivalent sind:(i) Die Kategorie C k• deren Objekte irreduzible, eigentliche, normale k-Kurven sind und• deren Morphismen nicht-konstante k-Morphismen sind.(ii) Die Kategorie F kDie Zuordnung• deren Objekte Funktionenkörper in einer Variablen über k sindund• deren Morphismen k-Körperhomomorphismen sind.C k −→ F kC ↦−→ K(C)einer solchen Kurve zu ihrem Funktionenkörper vermittelt diese Äquivalenz.Speziell ist die projektive Gerade Pk1 = Proj(k[X 0, X 1 ]) eine solche Kurve.Sie ist das Modell des rationalen Funktionenkörpers k(t) in einer Variablenüber k.8

Sei F eine endliche Körpererweiterung von K(Pk 11) = k(t) und ˜Pk−→ P1 kdie Normalisierung der projektiven Geraden in F/k(t). Pk1 ist überdeckt vonden offenen, affinen TeilmengenD + (X 0 ) ∼ = Spec(k[t]) und D + (X 1 ) ∼ = Spec(k[t −1 ]),und man erhält Pk 1,indem man diese affinen Varietäten entlang Spec(k[t, t−1 ])verklebt. Die Normalisierung erhält man nun durch Normalisierung dieseraffinen Teilmengen und entsprechendes Verkleben. Sei also R t der ganze Abschlußvon k[t] in F und R t −1 der ganze Abschluß von k[t −1 ] in F . Dannist˜P 1k= Spec(R t) ∪ Spec(R t −1),entlang der Normalisierung von Spec(k[t, t −1 ]) in F verklebt. Insbesondereist ˜P k 1 −→ Spec(k) flach, weil die k-Algebren R t und R t −1 flach sind (sie sindsogar endlich erzeugt und torsionsfrei, also frei).Sei nun C eine irreduzible, eigentliche Kurve über k und ˜C −→ C ihreNormalisierung. Sei f ∈ F := K(C) eine nicht-konstante, rationale Funktionauf C. Dann definiert f eine Einbettung von Funktionenkörpern einerVariablen über kk(f) ↩→ K(C)und daher nach obigem Äquivalenzsatz auch einen endlichen, surjektivenMorphismus von k-KurvenC F −→ Pk 1 ,wobei C F die normale Kurve ist, die unter der Dedekind-Weber-Äquivalenzdem Körper F entspricht. Damit ist C F die Normalisierung von C, alsoC F∼ = ˜C. Sei jetzt ˜P1 k−→ Pk1 die Normalisierung der projektiven Geradenin der Körpererweiterung F/k(f). Dann gibt es einen (nach der IdentifizierungK(C F ) = F eindeutig bestimmten) Isomorphismus ˜f, der das folgendeDiagramm kommutativ machtC F⏐↓˜f−−−→ ˜P k1⏐↓P 1k P 1k .Wir erhalten die Normalisierung der k-Kurve C also als Normalisierung derprojektiven Geraden über k in K(C)/k(f). Inbesondere ist also die Normalisierungeiner irreduziblen, eigentlichen Kurve über einem Körper k flachüber Spec(k).9

Frage: Gilt dies auch über einem beliebigen Integritätsbereich A anstelleeines Körpers k?Wir wollen wie oben vorgehen und betrachten zunächst die Normalisierung˜P A 1 der projektive Gerade P1 A über A in einer endliche Erweiterung Fihres Funktionenkörpers K(t). Sei R t der ganze Abschluß von A[t] in F undR t −1 der ganze Abschluß von A[t −1 ] in F . Dann ist˜P 1 A = Spec(R t) ∪ Spec(R t −1),entlang des Spektrums des ganzen Abschlußes von A[t, t −1 ] in F verklebt.Uns stellen sich jetzt also die beiden folgenden Fragen:1. Sind R t und R t −1 flache A-Moduln?2. Kann man die Normalisierung einer A-Kurve C als Normalisierung derprojektiven Geraden über A erhalten?2.2 Dedekind-Weber-Äquivalenzüber BewertungsringenIst A = O v ein Bewertungsring mit Bewertung v, so lassen sich beide Fragenin folgendem Sinne positiv beantworten (vgl. [G-M-P2] und [Gre]): SeiK der Quotientenkörper von O v und sei C eine eigentliche, ganze, normaleO v -Kurve mit Funktionenkörper F := K(C). Die lokalen Ringe an den generischenPunkten der irreduziblen Komponenten der abgeschlossenen Faservon C dominieren den Ring O v . Sei V = {w 1 , . . . , w n } die Menge der dadurchdefinierten Fortsetzung von v auf F . Diese Fortsetzungen sind sog.Konstantenreduktionen (im Sinne von Deuring), d.h. die Erweiterungen derRestklassenkörper sind wieder Funktionenkörper vom Transzendenzgrad 1.Für t ∈ F \ K sei V t die Menge aller Fortsetzungen der von v induziertenGaußbewertung (s. u.) auf K(t) auf F . Ist V = V t , so heißt t ein Elementmit der Eindeutigkeitseigenschaft für V (vgl. [G-M-P1]).Als Verallgemeinerung der oben beschriebenen Dedekind-Weber-Äquivalenzbetrachtet man nun die beiden folgenden Katagorien:(i) Die Kategorie C Ov• deren Objekte eigentliche, ganze, normale O v -Kurven C sind, sodaß K = Quot(O v ) algebraisch abgeschlossen in F = K(C) istund• deren Morphismen eigentliche surjektive O v -Morphismen sind.10

(ii) Die Kategorie F Ov• deren Objekte Paare (F, V ) sind mit einem Funktionenkörper Fin einer Variablen über K und einer endlichen Menge V von Konstantenreduktionen,die v fortsetzen, und• deren Morphismen (F, V ) −→ (E, W ) aus einer Einbettung vonKörpern F ↩→ E bestehen, so daß dadurch W alle Fortsetzungenvon V auf E enthält.Unter gewissen Bedingungen an die Bewertung v (genauer muß v dieLocal Skolem Property besitzen, s. [G-M-P3]), die jedenfalls alle nichtarchimedischenBewertungen von globalen Körpern und die BewertungenHenselscher Bewertungsringe erfüllen, sind die Kategorien C Ov und F Ov kontravariantäquivalent ([Gre, Theorem 2]). Ein wichtiger Schritt im Beweisdieses Satzes ist es zu zeigen, daß jede O v -Kurve C aus C Ov die Normalisierungvon PO 1 vin K(C)/K ist. Mit den obigen Bezeichnungen gilt genauerC ∼ = Spec(R t ) ∪ Spec(R t −1),wobei t ein Element mit der Eindeutigkeitseigenschaft für V ist (V ={w 1 , . . . , w n } wie oben), und C ist eine projektive, flache, normale, ganze,separierte O v -Kurve ([G-M-P2, Theorem 1.1 und Theorem 2.1]). Die Flachheitkann man zeigen, indem man den O v -Modul R t (bzw. R t −1) darstellt alsinduktiven Limes von freien Moduln.Mit Blick auf unser Hochhebeproblem werden wir hier auf direktere Weisezeigen, daß die Normalisierung der projektiven Geraden über einem diskretenBewertungsring in einer endlichen, separablen Körpererweiterung flachist. Dazu werden wir – nach einigen Vorbereitungen – wie oben beschriebenvorgehen und R t als induktiven Limes von gewissen O v -Moduln darstellenund diese als frei nachweisen.2.3 Flachheit über diskreten BewertungsringenZiel dieses Abschnitts ist es, den folgenden Satz zu beweisen:Satz 1. Sei R ein diskreter Bewertungsring, K := Quot(R) und F eineendliche, separable Körpererweiterung des Funktionenkörpers K(t) von P 1 R .Dann ist die Normalisierung von P 1 R in F˜P 1 R−→ Spec(R)eine flache Kurve.11

