3 Analytische Geometrie der Kongruenzabbildungen - CeVis

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3 Analytische Geometrie der Kongruenzabbildungen 42b) Addition ⎛Sind a = a ⎞ ⎛1⎜ ⎟ und b = b ⎞1⎜ ⎟ zwei⎝ ⎠⎝ ⎠a 2Vektoren, so ist die Addition vonzwei Vektoren erklärt durcha + b ⎛= a + b ⎞1 1⎜ ⎟⎝ a 2+ b 2 ⎠b 2c) Subtraktion ⎛Sind a = a ⎞1⎜ ⎟⎝ ⎠a 2und ⎛b = b ⎞1⎜ ⎟⎝ ⎠Vektoren, so ist die Subtraktion vonzwei Vektoren erklärt durcha − b = a + (−1) b ⎛= a − b ⎞1 1⎜ ⎟⎝ a 2− b 2 ⎠b 2Abb. 3.1: Addition zweier Vektorenzwei3.1.5 AbbildungenWir betrachten hier nur Abbildungen, die eine Gerade in eine Geradeabbilden und die Parallelität erhalten. Solche Abbildungen heißenaffine Abbildungen.Eine affine Abbildung, die dem Ausgangspunkt X(x 1 ;x 2 ) den BildpunktX’(x’ 1 ;x’ 2 ) zuordnet, hat die FormKoordinatenschreibweise:x 1' = a 11⋅ x 1+ a 12⋅ x 2+ d 1x 2' = a 21⋅ x 1+ a 22⋅ x 2+ d 2mit a 11,a 12,a 21,a 22,d 1,d 2∈Matrix-Vektor-Schreibweise⎛ x 1' ⎞⎜ ⎟⎝ x 2' ⎠= ⎛ a a11 12⎞ ⎛ x 1⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ a 21a 22 ⎠ ⎝ x 2 ⎠+ ⎛ d ⎞1⎜ ⎟⎝ d 2 ⎠ die man symbolisch verkürzen kann zux' = A⋅ x + d .Dabei ist A die Abbildungsmatrix und d der Verschiebungsvektor.Beispiele für AbbildungenIdentische AbbildungDie identische Abbildung bildet jeden Punkt auf sich selbst ab. Fürjeden Punkt X(x 1 ;x 2 ) gilt also: X’(x’ 1 ;x’ 2 ) = X(x 1 ;x 2 ). Damit lauten dieAbbildungsgleichungen:x ' 1= x 1x ' 2= x 2oder ausführlich x ' 1 = 1x 1 + 0·x 2 + 0x ' 2= 0·x 1+ 1x 2+ 0 .Abb. 3.2: Subtraktion zweier Vektoren
3 Analytische Geometrie der Kongruenzabbildungen 43⎛Die Abbildungsmatrix ist dann E = 1 0 ⎞⎝⎜0 1⎠⎟ , Einheitsmatrix genannt.Spiegelung an der x 1 -AchseDa der Ursprung O aufder Spiegelachse liegt, wird er auf sich selbstabgebildet. Folglich ist d = 0 . Für die Koordinaten gilt offensichtlichx 1' = x 1oder in der ausführlichen Koordinatenschreibweisex 2' = −x 2x 1' = 1x 1+ 0x 2x 2' = 0x 1− 1x 2, was sofort zur Matrix-Vektor-Schreibweise⎛ x 1' ⎞⎜ ⎟⎝ x 2' ⎠= ⎛ 1 0 ⎞ ⎛⎝⎜0 −1⎠⎟ ⎜⎝x 1x 2⎞⎠⎟ führt. 1yX1xX’VerschiebungBei der Verschiebung umAbb. 3.3: Spiegelung an der x 1 -Achse⎛1⎞⎝⎜3⎠⎟ wird jeder Punkt in x 1-Richtung umeine Einheit nach rechts und in x 2 -Richtung um 3 Einheiten nach obenverschoben. Es gilt also:x 1' = x 1+ 1 = 1⋅ x 1+ 0 ⋅ x 2+ 1oder in Matrix-Vektor-Schreibweisex 2' = x 2+ 3 = 0 ⋅ x 1+ 1⋅ x 2+ 3⎛ x 1' ⎞⎜ ⎟⎝ x 2' ⎠= ⎛ 1 0 ⎞ ⎛⎝⎜0 1⎠⎟ ⎜⎝x 1x 2⎞⎠⎟ + ⎛ 1 ⎞⎝⎜3 ⎠⎟Wir wollen letztlich zu den Kongruenzabbildungen die Abbildungsgleichungenbestimmen. Für das Aufstellen von Abbildungsgleichungensind die nachfolgenden beiden Sätze hilfreich.
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