12.¨Ubungsblatt zur ” Reellen Analysis“

Institut für MathematikProf. Dr. Helge GlöcknerDipl. Math. Michael SchröderWS 08/0905.01.200912. Übungsblatt zurReellen Analysis“”GruppenübungAufgabe G28 (Reihen von Maßen)Es sei (X, S) ein Messraum und (µ j ) j∈N eine Folge von Maßen µ j auf (X, S). In derVorlesung wurde mit Hilfe des Doppelreihensatzes (Folgerung 3.27) gezeigt, dass auchµ: S → [0, ∞], µ(A) := ∑ ∞j=1 µ j(A), ein Maß ist.(a) Zeigen Sie mit dem Beweisprinzip der Integrationstheorie (siehe Vorlesung), dassfür jede nicht-negative messbare Funktion f : X → [0, ∞] gilt:∫Xf dµ =∞∑(∫j=1X)f dµ j . (1)Hinweis für Schritt 3: Nach Folgerung 3.26 ist der Satz über monotone Konvergenz auch für Reihenvon Zahlen in [0, ∞] gültig.(b) Zeigen Sie: Ist f : X → R bzgl. µ über X integrierbar, so ist f für jedes j ∈ N bzgl.µ j über X integrierbar und es gilt (1).[Spalten Sie f in Positiv- und Negativteil auf und benutzen Sie (a) ! ]Lösung: (a) Sei zunächst f = 1 A charakteristische Funktion einer Menge A ∈ S. Dannist∫∞∑∞∑∫1 A dµ = µ(A) = µ j (A) = 1 A dµ j ,Xj=1wie verlangt. Ist nun s = ∑ nk=1 α k1 Ak eine nicht-negative Stufenfunktion mit α k ≥ 0mit paarweise disjunkten Mengen A k ∈ S, so folgt aus dem Vorigen∫Xs dµ ==n∑∫α kk=1∞∑j=1 k=1Xn∑∫α k1 Ak dµ =Xn∑1 Ak dµ j =j=1X∫∑∞α kk=1 j=1X∞∑∫j=1X1 Ak dµ js dµ j ,

12. Übung Reellen Analysiswie gewünscht. Ist nun f : X → [0, ∞] messbar, so sei (s n ) n∈N eine monoton wachsendeFolge nicht-negativer Stufenfunktionen, die punktweise gegen f konvergiert (Satz 3.4).Nach dem Satz über monotone Konvergenz gilt dann∫∫f dµ = lim s n dµ und (2)n→∞XX∫∫f dµ j = lim s n dµ jXn→∞X} {{ } } {{ }=:a(j)=:a n(j)für jedes j ∈ N. Beachte, dass die Folge (a n ) n∈N der Funktionen a n : N → [0, ∞] punktweisemonoton wächst und punktweise gegen a : N → [0, ∞] konvergiert. Indem wirmittels Folgerung 3.26 Reihen als Integrale bzgl. des Zählmaßes ζ auf N umschreiben,erhalten wir∫X∫f dµ = limn→∞X∫= lim a n dζ =n→∞N∞∑ ∞∑∫= a(j) =j=1s n dµ = limj=1∞∑∫n→∞j=1∫XN(limn→∞ a nf dµ js n dµ j = lim)∫dζ =n→∞j=1Na dζ∞∑a n (j)unter Benutzung von (2), (3), des bereits für Stufenfunktionen Gezeigten und des Satzesüber monotone Konvergenz (für das fünfte Gleichheitszeichen).Aufgabe G29 (Riemann-Integrale als Lebesgue-Integrale)Berechnen Sie das Lebesgue-Integral ∫ [0,1] f d˜λ, in dem Sie es auf ein geeignetes Riemann-Integral zurückführen:(3)(a) f(x) := x 2 (b) f(x) :={ cos(x) für x ∈ Q ∩ [0, 1];x 2 für x ∈ [0, 1] \ Q.Lösung: (a) Als stetige Funktion auf einem kompakten Intervall ist f : [0, 1] → R, x ↦→x 2 Riemann-integrierbar, nach Satz 4.13 also auch Lebesgue-integrierbar mit gleichemIntegral:∫∫ 1 [x 2 d˜λ(x) = x 2 dx = x 3 /3 ] 10 = 1/3 .[0,1]0Wir könnten hier übrigens auch das Lebesgue-Maß ˜λ durch das Lebesgue-Borel-Maß λersetzen, da f stetig und somit f : ([0, 1], B([0, 1])) → (R, B(R)) messbar ist.(b) Die Funktion f stimmt außerhalb der abzählbaren Menge [0, 1]∩Q vom Maß ˜λ([0, 1]∩Q) = λ([0, 1] ∩ Q) = 0 mit der Funktion g : [0, 1] → R, g(x) := x 2 überein. Es gilt also2