Wir betrachten zunächst einen noetherschen, ganzabgeschlossenen IntegritätsbereichA mit Quotientenkörper K und einer endlichen, separablenErweiterung F von K. Sei B der ganze Abschluß von A in F . Wir erinnernan einige elementare Gegebenheiten in dieser Situation. Jedes Element f ∈Fläßt sich schreiben alsf = b , b ∈ B, a ∈ A,adenn nach Multiplikation der Gleichunga n f n + · · · + a 0 = 0, a i ∈ A, a n ≠ 0,für f über K mit a n−1n ergibt sich die Ganzheit von a n f über A, also a n f ∈B. Daher kann man auch aus jeder Basis α 1 , . . . , α n von F über K nachMultiplikation mit einem geeigneten Element aus A eine schon in B gelegeneBasis von F über K erhalten.Ein Element f ∈F ist genau dann ganz über A, wenn sein Minimalpolynomp(X) Koeffizienten in A hat. Ist nämlich f Nullstelle eines normiertenPolynoms g(X) ∈ A[X], so wird g(X) von p(X) geteilt, und alle Nullstellenvon p sind auch Nullstellen von g, also ganz über A. Dann sind aber auch dieKoeffizienten von p als elementarsymmetrische Funktionen in den Nullstellenganz über A.Die Zuordnung (x, y) ↦−→ Spur F/K (xy) definiert eine nicht-ausgearteteBilinearform auf dem K-Vektorraum F . Da mit einem Element b ∈ B auchalle Konjugierten von b ganz über A sind, ist Spur F/K (B) ⊂ A.Lemma 1. B ist ein endlicher A-Modul.Beweis. Sei α 1 , . . . , α n eine Basis von F/K in B und α ∗ 1, . . . , α ∗ n die zugehörigeduale Basis bzgl. der von der Spur induzierten Bilinearform, d.h.Spur(α ∗ i α j ) = δ ij . Weil A noethersch ist, genügt es zu zeigen, daßB ⊂ Aα ∗ 1 + · · · + Aα ∗ n.Ist aber b ∈ B, b = ∑ a i α ∗ i , a i ∈ K, so hat mana j = ∑ ia j δ ij = ∑ ia j Spur(α ∗ i α j ) = Spur( ∑ia i α ∗ i α j)= Spur(bα j ) ∈ A,also b ∈ Aα ∗ 1 + · · · + Aα ∗ n.12

Sei nun A = O v ein diskreter Bewertungsring mit zugehöriger Bewertung v,K sein Quotientenkörper und F/K ein Funktionenkörper in einer Variablenüber K. Es sei t ∈ F transzendent über K derart, daß F eine endliche,separable Erweiterung von K(t) ist. Es bezeichne R t den ganzen Abschlußvon K[t] in F und R t den ganzen Abschluß von O v [t] in F .Wir setzen v auf K(t) durch die Gaußbewertung v t fort:( )ar t r + · · · + a 0v t := minb s t s + · · · + b v(a i) − min v(b j).0 0≤i≤r 0≤j≤sDaß v t tatsächlich eine Bewertung ist, besagt gerade der Satz von Gaußüber den Inhalt von Polynomen über faktoriellen Ringen. Sei S t der ganzeAbschluß von O vt in F .Es sei V die (endliche) Menge von Fortsetzungen von v t auf F . Die durchV bestimmte inf-Norm w auf F ist definiert durchWir setzenw(x) := inf v(x), für x ∈ F.v∈VO w := {x ∈ F | w(x) ≥ 0}.Da der ganze Abschluß eines Ringes in einem Körper gleich dem Durchschnittaller den Ring enthaltenden Bewertungsringe dieses Körpers ist, soistO w = ⋂ v∈VO v = S t .Sei jetzt C F die dem Funktionenkörper F/K unter der Dedekind-Weber-Äquivalenz zugeordnete, irreduzible, eigentliche, normale Kurve über K (dasModell von F/K). Für jeden Divisor D ∈Div(C F ) hat man dann den endlichdimensionalenK-VektorraumL(D) := {f ∈ F | (f) + D ≥ 0}= {f ∈ F | v P (f) + v P (D) ≥ 0 für alle P ∈ C F }aus dem man für alle m∈N den O v -Modul L w (mD) := L(mD) ∩ O w erhält.Wir beschreiben jetzt den ganzen Abschluß des Polynomringes O v [t] in F mitHilfe dieser Moduln:Lemma 2. Sei D := (t) ∞ der Poldivisor von t. Dann gilt:(1) R t = R t ∩ O w ,(2) R t = ⋃ L(mD),m≥1und daher R t = ⋃m≥1L w (mD).13

Beweis. Für (1) ist die Inklusionklar. Ist umgekehrt x ∈ R t ∩ O w undR t ⊂ R t ∩ S t = R t ∩ O wX n + a n−1 (t)X n−1 + · · · + a 1 (t)X + a o (t)sein Minimalpolynom über K(t), so gilt für die Koeffizientena i (f) ∈ K[t] ∩ O vt = O v [t].Der Poldivisor D von t ist definiert als∑(t) ∞ = −v P (t),P ∈supp((t) ∞)wobei supp((t) ∞ ) = {P ∈ C F | v P (t) < 0} die (endliche) Polstellenmengevon t ist. Ein Element f ∈ F liegt also genau dann in L(mD), wenn diebeiden folgenden Bedingungen erfüllt sind:(i) v P (f) ≥ 0 für alle P ∈ C F \ supp((t) ∞ )(ii) v P (f) ≥ m v P (t) für alle P ∈ supp((t) ∞ ).Da die zweite Bedingung für große m immer erfüllt ist, giltf ∈ ⋃ m≥1L(mD) ⇐⇒ f ∈ O P ∀ P ∉ supp((t) ∞ )⇐⇒f ∈ ⋂t∈O PO P .Die Ringe O P , die t enthalten, sind aber genau die Bewertungsringe von F/Kdie K[t] enthalten. Also ist ihr Durchschnitt gleich R t .Lemma 2 verweist uns auf das Studium der Moduln L w (mD). Unser Zielist nunLemma 3. Für alle m ∈ N ist L w (mD) ist ein endlicher O v -Modul undsomit (als torsionsfreier Modul über dem Hauptidealring O v ) frei.Zum Beweis von Lemma 3 holen wir etwas weiter aus. Sei f ∈F transzendentüber K. Dann definiert f einen gleichnamigen, endlichen, surjektivenMorphismus von Kurven C F −→ PK 1 und dieser einen Homomorphismus der14

Divisorengruppen f ∗ : Div(P 1 K ) −→ Div(C F ). Unter dem Grad von f verstehenwir den Grad des Morphismus f, also den Grad der Körpererweiterungder Funktionenkörper der Kurven:deg f = [K(C F ) : K(P 1 K)] = [F : K(f)].Es ist (f) = (f) 0 − (f) ∞ = f ∗ ((0) − (∞)) und deg f = deg(f) 0 = deg(f) ∞ ,wobei deg zuletzt den Grad der Divisoren (f) 0 bzw. (f) ∞ bezeichnet. Fürein Polynom f(t) bezeichne deg t f den Grad von f als Polynom in t.Lemma 4. Sei t ∈ F transzendent über K und f = f(t) = g(t) eine rationaleh(t)Funktion in t mit teilerfremden Polynomen g und h. Dann gilt:[K(t) : K(f)] = max{deg t g, deg t h}.Beweis. Sei zunächst q(t) = ∑ a i t i irgendein Polynom in t. Dann ist für alleP ∈ C Fv P (q) ≥ min v P (a i t i ) = min iv P (t).iiDaher folgt aus v P (t) ≥ 0 auch v P (q) ≥ 0. Ist dagegen v P (t) < 0, so sinddie Werte iv P (t) für alle i mit a i ≠ 0 verschieden, und daher gilt in obigerUngleichung Gleichheit:v P (q) = miniiv P (t) = (deg t q)v P (t).Daher ist (q) ∞ = (deg t q)(t) ∞ , und die Nullstellen von q sind verschieden vonden Polstellen von t. Insbesondere ist(f) = (g) 0 − (h) 0 − (deg t g − deg t h)(t) ∞ .Sei nun o. E. deg t g ≥ deg t h (betrachte andernfalls 1/f(t)). Nach Voraussetzunghaben g und h keine gemeinsamen Nullstellen, und wir haben geradegesehen, daß alle diese Nullstellen von den Polstellen von g und h verschiedensind. Daher ist deg(f) 0 = deg(g) 0 und somit[K(t) : K(f)] =[F : K(f)][F : K(t)] = deg fdeg t = deg(g) 0= deg(g) ∞= degdeg(t) 0 deg(t) t g.∞Für ein Polynom f(t) ist also insbesondere deg f = (deg t f)(deg t).Beweis von Lemma 3. Sei α 1 , . . . , α n eine Basis von F über K(t) undα ∗ 1, . . . , α ∗ n die duale Basis. Da O v [t] noethersch ist, gilt nach Lemma 1L w (mD) ⊂ R t ⊂ O v [t]α ∗ 1 + · · · + O v [t]α ∗ n.15

