3 Analytische Geometrie der Kongruenzabbildungen - CeVis

3 Analytische Geometrie der Kongruenzabbildungen 48a) Die Geraden verlaufenparallelDie x 2 -Achse wird indie erste Spiegelachse agelegt. Die zweiteSpiegelachse b ist danneine zur x 2 -Achseparallele Gerade, diedie x 1 -Achse bei dschneidet.Abbildungsgleichung ⎛für die erste Spiegelung: x' = −1 0 ⎞ ⎝⎜0 1⎠⎟ xHerleitung der Abbildungsgleichung für die Spiegelung an der 2.Achse:Für jeden Punkt P und seinen Bildpunkt P’ gilt offensichtlichp 2 ’ = p 2 . Für die erste Koordinate gilt:d − p 1= p 1'− d , was aufgelöst nach p 1 ’ ergibt: p 1' = 2d − p 1.Beide Koordinatengleichungen liefern für die Spiegelung an der 2. ⎛Achse die Abbildungsgleichung: x" = −1 0 ⎞ ⎝⎜0 1⎠⎟ x' ⎛+ 2d ⎞⎝⎜0 ⎠⎟ . DieVerkettung beider Abbildungen liefert : ⎛x" = −1 0 ⎞⎝⎜0 1⎠⎟ ⋅ ⎛ −1 0⎞⎝⎜0 1⎠⎟ x ⎛+ 2d ⎞⎝⎜0 ⎠⎟ = ⎛ 1 0 ⎞ ⎝⎜0 1⎠⎟ x ⎛+ 2d ⎞⎝⎜0 ⎠⎟p 2ap 1 p 1 ’was offensichtlich eine Verschiebung ist. Der Verschiebungsvektorhat die Länge von 2d, ist von der ersten zur zweiten Spiegelachseorientiert und ist senkrecht zu beiden Achsen. Damit ist durch dieseRechnung gezeigt:Die Spiegelung an zwei parallelen Spiegelachsen, die denAbstand d haben, ist eine Verschiebung mit einemVerschiebungsvektor, der die Länge 2d hat, von der ersten zurzweiten Spiegelungsachse und senkrecht zu beiden Achsenverläuft.x 2dbP P’Abb. 3.7: Verknüpfung vonSpiegelungen an parallelen Geradenx 1