3 Analytische Geometrie der Kongruenzabbildungen - CeVis

3 Analytische Geometrie der Kongruenzabbildungen 49b) Die Geraden schneiden einanderDer Ursprung wird in den Schnittpunktder beiden Achsen gelegt unddie x 1 -Achse auf die ersteSpiegelachse. Die zweite Spiegelachseist dann eine Ursprungsgerade,die mit der x 1 -Achse einenWinkel α einschließt.Abbildungsgleichung für die ersteSpiegelung: ⎛x' = 1 0 ⎞ ⎝⎜0 −1⎠⎟ xAbbildungsgleichung für die zweite Spiegelung: ⎛ cos2α sin2α ⎞ x" =⎝⎜sin2α −cos2α ⎠⎟ x'Die Verkettung beider Abbildungen wird durch dasMatrizenprodukt⎛ cos2α sin 2α ⎞⎝⎜sin2α −cos2α ⎠⎟ i ⎛ 1 0 ⎞ ⎛ cos2α −sin 2α ⎞⎝⎜0 −1⎠⎟ =⎝⎜sin2α cos2α ⎠⎟berechnet. Die Ergebnismatrix ist eine Drehmatrix (Vorzeichenbeachten!) für den Drehwinkel 2α.Damit ist durch diese Rechnung gezeigt:Abb. 3.8: Verknüpfungvon Spiegelungen an sichschneidenden GeradenDie Spiegelung an zwei sich schneidende Spiegelachsen, dieeinen Winkel α einschließen, ist eine Drehung um denSchnittpunkt beider Geraden mit dem Drehwinkel 2α.3.2.4 Verknüpfung von dreiSpiegelungena) Gegeben sind drei Spiegelungsachsena, b und c, die sich ineinem Punkt schneiden. | a,b|=αund | b,c|=βAuch hier wählt man das Achsenkreuzgünstig, indem man denUrsprung in den Schnittpunkt derdrei Achsen legt und die x 1 -Achseauf die erste Spiegelachse a. Dannschließt die zweite Spiegelachse bmit der x 1 -Achse einen Winkel αAbb. 3.9: Drei Spiegelachsena, b und c, die sich im Ursprungschneiden.