Sei also f = p 1 (t)α1 ∗ + · · · + p n (t)αn ∗ ∈ L w (mD) mit p i ∈ O v [t]. Wir zeigen,daß es eine von f unabhängige Konstante c = c(t, α 1 , . . . , α n , m) gibt, dieden Grad aller Polynome p i (t) beschränkt.Zunächst gilt für alle j:( )∑Spur(fα j ) = Spur p i (t)αi ∗ α j = ∑ p i (t) Spur(αi ∗ α j ) = p j (t)iiund daher p j = ∑ σ σ(fα j), wobei σ die verschiedenen K-Einbettungen vonF in einen algebraischen Abschluß von K(t) durchläuft. Aufgrund des vorherigenLemmas genügt es nun zu zeigen, daß der Grad von p j als rationaleFunktion beschränkt ist. Dazu müssen nur die n Summanden σ(fα j ) alsbeschränkt nachgewiesen werden.Da die Ungleichung (f) + mD ≥ 0 stets an allen Stellen, an denen fdefiniert ist, erfüllt ist, giltf ∈ L(mD) ⇐⇒ (f) ∞ ≤ mD.Daher ist der Grad von f beschränkt: deg f = deg(f) ∞ ≤ m deg(D) unddamit auch der Grad von σ(f). Ist deg σ(f) ≤ c ′ (σ, m), so gilt schließlichdeg σ(fα j ) ≤ c ′ + maxideg σ(α i ) für alle j = 1, . . . , n.f ist also in dem endlichen O v -Moduln∑i=1 j=0c∑t j αi ∗ O v enthalten.Bemerkung 1. Lemma 3 besitzt folgende Verallgemeinerung: Sei O v ein (beleibiger)Bewertungsring und V eine Menge von Konstantenreduktionen, dieeigentlich ist (im Sinne von [Gre, Definition 1.1]). Ist dann E ein endlichdimensionalerK-Untervektorraum von F , so giltdim K (E) = dim Kv (Ev),wobei Kv der Restklassenkörper von K bzgl. v ist und Ev := (E ∩ O w +m v O w )/m v O w mit m v := {x ∈ F | w(x) > 0} und w die inf-Norm. Insbesondereist dann E ∩ O v ein endlicher O v -Modul.Wir kommen nun zumBeweis von Satz 1. Der O v -ModulR t = ⋃ m≥1L w (mD) = lim −→L w (mD)16

ist als induktiver Limes von freien Moduln flach.Alle bisherigen Überlegungen gelten genauso für t −1 an Stelle von t, dawir nur vorausgesetzt haben, daß t transzendent über K ist und F/K(t) eineseparable Erweiterung ist. Also ist auch der ganze Abschluß R t −1 von O v [t −1 ]in F ein flacher O v -Modul und damit˜P 1 O v= Spec(R t ) ∪ Spec(R t −1),entlang (Spec(O v [t, t −1 ]))˜ verklebt, flach über Spec(O v ).Bemerkung 2. Wir haben eingangs schon erwähnt, daß man mehr über diezu einer eigentlichen Menge von Konstantenreduktionen V assoziierten O v -KurveSpec(R t ) ∪ Spec(R t −1)(t ein Element mit der Eindeutigkeitseigenschaft für V ) weiß. In der Tat giltmit den obigen Bezeichnungen ([G-M-P2, Theorem 1.1])Spec(R t ) ∪ Spec(R t −1) ∼ = Proj ⊕ m≥0L w (mD).Aber auch über den ganzen Abschluß R t des Ploynomringes O v [t] übereinem (beliebigen) Bewertungsring O v in einer endlichen, separablen ErweiterungF/K(t) ist mehr bekannt: Nach Lemma 1 ist R t ein endlicher O v [t]-Modul. Dies ist nach [Kna, Theorem 3.1] (s. auch [G-M-P2, Lemma 1.2])bereits äquivalent dazu, daß R t ein freier O v [t]-Modul vom Rang [F : K(t)]ist. Daraus folgt insbesondere die Flachheit von R t über O v .17

3 Ebene Knotenkurven3.1 KnotenIn diesem Abschnitt soll der Begriff des Knotens auf einer Kurve erläutertund charakterisiert werden.Wir betrachten zunächst ebene, affine Kurven über einem algebraischabgeschlossenen Körper k. Ist f ∈ k[x, y] ein Polynom, so bezeichnen wir diedurch die Gleichung f = 0 definierte ebene, affine Kurve mitC f := Spec (k[x, y]/(f)) .Sei P = (a, b) ein Punkt von C := C f und T (x, y) := (x + a, y + b) dieTranslation, die den Nullpunkt in den Punkt P verschiebt. Sei f T (x, y) :=f(x + a, y + b) das Polynom, das die verschobene Kurve C f T definiert. Wirschreibenf T = f r + f r+1 + · · · + f d , f r ≠ 0,mit den homogenen Komponenten f i vom Grad i und nennen die Linearfaktorenvon f r die Tangenten von C im Punkt P . Die Zahlµ P (C) := µ (0,0) (C f T ) := rheißt die Multiplizität von P auf C. Ein beliebiger Punkt Q liegt genau dannauf C, wenn µ Q (C) > 0. Ferner sind die Punkte Q mit µ Q (C) > 1 genau diesingulären Punkte von C. Ein Doppelpunkt ist ein Punkt der Multiplizität2. Ein Doppelpunkt heißt gewöhnlich, wenn zusätzlich die beiden Tangentenverschieden sind, d.h. f 2 zerfällt in teilerfremde Linearfaktoren. GewöhnlicheDoppelpunkte heißen auch Knoten. Ist f T = ∏ g i die Faktorisierung von f Tin seine irreduziblen Komponenten, so ist µ P (C f ) = ∑ µ (0,0) (C gi ).Es bezeichne f x := ∂f die (formale) partielle Ableitung von f nach x,∂xf xy := (f x ) y . Wir werden die folgende Charakterisierung von Knoten benutzen:Lemma 5. Sei P ein Doppelpunkt auf der Kurve C = C f . Dann ist P genaudann ein Knoten, wenn f xy (P ) 2 ≠ f xx (P ) f yy (P ).Beweis. Die obige Diskussion zeigt, daß wir P = (0, 0) annehmen dürfen. Seialsof = f 2 + · · · + f d , f i homogen vom Grad i, f 2 ≠ 0.Wir schreibenf 2 = (a 1 x + b 1 y) (a 2 x + b 2 y), a i oder b i ≠ 0, i = 1, 2.18

Dann ist per Definition P genau dann ein Knoten, wenn (a 1 , b 1 ) ≠ λ(a 2 , b 2 )für alle λ ∈ k ∗ , d.h. a 1 b 2 ≠ a 2 b 1 .Andererseits verschwinden alle 2. Ableitungen der f i im Punkt P = (0, 0)für alle i ≥ 3. Daher gilt:f xy (P ) 2 ≠ f xx (P ) f yy (P ) ⇐⇒ (f 2 ) xy (P ) 2 ≠ (f 2 ) xx (P ) (f 2 ) yy (P )⇐⇒ (a 1 b 2 + a 2 b 1 ) 2 ≠ 2a 1 a 2 · 2b 1 b 2⇐⇒ (a 1 b 2 − a 2 b 1 ) 2 ≠ 0.Das typische Beispiel eines Knotens ist der Punkt (0, 0) auf der (reduziblen)KurveC xy = Spec(k[x, y]/(xy)).Das folgende Lemma zeigt, daß die Eigenschaft Knoten zu sein lokal ist, d.h.nur von der Komplettierung des lokalen Ringes in diesem Punkt abhängt.Lemma 6. Ein Punkt P der ebenen, affinen Kurve C ist genau dann einKnoten, wennÔ C,P∼ = k[[x, y]]/(xy)als k-Algebren.Beweis. Sei o. E. P = (0, 0) ∈ C = C f . Das C definierende Polynom f seivon der Form f(x, y) = f 1 (x, y) + f 2 (x, y) + · · · + f d (x, y), f i homogen vomGrad i. Der Punkt P ∈ C ist genau dann ein Knoten, wenn f 1 = 0 ist undf 2 in teilerfremde Linearfaktoren l 1 und l 2 zerfällt.Sei P ein Knoten. Wir haben die kompletten, lokalen RingeÔ C,P = k[[x, y]]/(f) und ÔC xy,(0,0) = k[[x, y]]/(xy)als isomorph nachzuweisen. Dazu konstruieren wir zunächst schrittweise formalePotenzreiheng = l 1 + g 2 + g 3 + . . .h = l 2 + h 2 + h 3 + . . .mit deg g i = deg h i = i derart, daß f = gh in k[[x, y]] ist. Um g 2 und h 2 zubestimmen hat man die Gleichungh 2 l 1 + g 2 l 2 = f 3zu lösen. Dies ist möglich, weil l 1 und l 2 das maximale Ideal (x, y) ⊂ k[[x, y]]erzeugen. Aus dem selben Grund kann man g 3 und h 3 so finden, daßh 3 l 1 + g 3 l 2 = f 4 − g 2 h 2 .19

