ZentralÃƒÂ¼bung Diskrete Strukturen (zur Vorlesung Prof. Mayr)

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Sei also deg(x) ≥ 6 für alle x ∈ V .Es folgt zunächst |V | ≥ 3.Die Summe aller Gradzahlen von Knoten in G ist gleich demDoppelten der Anzahl der Kanten, d. h. es gilt∑deg(x) = 2 · |E| .Mithin gilt2 · |E| = ∑ x∈Vx∈Vdeg(x) ≥ |V | · 6 , d. h. |E| ≥ 3|V | .Andererseits gilt für planare Graphen mit mindestens 3 Knotennach einem Satz über planare Graphen (siehe Buch von Steger)Widerspruch!|E| ≤ 3 · |V | − 6 < 3 · |V | .ZÜ DS 2.5 VA 3 33/36©Dr. Werner Meixner
Wir beweisen:2 Es gibt einen 5-regulären planaren Graphen.ZÜ DS 2.5 VA 3 34/36©Dr. Werner Meixner
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