12. Übung Reellen Analysisf(x) = g(x) fast überall. Da die Lebesgue-Integrale von f und g nach Folgerung 3.18 (c)übereinstimmen, erhalten wir mit Teil (a):∫[0,1]f d˜λ =Aufgabe G30 (Nullmengen)∫[0,1]g d˜λ =∫ 10x 2 dx = 1/3 .Zur Erinnerung: Ist (X, S, µ) ein Maßraum, so heißt N ⊆ X eine µ-Nullmenge, falls eseine messbare Menge A ∈ S gibt mit N ⊆ A und µ(A) = 0. Zeigen Sie:(a) Ist N ⊆ X eine µ-Nullmenge, so auch jede Teilmenge M ⊆ N.(b) Sind N 1 , N 2 , . . . µ-Nullmengen, so ist auch ⋃ n∈N N n eine µ-Nullmenge.(c) Jede abzählbare Teilmenge von R ist eine λ-Nullmenge.(d) Jede λ-Nullmenge N ⊆ R hat leeres Inneres.(e) Ist N ⊆ R eine λ-Nullmenge, so ist R \ N dicht in R, also (R \ N) ∩ V ≠ ∅ für jedenicht-leere, offene Teilmenge V ⊆ R.Lösung: (a) Ist N ⊆ X eine µ-Nullmenge, so existiert A ∈ S mit N ⊆ A und µ(A) = 0.Ist M ⊆ N eine Teilmenge, so ist M ⊆ A und somit auch M eine Nullmenge.(b) Für jedes n ∈ N existiert eine Menge A n ∈ S mit N n ⊆ A n und µ(A n ) = 0. Dann istA := ⋃ n∈N A n ∈ S und 0 ≤ µ(A) ≤ ∑ ∞n=1 µ(A n) = 0, also µ(A) = 0. Da ⋃ n∈N N n ⊆ A,ist ⋃ n∈N N n eine µ-Nullmenge.(c) Jede einpunktige Teilmenge {x} ⊆ R ist eine Borelmenge vom Maß λ({x}) = 0und somit eine λ-Nullmenge (man nehme A := ∅). Nach Teil (b) ist dann auch jedeabzählbare Teilmenge N = ⋃ x∈N{x} von R eine λ-Nullmenge.(d) Beweis durch Kontraposition: Ist N ⊆ R eine Menge mit nicht-leerem Inneren, soexistieren a, b ∈ R mit a < b und ]a, b[ ⊆ N. Für jede Borelmenge A ∈ B(R) mit N ⊆ Agilt dann ]a, b[ ⊆ A und somitAlso ist N keine Nullmenge.0 < b − a = λ(]a, b[) ≤ λ(A) .(e) Wäre R \ N nicht dicht in R, so gäbe es eine nicht-leere offene Teilmenge V ⊆ R mitV ∩ (R \ N) = ∅, also V ⊆ N. Die Menge N hat daher nicht-leeres Inneres und ist nachTeil (d) folglich keine Nullmenge.3