Im Grad n schließlich ist die Gleichungh n−1 l 1 + g n−1 l 2 = f n − ∑g i h j (f n = 0 für n > d)i+j=nin h n−1 und g n−1 zu lösen.Es ist also ÔC,P = k[[x, y]]/(gh). Weil g und h mit linear unabhängigen,linearen Termen beginnen, gibt es einen Automorphismus von k[[x, y]], der gauf x und h auf y abbildet. Dieser induziert einen Isomorphismusk[[x, y]]/(gh) ∼ = k[[x, y]]/(xy). (1)Sei nun umgekehrt ein solcher Isomorphismus gegeben. Wir bemerkenzunächst, daß f nicht irreduzibel sein kann in k[[x, y]], denn dann wäre (f)ein Primideal (weil k[[x, y]] ein faktorieller Ring ist) und somit k[[x, y]]/(f) ∼ =k[[x, y]]/(xy) nullteilerfrei, was ja offensichtlich nicht der Fall ist. Es ist alsof = gh mit formalen Potenzreihen g, h ∈ k[[x, y]], die beide keine Einheitensind, also mit linearen Termen beginnen:g = g 1 + g 2 + g 3 + . . .h = h 1 + h 2 + h 3 + . . .mit deg g i = deg h i = i. Daraus folgt, daß f 1 = g 0 h 1 + h 0 g 1 = 0 ist.Nehmen wir nun an es wäre f 2 = l 2 mit einer Linearform l ∈ k[x, y]. Danngibt es eine zu l teilerfremde Linearform q ∈ k[x, y]. Nach einem linearenKoordinatenwechsel können wir l(x, y) = x und q(x, y) = y annehmen. DerIsomorphismus (1) induziert dann einen Isomorphismusk[[x, y]]/(f, y) ∼ = k[[x, y]]/(xy, y) ∼ = k[[x, y]]/(y) ∼ = k[[x]].Nun ist aber k[x, y]/(f, y) ein endlich-dimensionaler k-Vektorraum (weil f =x 2 + f 3 (x, y) + · · · + f d (x, y) und y teilerfremd sind) und daher auch dieKomplettierung k[[x, y]]/(f, y). Für k[[x]] ist dies aber offenbar nicht derFall, im Widerspruch zu obigem Isomorphismus.Bemerkung 3. Allgemeiner hängt die Multiplizität eines Punktes auf einerKurve nur vom lokalen Ring in diesem Punkt ab ([Ful, 3.2, Thm. 2]). Daherist die Zahl µ P (C) auch für eine projektive Kurve C wohldefiniert.Geometrisch sieht eine ebene, affine Kurve in der Nähe eines Knotens alsoso aus wie der Schnitt zweier Geraden. Diese Charakterisierung veranlaßt unszur folgenden20

Definition 1. Ist C eine Kurve über einem beliebigen Körper k und s :Spec(k) −→ C ein k-rationaler Punkt, so heiße s ein k-rationaler Knotenvon C, falls ÔC,s ∼ = k[[x, y]]/(xy).Ist C eine Kurve über einem Ring R und s : Spec(R) −→ C ein R-rationaler Punkt, so heiße s ein R-rationaler Knoten von C, falls für allep ∈ Spec(R) der zugehörige κ(p)-rationale Punkt s p : Spec(κ(p)) −→ C p einκ(p)-rationaler Knoten in der Faser C p von C über p ist. (Dabei ist κ(p) derRestklassenkörper in p.)Eine Kurve heiße schließlich eine m-fache Knotenkurve, falls ihre einzigenSingularitäten m Knoten sind.Bemerkung 4. Dem Beweis von Lemma 6 entnehmen wir, daß wann immereine ebene, affine Kurve C = C f über einem beliebigen Körper durch eineGleichung f = 0 gegeben ist und f 2 in teilerfremde Linearformen zerfällt,P = (0, 0) ein Knoten von C f ist.Beispiel 2. Sei R zunächst ein beliebiger Ring und t ∈ R. Wir betrachtendie ebene, affine Kurve C = C ft = Spec(R[x, y]/(f t )), definiert durchDie partiellen Ableitungen von f sindf = f t = x 2 + txy − y 2 − y 3 .f x = 2x + ty, f y = tx − 2y − 3y 2 ,f xx = 2, f xy = t, f yy = −2 − 6y.Der Punkt (0, 0) ist in jedem Fall ein singulärer Punkt von C. Um zu prüfen,ob er ein Knoten ist, wollen wir Lemma 5 heranziehen und berechnenf xx (0, 0) · f yy (0, 0) = −4 und f xy (0, 0) 2 = t 2 .Der Punkt (0, 0) ist also genau dann ein Knoten, wenn in allen Fasern von Cgilt. Konkreter:a) R = Z.t 2 ≠ −4Dann gilt für alle t ∈ Z, daß (0, 0) kein Knoten von C ist, weil eszu jedem t ∈ Z eine Prinzahl p mit t 2 ≡ −4 (mod p) gibt, d.h. inmindestens einer Faser von C ist (0, 0) kein Knoten.b) R = Z[ √ −5].Dann ist (0, 0) genau dann ein Knoten, wenn t = ± √ −5 ist. Es giltnämlich genau dann t 2 ≢ −4 (mod p) für alle Primzahlen p, wennt 2 +4 = ±1 ist, d.h. wenn t = ± √ −5 ist (beachte √ −3 ∉ R = Z[ √ −5]).21

Beispiel 3. Sei k ein algebraisch abgeschlossener Körper der Charakteristikp > 3. Über k betrachten wir die ebene, affine Kurve C f mitf = 3x 2 − 3y 2 + 2y 3 + y paus Beispiel 1 und finden die partiellen Ableitungenf x = 6x,f y = −6y(1 − y),f xx = 6, f xy = 0, f yy = −6 + 12y.C f hat genau zwei singuläre Punkte, nämlich (0, 0) und (0, 1). Beide sindKnoten, daf xx (0, 0)f yy (0, 0) = 6 · (−6) ≠ 0 = f xy (0, 0) 2f xx (0, 1)f yy (0, 1) = 6 · 6 ≠ 0 = f xy (0, 1) 2 .undC f ist also eine 2-fache Knotenkurve.3.2 Lineare Systeme von KurvenGegeben sei eine natürliche Zahl d. Wir interessieren uns für die Menge V daller ebenen, projektiven Kurven vom Grad d über einem algebraisch abgeschlossenenKörper k.Wir zählen zunächst, wieviele Monome vom Grad d es gibt. In zwei Variablensind dies gerade die Monome der Form M = X d−i Y i , i = 0, . . . , d,also d + 1 Stück. In drei Variablen haben sie die Gestalt M = X d−i F i (Y, Z),i∑= 0, . . . , d, wobei die F i Monome in Y, Z vom Grad i sind. Es gibt alsodi=0 (i + 1) = 1 (d + 1)(d + 2) =: N Stück.2Sei nun M 1 , . . . , M N eine fest gewählte Ordnung der Menge der Monomein den Variablen X, Y, Z. Wir betrachten Paare (C, ι) mit einer Kurve C undeiner abgeschlossenen Immersion ι : C ↩→ Pk 2 , so daßι(C) = Proj(k[X, Y, Z]/(F )) mit F ∈ k[X, Y, Z].Zwei solche Paare (C, ι) und (C ′ , ι ′ ) betrachten wir als gleich, wenn sie diegleiche eingebettete Kurve liefern, wenn also ι(C) = ι ′ (C ′ ) ist.Das homogene Polynom F hat die FormF (X, Y, Z) =N∑a i M i (X, Y, Z), a i ∈ k nicht alle 0.i=1Die eingebettete Kurve ι(C) ist also bestimmt durch die Auswahl vonElementen a 1 , . . . , a N aus k. Dabei liefern zwei Systeme (a 1 , . . . , a N ) und22

(a ′ 1, . . . , a ′ N ) genau dann die gleiche eingebettete Kurve, wenn es ein λ ∈ k∗gibt, so daß (a 1 , . . . , a N ) = λ(a ′ 1, . . . , a ′ N ). Mit anderen Worten entsprichtjedem Paar (C, ι) in eineindeutiger Weise ein Punkt im projektiven Raumder Dimension N − 1 = 1d(d + 3). Auf diese Weise können wir V 2 d mit P N−1kidentifizieren.Definition 2. Eine Untervarietät V ⊂ P N−1kheiße linear, falls es LinearformenL 1 , . . . , L r in den Unbestimmten a 1 , . . . , a N gibt, so daß V von der FormV = V (L 1 , . . . , L r ) ist.Eine lineare Untervarietät von P N−1k, die dadurch entsteht, daß wir weitereBedingungen an die Paare (C, ι) stellen, heiße ein lineares System von(ebenen, projektiven) Kurven.Beispiel 4. Die Menge V d (P ) aller ebenen, projektive Kurven, auf denender Punkt P ∈ Pk2 liegt, bildet eine Hyperebene in PN−1k. Ist nämlich P =(x, y, z), so liegt P genau dann auf der zu (a 1 , . . . , a N ) gehörenden Kurve,wenn ∑ a i M i (x, y, z) = 0 ist.Seien nun allgemeiner Punkte P 1 , . . . , P n ∈ P 2kund nicht-negative ganzeZahlen r 1 , . . . , r n gegeben. Wir bezeichnen mit V d (r 1 P 1 , . . . , r n P n ) die Teilmengealler Kurven C aus V d , für die µ Pi (C) ≥ r i für alle i = 1, . . . , n gilt.Satz 2. Ist d ≥ ( ∑ r i ) − 1, so bildet V d (r 1 P 1 , . . . , r n P n ) ein lineares System∑von Kurven der Dimension N − 1 − n 1r 2 i(r i + 1).i=1Beweis. Sei zunächst n = 1 und r := r 1 . Wir können o. E. P = (0, 0, 1)annehmen, denn ein projektiver Koordinatenwechsel auf Pk2 induziert einenprojektiven Koordinatenwechsel auf P N−1k. Sei (C, ι) eine ebene, projektiveKurve definiert durch ein homogenes Polynom F , das wir schreiben alsF = ∑ F i (X, Y )Z d−i , deg F i = i.Nun ist µ P (C) ≥ r genau dann, wenn F 0 = F 1 = · · · = F r−1 = 0. Wir zählendie Monome X i Y j Z k mit i + j < r zu genau 1 + 2 + · · · + r = 1 r(r + 1).2Daraus folgt die Aussage für n = 1 und die Ungleichungdim V d (r 1 P 1 , . . . , r n P n ) ≥ N − 1 − ∑ 12 r i(r i + 1)im allgemeinen Fall.Wir zeigen nun durch Induktion nach m := ( ∑ r i )−1 die Unabhängigkeitder Bedingungen und damit den Satz. Für m = 0 ist n = r 1 = 1, und es liegtgerade der Hyperebenenfall aus Beispiel 4 vor.23

