3 Analytische Geometrie der Kongruenzabbildungen - CeVis

3 Analytische Geometrie der Kongruenzabbildungen 46Die Spiegelung an einer Geraden, die durch den Ursprung Overläuft und mit der x 1 -Achse den Winkel α einschließt, ist gegeben durch x' = A⋅ x , wobei die Abbildungsmatrix⎛ cos2α sin 2α ⎞A =⎝⎜sin 2α −cos2α ⎠⎟ ist.In der Euklidischen Geometrie hatten wir eine Verschiebung durcheinen Verschiebungsvektor beschrieben, der wiederum durch einenAnfangs- und Endpunkt gegeben war. In der Koordinatenebene wirdbei einer Verschiebung der Ursprung O nicht auf sich selbstabgebildet, sondern in einen Bildpunkt O’≠ O verschoben. Nach demSatz über die Verschiebung des Ursprungs ist der Verschiebungsvektord . Da eine Verschiebung um den Nullvektor die Identität ergibt, mussdie Abbildungsmatrix die Einheitsmatrix sein.DieVerschiebung um den Vektor d ist gegeben durchx' = A⋅ x + d , wobei die Abbildungsmatrix die Einheitsmatrix⎛E = 1 0 ⎞⎝⎜0 1⎠⎟ ist.3.2.1 Die Abbildungsgleichung der zentrischenStreckungAuch diese lässt sich mit demSatz über das Aufstellen derAbbildungsmatrix bestimmen,wenn das Streckzentrum derUrsprung ist. Denn dann wirdder Ursprung auf sich selbstabgebildet.Die Einheitsvektoren werdendann mit dem Faktor k gestreckt/gestaucht, alsoAbb. 3.6: Streckung derEinheitsvektoren ⎛e 1= 1 ⎞ ⎝⎜0⎠⎟ → e ⎛' = k ⎞ 1⎝⎜0⎠⎟ und e ⎛= 0 ⎞ 2⎝⎜1⎠⎟ → e ⎛' =0 ⎞2⎝⎜k⎠⎟