3 Analytische Geometrie der Kongruenzabbildungen - CeVis

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3 Analytische Geometrie der Kongruenzabbildungen 44Satz 3.1 (Verschiebung desUrsprungs) Gegebenist die Abbildung x' = A⋅ x + d .d = 0 ⇔ Der Ursprung O(0;0) wird auf sich selbst abgebildet, alsoO = O’.BeweisSetzt man den Vektor für den Ursprung ⎛x = x ⎞1⎜⎝ ⎠⎟ = ⎛ 0 ⎞⎝⎜0 ⎠⎟x 2in dieAbbildungsgleichung ein, so ergibt sich für den Bildvektorx 1' = a 11⋅0 + a 12⋅0 + d 1= d 1und x 2' = a 21⋅ 0 + a 22⋅ 0 + d 2= d 2, alsox ' = d . Dann ist x ' = 0 ⇔ d = 0 ∎Das Auffinden der Abbildungsmatrix zu einer geometrisch gegebenenAbbildung wird durch folgende prinzipielle Überlegung ganz erheblichvereinfacht:Satz 3.2 (Aufstellen der Abbildungsmatrix)Ist der Verschiebungsvektor d = 0 , so gilt:⎛ a c⎞Die Abbildungsmatrix ist⎝⎜b d⎠⎟ ⇔ Der Basisvektor e ⎛= 1 ⎞1⎝⎜0⎠⎟ wird ⎛auf e 1' =a ⎞ ⎝⎜b⎠⎟ und e ⎛= 0 ⎞ 2⎝⎜1⎠⎟ auf e ⎛' =c ⎞2⎝⎜d⎠⎟ abgebildet.Beweis„⇒“Die Abbildung lautet also x ⎛' = a c ⎞ ⎛⎝⎜b d⎠⎟ x . Setzt man e 1= 1 ⎞⎝⎜0⎠⎟ ein, so ⎛ergibt sich sofort e 1' =a ⎞⎝⎜b⎠⎟ . Ebenso ergibt das Einsetzen von e ⎛= 0 ⎞2⎝⎜1⎠⎟ ⎛sofort e 2' =c ⎞⎝⎜d⎠⎟ .„⇐“Wegen d = 0 und da die Abbildungsmatrix unbekannt ist, lautet dieAbbildung x ⎛' = a a11 12⎞⎜ ⎟ x . Setzt man e⎝ a 21a 1und e 1' ein, so erhält man22 ⎠⎛ a⎞⎝⎜b⎠⎟ = ⎛ a a11 12⎞⎜⎝ a 21a 22 ⎠⎟ ⎛ 1 ⎞⎝⎜0 ⎠⎟ = ⎛ a ⎞11⎜ ⎟ , also a⎝ a 11= a und a 21= b.21 ⎠ Setzt man entsprechend e 2und e 2' ein, so erhält man
3 Analytische Geometrie der Kongruenzabbildungen 45⎛ c⎞⎝⎜d⎠⎟ = ⎛ a a11 12⎞⎜⎝ a 21a 22 ⎠⎟ ⎛ 0 ⎞⎝⎜1 ⎠⎟ = ⎛ a ⎞12⎜ ⎟ , also a⎝ a 12= c und a 22= d .22 ⎠Damit ist die Abbildungsmatrix bestimmt. ∎3.2 Die Abbildungsgleichungen derKongruenzabbildungenMit dem Satz über das Aufstellen der Abbildungsmatrix stellen wirnun die Abbildungsmatrizen für Drehungen und Spiegelungen auf.Drehung um den Ursprung O um den Winkel αAbb. 3.4: Drehung um den Ursprung um den Winkel αDie Drehung um den Ursprung O um den Winkel α ist gegeben durch x' = A⋅ x ,⎛ cosα −sinα ⎞wobei die Abbildungsmatrix A =⎝⎜sinα cosα ⎠⎟ ist.Spiegelung an einer Geraden, die mit der x 1 -Achse den Winkel αeinschließtAbb. 3.5:Spiegelung an einerGeraden, die mit derx 1 -Achse einenWinkel α einschließt.
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