Sei jetzt m ≥ 1. Sind alle r i = 1, so genügt es zu zeigen, daß die InklusionenV d ⊃ V d (P 1 ) ⊃ V d (P 1 , P 2 ) ⊃ · · · ⊃ V d (P 1 , . . . , P n )alle strikt sind. Wählt man aber Linearformen L i ∈ k[X, Y, Z], die die PunkteP i als Nullstelle haben, nicht aber P j (∀ j ≠ i), sowie eine Linearform L 0 ,die keinen der Punkte P i enthält, so istF := L 1 · · · · · L n−1 L d−n+10 ∈ V d (P 1 , . . . , P n−1 ) \ V d (P 1 , . . . , P n ).Sei jetzt r = r 1 > 1 und P = P 1 = (0, 0, 1). Wir setzenund schreiben für F ∈ V 0V 0 := V d ((r − 1)P, r 2 P 2 , . . . , r n P n )∑r−1F ∗ (X, Y ) := F (X, Y, 1) = a i X i Y r−1−i + H(X, Y ), deg H ≥ r.i=0Mit V i := {F ∈ V 0 | a j = 0 für alle j < i} sind nun die InklusionenV 0 ⊃ V 1 ⊃ · · · ⊃ V r = V d (rP, r 2 P 2 , . . . , r n P n )als strikt nachzuweisen. Dazu sei analog den obigen Definitionen im Gradd − 1W 0 := V d−1 ((r − 2)P, r 2 P 2 , . . . , r n P n ) undW i := {F ∈ W 0 | F ∗ = ∑ a i X i Y r−2−i + . . . , a j = 0 für alle j < i}.Per Induktion hat man dann eine Kette strikter InklusionenW 0 ⊃ W 1 ⊃ · · · ⊃ W r−1 = V d−1 ((r − 2)P, r 2 P 2 , . . . , r n P n ).Ist daher F i ∈ W i \ W i+1 , so gilt Y F i ∈ V i \ V i+1 für alle i = 0, . . . , r − 2 undXF r−2 ∈ V r−1 \ V r .Wir halten zwei Spezialfälle des Satzes fest:1. Ist r 1 = · · · = r m = 1, dann besagt der Satz, daß das lineare SystemV d (P 1 , . . . , P m ) aller ebenen, projektiven Kurven vom Grad d, auf denendie Punkte P 1 , . . . , P m (d > m) liegen, die Dimension N − 1 − m hat.2. V d (2P 1 , . . . , 2P m ) ist das lineare System aller ebenen, projektiven Kurvenvom Grad d (d > 2m), die die singulären Punkte P 1 , . . . , P m enthalten.Es hat die Dimension N − 1 − 3m.24

3.3 Knotenkurven sind nicht-singuläre PunkteιSei C ↩→ Pk2 eine ebene, projektive Kurve über k vom Grad d und seienP 1 , . . . , P m Punkte der projektiven Ebene Pk 2 . Wir knüpfen an die Überlegungenvon Abschnitt 3.2 an und fassen (C, P 1 , . . . , P m ) als Punkt der projektivenVarietätΠ k := P N−1k× Pk 2 × · · · × Pk2der Dimension N −1+2m auf, indem wir wie dort (C, ι) als Punkt von P N−1kdeuten und den Punkt P ν als Punkt des ν-ten Faktors Pk2 (ν = 1, . . . , m). Esseien T i,j,k , i, j, k ≥ 0, i + j + k = d, projektive Koordinaten für den erstenFaktor und X ν , Y ν , Z ν , ν = 1, . . . , m, projektive Koordinaten für die übrigenm Faktoren.Wir definieren die Untervarietät W k := W k (d, m) von Π k durch die 3mhomogenen GleichungenF ν :=∑i+j+k=dT i,j,k X i νY jν Z k ν = 0G ν := ∂F ν∂X ν= 0 (2)H ν := ∂F ν∂Y ν= 0 ν = 1, . . . , m.Sind P 1 , . . . , P m singuläre Punkte von C, so liegt (C, P 1 , . . . , P m ) ∈ Π koffensichtlich in W k . Ist umgekehrt (C, P 1 , . . . , P m ) ein Punkt von W k undliegen alle Punkte P ν im affinen Teil D + (Z) von Pk 2,so sind P 1, . . . , P m singulärePunkte von C. Insbesondere gilt nach dem zweiten Spezialfall vonSatz 2dim W k = dim V d (2P 1 , . . . , 2P m ) + 2m = N − 1 − 3m + 2m = N − 1 − m.Satz 3. Ist C eine ebene, projektive Knotenkurve mit den Knoten P 1 , . . . , P m ,so ist (C, P 1 , . . . , P m ) ein nicht-singulärer Punkt von W k .Beweis. Sei also C eine solche Kurve und P 1 , . . . , P m ihre Knoten. In Π kgehen wir zu den affinen Koordinatent i,j,k =T i,j,kT i0 ,j 0 ,k 0,x ν = X νZ ν,y ν = Y νZ νso über, daß der Punkt (C, P 1 , . . . , P m ) in der dadurch entstandenen UntervarietätW k ′ vonΠ ′ k := A N−1k× A 2 k × · · · × A 2 k25

liegt. Genauer ist die affine Variatät W k ′ definiert durch die Gleichungen∑f ν := t i,j,k x i νyν j = 0i+j+k=dg ν := ∂f ν∂x ν= 0 (3)h ν := ∂f ν∂y ν= 0 ν = 1, . . . , m.Wir haben also zu zeigen, daß die Matrix⎛ ⎞df νJ := ⎝ dg ν⎠dh νν=1,...,min dem zu (C, P 1 , . . . , P m ) gehörenden, affinen Punkt (C ′ , P ′ 1, . . . , P ′ m) denRangN − 1 + 2m − dim W ′ k = N − 1 + 2m − (N − 1 − m) = 3mhat. J ist eine (3m) × (N − 1 + 2m)-Matrix und setzt sich aus den folgendenBlöcken zusammen:⎛ ( ) ( ) ( ) ⎞∂f ν∂f ν∂f ν∂t i,j,k ν=1,...,m ∂x µ ν=1,...,m ∂y µ ν=1,...,m⎟i+j+k=dµ=1,...,mµ=1,...,m(J =⎜⎝ (∂g ν∂t i,j,k)ν=1,...,mi+j+k=d∂h ν∂t i,j,k)ν=1,...,mi+j+k=d(∂g ν∂x µ)ν=1,...,mµ=1,...,m(∂h ν∂x µ)ν=1,...,mµ=1,...,m(∂g ν∂y µ)ν=1,...,mµ=1,...,m(∂h ν∂y µ)ν=1,...,mµ=1,...,mDabei wurden die Variablen x 1 , y 1 , x 2 , y 2 , . . . , x m , y m neu geordnet zu x 1 , x 2 ,. . . , x m , y 1 , . . . , y m . Dies entspricht einem Basiswechsel und hat keinen Einflußauf den Rang von J.Wir betrachten die Blockmatrizen einzeln im Punkt (C ′ , P 1, ′ . . . , P m). ′ Dieoberen Blöcke rechts und in der Mitte sind beide Null, da für alle µ ≠ νdie partiellen Ableitungen ∂fν∂x µsinguläre Punkte von C ′ sind, d.h.und ∂fν∂y µ⎟⎠verschwinden und außerdem die P ′ ν∂f ν∂x ν(P ′ ν) = g ν (P ′ ν) = 0,∂f ν∂y ν(P ′ ν) = h ν (P ′ ν) = 0, ν = 1, . . . , m.26

Wir betrachten nun die (2m×2m)-Teilmatrix der vier Blöcke unten rechtsvon J in einer neuen Basis, die dadurch entsteht, daß wir die obige Spaltenvertauschungwieder rückgängig machen und außerdem auf die gleiche Weisedie Zeilen vertauschen. Man erhält eine Matrix, die aus den m 2 Blöcken⎛⎜⎝∂ 2 f ν∂x 2 µ∂ 2 f ν∂y µx µ∂ 2 f ν∂x µy µ∂ 2 f ν∂y 2 µ⎞⎟⎠ν=1,...,mµ=1,...,mbesteht. Sie sind für ν ≠ µ sämtlich Null, es bleiben also nur die Diagonalblöckestehen. Diese haben nach Lemma 5 eine von Null verschiedeneDeterminante, weil die P ′ ν Knoten sind. Der gesamte untere rechte (2m×2m)-Block von J ist daher invertierbar.Es ist also der Rang der oberen linken Teilmatrix zu bestimmen. Sie hatdie Gestalt (αiν β j ν)ν=1,...,mi+j+k=dwenn die Knoten P ′ ν die Koordinaten (α ν , β ν ) haben. Ihr Kern ist also geradeder Vektorraum V d (P 1 , . . . , P m )∪{0}, dessen Dimension wir nach dem erstenSpezialfall von Satz 2 kennen. Wir erhalten insgesamt:rang J(C ′ , P ′ 1, . . . , P ′ m) = N − 1 + 2m − dim Ker J(C ′ , P ′ 1, . . . , P ′ m)= N − 1 + 2m − (N − 1 − m)= 3m.27

4 Hochheben von KurvenSei C eine irreduzible, vollständige Kurve über einem Körper k und ˜C −→ Cihre Normalisierung. Dann kann man das geometrische Geschlecht p g ( ˜C) von˜C aus dem arithmetischen Geschlecht p a (C) von C und der sog. Singularitätszahlδ(C) von C berechnen:p g ( ˜C) = p a (C) − δ(C). (4)Die Singularitätszahl mißt den Grad der Singularität der Kurve C und berechnetsich aus der Anzahl und Struktur der singulären Punkte von C. Sindz. B. alle Singularitäten Knoten, so ist δ(C) einfach die Anzahl dieser singulärenPunkte. Im allgemeinen ist δ(C) eine nicht-negative ganze Zahl, undes ist δ(C) = 0 genau dann, wenn C nicht-singulär ist.Ist nun C eine ebene, projektive Kurve über k vom Grad d, so berechnetsich das arithmetische Geschlecht von C zup a (C) =und man erhält die Plückerformel(d − 1)(d − 2)2p g ( ˜C) =(d − 1)(d − 2)2− δ(C). (5)4.1 Der Fall ebener KnotenkurvenEs sei jetzt k ein algebraisch abgeschlossener Körper, der positive Charakteristikp habe. R sei ein kompletter, diskreter Bewertungsring der Charakteristik0 mit k als Restklassenkörper. Mit K bezeichnen wir den Quotientenkörpervon R. Sei C eine irreduzible, ebene, projektive, m-fache Knotenkurve über kvom Grad d und P 1 , . . . , P m ihre Knoten. C habe das geometrische Geschlechtg. Dann liest sich die Plückerformel alsg =(d − 1)(d − 2)2− m. (6)Wir wollen C zu einer Kurve über R hochheben unter Erhaltung desGeschlechts:Satz 4. Es gibt eine ebene, irreduzible, projektive Kurve C vom Grad d überR derart, daß gilt:1. Die abgeschlossene Faser C k = C × Spec(k) ist die Kurve C, also einem-fache Knotenkurve vom Grad d.28

2. Die generische Faser C K = C × Spec(K) ist ebenfalls eine m-facheKnotenkurve vom Grad d.Insbesondere haben C k und C K dasselbe arithmetische bzw. geometrische Geschlecht.Bevor wir Satz 4 beweisen, betrachten wir zwei Beispiele. Sei C f zunächsteine ebene, affine, m-fache Knotenkurve über k vom Grad d und geometrischemGeschlecht g. C f ist durch eine Gleichung f(x, y) = 0 gegeben. Wirwollen C f zu einer Kurve über R hochheben unter Erhaltung des Geschlechts.Wegen der Relation (6) hat man daher das Polynom f ∈ k[x, y] zu einemPolynom φ ∈ R[x, y] von gleichem Grad hochzuheben derart, daß über denKnoten von f wieder Knoten liegen.Beispiel 5. Seif = x 2 − y 2 − y 3und char(k) > 2. Über k ist C f eine 1-fache Knotenkurve mit dem Knoten(0, 0). Wir müssen die Koeffizienten von f so hochheben, daß über (0, 0) einKnoten liegt. Der Punkt (0, 0) ∈ A 2 R spezialisiert zu (0, 0) ∈ A2 k und mankann hier einfach φ = x 2 − y 2 − y 3 wählen. Die Wahl der Repräsentanten ausden Restklassen der Koeffizienten und der Koordinaten der Knoten ist aberkeineswegs kanonisch. Zum Beispiel ist auch die durch ψ = py + x 2 − y 2 −y 3 definierte Kurve eine Hochhebung von f. Der Punkt (0, 0) ist aber keinsingulärer Punkt mehr von C ψ = Spec(R[x, y]/(ψ)), weil jetzt ψ y (0, 0) = p ≠0 ist.Beispiel 6. Die Kurve C f mitf = 3x 2 − 3y 2 + 2y 3 + y paus den Beispielen 1 und 3 ist eine 2-fache Knotenkurve mit den Knoten(0, 0) und (0, 1). Wir haben schon gesehen, daß man f nicht so naiv wie imvorherigen Beispiel hochheben kann zuφ = 3x 2 − 3y 2 + 2y 3 + y p .Denn über (0, 0) liegt dann zwar in der Tat wieder ein Knoten, aber derPunkt (0, 1) ist jetzt nicht mehr singulär, weil φ y (0, 1) = p ≠ 0 ist.Im allgemeinen liegen über den Knoten also nicht-singuläre Punkte. DieIdee ist nun mit den Gleichungen f(P i ) = 0 auch die Gleichungen f x (P i ) =f y (P i ) = 0 hochheben.29

Beweis von Satz 4. Durch einen projektiven Koordinatenwechsel auf Pk 2 kannman erreichen, daß die Punkte P 1 , . . . , P m alle in dem affinen Teil D + (Z)liegen. Da die Aussage des Satzes nur vom Isomorphietyp von C abhängt,nehmen wir also o. E. P 1 , . . . , P m ∈ D + (Z) an.Dann ist (C, P 1 , . . . , P m ) ein Punkt auf der projektiven Varietät W k ,die durch das Gleichungssystem (2) definiert ist. (C ′ , P 1, ′ . . . , P m) ′ sei wiederder zugehörige Punkt auf der affinen Varietät W k ′ , die durch die Gleichungen(3) definiert ist. Diese Gleichungen haben aber Koeffizienten in Z,wir können sie daher als Gleichungen über R interpretieren. Auf diese Weisedefiniert (3) auch ein abgeschlossenes Unterschema W R ′ := W R ′ (d, m) vonΠ ′ R := AN−1R×A 2 R ×· · ·×A2 R . Die gesuchte Kurve C über R (bzw. genauer derenaffinen Teil C ′ ) erhält man nun durch Hochheben des k-wertigen Punktes(C ′ , P 1, ′ . . . , P m) ′ ∈ W k ′ zu einem R-wertigen Punkt (C′ , Q ′ 1, . . . , Q ′ m) ∈ W R ′ .Dies geschieht mit Hilfe der folgenden Verallgemeinerung des HenselschenLemmas für Systeme von Polynomen in mehreren Variablen ([Mum, S. 247]):Satz 5 (Henselsches Lemma für Varietäten). Sei R ein kompletter lokalerRing mit maximalem Ideal m und Restklassenkörper k. Seien f 1 , . . . ,f n ∈ R[x 1 , . . . , x n ] und a 1 , . . . , a n ∈ k. Es bezeichne ¯f i das Bild von f i ink[x 1 , . . . , x n ]. Es gelte(i)(ii)¯f1 (a 1 , . . . , a n ) = · · · = ¯f n (a 1 , . . . , a n ) = 0 und( ) ∂ ¯fidet (a 1 , . . . , a n ) ≠ 0.∂x jDann gibt es (eindeutig bestimmte) Elemente α 1 , . . . , α n ∈ R, so daß gilt:(1) α i ≡ a i (mod m) für alle i = 1, . . . , n(2) f 1 (α 1 , . . . , α n ) = · · · = f n (α 1 , . . . , α n ) = 0.Beweis. Wir approximieren die gesuchten Elemente α 1 , . . . , α n schrittweiseund zeigen dazu induktiv, daß es für alle r ≥ 1 Elemente a (r)1 , . . . , a (r)n ∈ Rgibt, so daß für alle i = 1, . . . , n die folgenden Bedingungen erfüllt sind:(1) a (r)i ≡ a i (mod m)(2) f i (a (r)1 , . . . , a (r)n ) ≡ 0 (mod m r )(3) a (r)i≡ a (r−1)i (mod m r )Die Elemente α i := limSatzes.r−→∞ a(r) ierfüllen dann die Bedingungen (1) und (2) des30

Für r = 1 genügt es beliebige Repräsentanten a (1)1 , . . . , a (1)n der Elementea 1 , . . . , a n ∈ k in R zu wählen. Sei also r ≥ 2. Wir setzen a (r+1)i := a (r)i + ɛ imit noch zu bestimmenden ɛ i ∈ m r . Dann istf i (a (r+1)1 , . . . , a (r+1) ) ≡nf i (a (r)1 , . . . , a (r)n ) +n∑j=1∂f i∂x j(a 1 , . . . , a n ) · ɛ j (mod m r+1 ).Um die Bedingung (2) zu erfüllen haben wir ɛ 1 , . . . , ɛ n so zu bestimmen, daß⎛⎜⎝f 1 (a (r)1 , . . . , a (r)n ).f n (a (r)1 , . . . , a (r)n )⎞⎟⎠ +⎛( ) ∂fi⎜(a 1 , . . . , a n ) · ⎝∂x j⎞ɛ 1⎟. ⎠ ≡ 0 (mod m r+1 ).ɛ nDie Voraussetzung (ii) besagt nun, daß die Determinate der Matrix( ) ∂fi(a 1 , . . . , a n )∂x jeine Einheit in R ist. Daher gibt es eine dazu inverse Matrix B = (b ij ) mitEinträgen aus R und man kannɛ i := −n∑j=1b ij · f j (a (r)1 , . . . , a (r)n )setzen. Es ist dann ɛ i ∈ m r , weil die f j (a (r)1 , . . . , a (r)n ) nach Induktionsvoraussetzung(2) in m r liegen. Daher gilt auch (3) und wieder induktiv schließlichauch (1).Der Satz ist anwendbar auf die Varietät W k ′ , weil Satz 3 besagt, daß derRang der Matrix⎛ ⎞df νJ = ⎝ dg ν⎠dh νν=1,...,mim Punkt (C ′ , P 1, ′ . . . , P m) ′ gleich 3m ist. Es gibt also homogene (sogar lineare)Polynome p 1 , . . . , p N−1−m aus dem Koordinatenring von Π ′ k derart, daßf ν , g ν , h ν , p 1 , . . . , p N−1−m , ν = 1, . . . , m, die Voraussetzungen des Satzes imPunkt (C ′ , P 1, ′ . . . , P m) ′ erfüllen.Der Satz garantiert dann die Existenz eines Punktes (C ′ , Q ′ 1, . . . , Q ′ m) ∈W R ′ der nach (C′ , P 1, ′ . . . , P m) ′ spezialisiert. C ′ ist also eine affine Kurve über31

R vom Grad d, die die Gleichungen (3) erfüllt, d.h. Q ′ 1, . . . , Q ′ m sind singulärePunkte von C ′ . Die Q ′ i sind paarweise verschieden, weil sie modulo mpaarweise verschieden sind.Die abgeschlossene Faser C ′ ×Spec(k) von C ′ ist die Kurve C ′ . Die PunkteP i ′ = Q ′ i ×Spec(k) sind also Knoten. Die generische Faser C ′ K = C′ ×Spec(K)ist aber auch eine m-fache Knotenkurve. Ist nämlich o. E. P ′ = (0, 0) einKnoten von C ′ , so hat die C ′ definierende Gleichung f ∈ k[x, y] die Formf = f 2 + · · · + f r , f i homogen vom Grad i,und f 2 = l 1 l 2 ist das Produkt zweier teilerfremder Linearformen. Sei o. E.Q ′ = (0, 0) ∈ A 2 R der über P ′ liegende Punkt. Dann hat die C ′ definierendeGleichung φ ∈ R[x, y] die Formφ = φ 2 + · · · + φ r , deg φ i = i, f i = ¯φ i := φ i (mod m),weil Q ′ ein singulärer Punkt ist. Das gewöhnliche Henselsche Lemma sichertnun die Existenz von Linearformen λ 1 , λ 2 ∈ R[x, y] mitφ 2 = λ 1 λ 2 und ¯λi = l i , i = 1, 2.Die λ i sind teilerfremd, weil sie es modulo m sind, und mit der Bemerkungnach Lemma 6 bedeutet das, daß Q ′ ein Knoten von C ′ K ist.Daher sind die Punkte Q ′ i Knoten von C ′ und die beiden Fasern habendieselbe Anzahl m von Knoten als einzige Singularitäten.Es sei nun C der projektive Abschluß von C ′ in PR 2 . Dann ist C eine ebeneprojektive Kurve vom Grad d über R. Die abgeschlossene und generischeFaser von C haben denselben Grad (also auch dasselbe arithmetische Geschlecht)und dieselbe Singularitätszahl (Im Unendlichen ist C nicht-singulär,weil C ′ es ist.) und daher aufgrund der Formel (5) auch dasselbe geometrischeGeschlecht.4.2 Der allgemeine Fall: Beweis des HauptsatzesWir wollen uns jetzt nicht mehr auf ebene Kurven beschränken und schließlichdas eingangs gestellte Hochhebeproblem lösen. Sei also C 0 eine irreduzible,nicht-singuläre, projektive Kurve über k vom Geschlecht g. Wir zeigen:Satz 6. Es gibt eine irreduzible, glatte Kurve C 0 über R derart, daß dieFasern von C 0 irreduzible, nicht-singuläre Kurven vom Geschlecht g sind unddie abgeschlossene Faser (C 0 ) k isomorph zu C 0 ist.32

Beweis. C 0 ist birational äquivalent zu einer ebene Knotenkurve C ⊂ P 2k . Chat also das gleiche geometrische Geschlecht wie C 0 . SeiC ′ = Spec (k[x, y]/(f(x, y))eine affine, offene Teilmenge von C, die alle Knoten von C enthalte.Wir behaupten zunächst, daß wir f nach einem linearen Koordinatenwechselvon der Formf(x, y) = y d + a 1 (x)y d−1 + · · · + a d−1 (x)y + a d (x)mit a i (x) ∈ k[x] und deg f = d annehmen können. Für a ∈ k betrachten wirdazu die lineare Transformationx ↦−→ x ′ := x − ayy ↦−→ y.Bezeichnet f d den homogenen Teil vom Grad d von f, so ist der Termhöchsten Grades in y von f d (x ′ + ay, y) gerade f d (a, 1)y d . Wir müssen dastransformierte Polynom f ′ (x ′ , y) := f(x ′ + ay, y) also noch durch den Faktorf d (a, 1) teilen und betrachten dazu f d (a, 1) als Polynom in a. Per Definitionkann dies nicht das Nullpolynom sein. Nun hat der Körper k unendlich vieleElemente, weil er nach Voraussetzung algebraisch abgeschlossen ist. Daherist f d (a, 1) auch nicht die Nullabbildung, d.h. für jedes hinreichend allgemeinea ∈ k gilt f d (a, 1) ≠ 0, und die Behauptung ist bewiesen. (Die Aussagefolgt auch aus dem Noetherschen Normalisierungssatz, ein Spezialfall dessenwir hier bewiesen haben, nämlich daß die Ringerweiterungk[x] ∼ = k[x ′ ] ↩→ k[x ′ , y]/(f ′ ) ∼ = k[x, y]/(f)ganz ist, s. u. und vgl. [Eis, Thm. 13.3].)Wie in Satz 4 heben wir jetzt C ′ zu einer ebenen, affinen Kurve C ′ gleichenGrades über R hoch. C ′ ist dann durch eine Hochhebung φ von f definiertund φ hat die Formφ(x, y) = αy d + α 1 (x)y d−1 + · · · + α d−1 (x)y + α d (x)mit α i (x) ∈ R[x], deg φ = d und α ∈ R\m = R × (andernfalls hätte f = ¯φ = φmod m nicht den Grad d). Wir können diese Gleichung also noch durch αteilen und nehmen daher ab jetzt α = 1 an.Wir betrachten jetzt den aus den natürlichen Abbildungen zusammengesetzten,injektiven Ringhomomorphismusθ : R[x] −→ R[x, y] −→ R[x, y]/(φ),33

und die so bestimmte Ringerweiterung R[x, y]/(φ) / R[x]. Die Reduktion modulo(φ) der oben erhaltenen Gleichungφ(x, y) = y d + α 1 (x)f d−1 + · · · + α d−1 (x)y + α d (x)ist nun eine Ganzheitsgleichung für das Bild von y in R[x, y]/(φ) über R[x],d.h. R[x, y]/(φ) ist ganz über R[x]. Daher induziert θ einen endlichen Morphismusθ ∗ : C ′ = Spec (R[x, y]/(φ)) −→ Spec(R[x]) = A 1 Rvon affinen R-Kurven.Sei nun Φ ∈ R[X, Y, Z] die Homogenisierung von φ (Die projektiven Koordinatenseien so gewählt, daß x = X Z und y = Y Z ):Φ(X, Y, Z) = Y d + β 1 (X, Z)Y d−1 + · · · + β d−1 (X, Z)Y + β d (X, Z) (7)Wie im Beweis von Satz 4 seiC := Proj (R[X, Y, Z]/(Φ))der projektive Abschluß von C ′ in PR 2 . Wir gehen analog dem affinen Fall vorund definieren den graduierten RinghomomorphismusΘ : R[X, Z] −→ R[X, Y, Z] −→ R[X, Y, Z]/(Φ)als Verkettung der natürlichen Abbildungen. Dieser induziert zunächst ledeglicheinen Morphismus von der offenen TeilmengeU := {p ∈ Proj (R[X, Y, Z]/(Φ)) | p ⊉ Θ(R[X, Z] + )} ⊂ Cnach Proj(R[X, Z]) = PR 1, wobei wir mit R[X, Z] + das Ideal des graduiertenRinges R[X, Z] bezeichnen, das aus allen Elementen von positivem Gradbesteht. Wir zeigen, daß C = U ist. Sei also p ∈ C, d.h. p ist ein homogenesPrimideal in R[X, Y, Z]/(Φ) mit der Eigenschaft p ⊉ (R[X, Y, Z]/(Φ)) + . Esist zu zeigen, daß p ⊉ Θ(R[X, Z] + ) ist. Angenommen, das wäre nicht derFall. Dann enthielte p alle Polynome in X, Z vom Grad > 0. Aufgrund derRelation (7) wäre dann auch Y d und somit auch Y in p enthalten. Alsoenthielte p alle homogenen Polynome modulo (Φ) von positivem Grad imWiderspruch zu p ⊉ (R[X, Y, Z]/(Φ)) + .Wir erhalten also einen Morphismus von projektiven R-KurvenΘ ∗ : C −→ P 1 R.34

Wir zeigen als nächstes, daß auch Θ ∗ endlich ist. In der Tat, C ist überdecktvon den beiden offenen, affinen TeilmengenD + (X) und D + (Z).Auf D + (Z) ist Θ ∗ induziert von θ : R[x] −→ R[x, y]/(φ), dessen Endlichkeitwir oben schon gesehen haben. Auf D + (X) ist Θ ∗ induziert vonθ ′ : R[z ′ ] −→ R[y ′ , z ′ ]/(Φ ′ ), wobei y ′ = Y , X z′ = Z und Xφ′ die Dehomogenisierungvon Φ bzgl. X ist. Dieser Ringhomomorphismus ist aber aus demgleichen Grund endlich: Dehomogenisierung der Gleichung (7) bzgl. X lieferteine Ganzheitsgleichung für das Bild von y ′ in R[y ′ , z ′ ]/(φ ′ ) über R[z ′ ], d.h.θ ′ ist endlich.Sei nun ˜C −→ C die Normalisierung von C und sei ˜P R 1 −→ P1 R die Normalisierungvon PR 1 im Funktionenkörper K(C′ ) von C ′ (K(C ′ )/K(t) ist vondem endlichen Morphismus C ′ −→ A 1 R ↩→ P1 R induziert). Weil Θ∗ endlich ist,ist auch die Verkettung ˜C −→ C −→ PR 1 endlich, und es folgt, daß die beidenNormalisierungen ˜C und ˜P R 1 isomorph (über P1 R ) sind. Insgesamt erhalten wirdas kommutative Diagramm˜C −−−→ C ←−−− C ′⏐⏐ ⏐ ⏐↓θ↓ ↓Θ ∗∗(8)˜PR 1 −−−→ P1 R ←−−− A1 R .∼=Aus Abschnitt 2 wissen wir, daß die Normalisierung von P 1 über dem diskretenBewertungsring R flach ist. Also gilt dies auch für ˜C.Nach Konstruktion (vgl. Satz 4) ist C eine ebene, projektive Knotenkurveüber R, deren Fasern dasselbe geometrische Geschlecht g haben und derenabgeschlossene Faser C k isomorph zu C ist. Wir behaupten, daß die Kurve ˜Cdie gesuchte Kurve C 0 ist und betrachten dazu das kommutative Diagramm˜C K −−−→ C K −−−→ Spec(K)⏐ ⏐⏐↓ ↓↓˜C −−−→ C −−−→ Spec(R)↑ ↑↑⏐ ⏐⏐˜C k −−−→ C k −−−→ Spec(k).(9)Dabei bezeichnet ˜C K := ˜C × Spec(K) die generische und ˜C k := ˜C × Spec(k)die abgeschlossene Faser von ˜C.35

Die generische Faser ˜C K ist gleich der Normalisierung der generischenFaser C K , weil Normalisieren mit Lokalisieren vertauscht.Die abgeschlossene Faser ˜C k ist irreduzibel. In der Tat, wir betrachten ˜C kwie im Diagramm (8) als Kurve über PR 1 . Dann liegen die generischen Punkte˜η i von ˜C k über dem generischen Punkt η von PR 1. Der lokale Ring O PR 1,η istgerade der Bewertungsring derGaußbewertung v t auf K(t) = K(PR 1 ). Die generischen Punkte der abgeschlossenenFaser ˜C k entsprechen den Fortsetzungen von v t auf K(˜C). Nunist aber[K(˜C) : K(t)] = [K(C) : K(t)] = [K(C k ) : k(t)],somit hat v t (wegen der fundamentalen Ungleichung für die endliche, separableKörpererweiterung K( ˜C)/K(t)) eine eindeutige Fortsetzung auf K(˜C).Das bedeutet, daß über η genau ein generischer Punkt ˜η von ˜C liegt, unddieser ist der generische Punkt der abgeschlossenen Faser ˜C k .Im Teildiagramm unten links von (9) induziert die Normalisierung ˜C −→C den birationalen Morphismus˜C k = ˜C × Spec(k) −→ C × Spec(k) = C kauf den abgeschlossenen Fasern.Wir zeigen jetzt, daß die Fasern von ˜C nicht-singuläre Kurven sind. Fürdie generische Faser ist das klar, da ˜C K eine normale Kurve über K ist.Insbesondere sind dann das arithmetische und das geometrische Geschlechtvon ˜C K gleich. Die beiden Fasern ˜C K und ˜C k haben nun beide das gleichegeometrische Geschlecht wie die Kurve C k∼ = C, weil das für die Kurve CK derFall ist und das geometrische Geschlecht eine birationale Invariante ist. Diearithmetischen Geschlechter der Fasern sind aber auch gleich, weil ˜C flachüber R ist. Daher haben wir mit Formel (4) insgesamtp a (˜C k ) = p a (˜C K ) = p g (˜C K ) = p g (˜C k ) = p a (˜C k ) − δ(˜C k ),also δ(˜C k ) = 0, d.h. ˜C k ist nicht-singulär.˜C −→ Spec R ist also ein flacher Morphismus von endlichem Typ dessenabgeschlossene Faser eine nicht-singuläre Kurve ist. Daher (vgl. [Mum, S.304]) ist ˜C −→ Spec R glatt (von relativer Dimension 1). Insbesondere istder birationale Morphismus˜C k −→ C k∼ = C −→ C0ein Isomorphismus von k-Kurven. Die Kurve C 0 := ˜C erfüllt somit alle Forderungenvon Satz 6.36

Beispiel 7. Wir wollen jetzt auch die 2-fache Knotenkurve C f mitf = 3x 2 − 3y 2 + 2y 3 + y paus Beispiel 1 über einem algebraisch abgeschlossenen Körper der Charakteristikp > 3 hochheben. Dazu haben wir gleichzeitig Hochhebungen zu findenfür• die Koeffizienten von f(x, y) = 3x 2 − 3y 2 + 2y 3 + y p ,• die Koordinaten der Knoten (0, 0) und (0, 1),• die Koeffizienten der Gleichungen f x (0, 0) = f y (0, 0) = 0 und f x (0, 1) =f y (0, 1) = 0.Wir heben die Knoten zu (0, 0) bzw. (0, 1) ∈ A 2 R hoch. Wir müssen jetztandere Repräsentanten der Restklassen der Koeffizienten von f als in Beispiel6 wählen.Um die Bedingung φ y (0, 1) = 0 zu erfüllen möchte manφ(x, y) = −py + 3x 2 − 3y 2 + 2y 3 + y psetzen, d.h. den Koeffizienten 0 bei y zu −p hochheben. Aber dann ist (0, 0)kein singulärer Punkt mehr von C φ .Wir heben jetzt 1 bei y p zu 1 − p hoch und 0 bei y p−1 zu p. Dann istφ(x, y) = 3x 2 − 3y 2 + 2y 3 + py p−1 + (1 − p)y pund in der Tat erfüllt C φ = Spec(R[x, y]/(φ)) jetzt die geforderten Eigenschaften:1. φ ist eine Hochhebung von f, weil¯φ = φ (mod m) = 3x 2 − 3y 2 + 2y 3 + y p = f.2. (0, 0) und (0, 1) liegen auf C φ , weilφ(0, 0) = 0 und φ(0, 1) = −3 + 2 + p + 1 − p = 0.3. (0, 0) und (0, 1) sind singuläre Punkte von C φ , weilφ x = 6x,φ y = −6y + 6y 2 + p(p − 1)y p−2 + p(1 − p)y p−1und daherφ x (0, 0) = φ y (0, 0) = 0 und φ x (0, 1) = φ y (0, 1) = 0.37

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