3 Analytische Geometrie der Kongruenzabbildungen - CeVis

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3 Analytische Geometrie der Kongruenzabbildungen 6423. Gegeben ist die Matrix⎛ cos2α⎝⎜sin2α⎛ d·cosα⎞der Vektor⎝⎜d·sinα ⎠⎟ einer Verschiebung.sin 2α ⎞−cos2α ⎠⎟ einer Spiegelung unda. Begründen Sie durch eine Skizze, dass der Vektor parallel zurSpiegelachse der Spiegelung verläuft.b. Schreiben Sie die Abbildungsgleichung auf zur Verschiebung Tmit dem gegebenen Vektor und die Abbildungsgleichung zurSpiegelung S mit der gegebenen Matrix.c. Berechnen Sie die Abbildungsgleichungen zu den beidenVerknüpfungen S T und T S . Was ist bemerkenswert?24. Gegeben ist die Abbildung mit der Gleichung ⎛ 0,6 0,8 ⎞ ⎛x ' =⎝⎜0,8 −0,6⎠⎟ x +2 ⎞⎝⎜−4⎠⎟ .a. Weisen Sie nach, dass die Abbildung zu sich selbst invers(involutorisch) ist.b. Machen Sie sich an einer Zeichnung klar, dass derVerschiebungsvektor senkrecht zur Spiegelungsachse verläuft.c. Bilden Sie das Produkt „Matrix·Verschiebungsvektor“. Waserhalten Sie? Was bedeutet das geometrisch?d. Bestimmen Sie zu dieser Abbildung die Spiegelungsachse.Überlegen Sie dazu wenigstens zwei Lösungswege.25. Gegeben ist die Spiegelung S a an der Geraden a mit der Gleichung ⎛x ' = 1 0 ⎞⎝⎜0 −1⎠⎟ x ,die Spiegelung S b an der Geraden b mit der Gleichung ⎛x ' = 0 1 ⎞⎝⎜1 0⎠⎟ xund die Spiegelung S c an der Geraden c mit der Gleichungx ' =⎛ −0,28 0,96⎞⎝⎜0,96 0,28⎠⎟ x ⎛+8 ⎞⎝⎜−6⎠⎟ .a. Ermitteln Sie für alle drei Abbildungen die Spiegelachsen a, bund c. Zeichnen Sie diese in ein Achsenkreuz.b. Spiegeln Sie rein zeichnerisch das Dreieck ABC nacheinanderan den Achsen a, b c. A(2;1), B(5;0), C(4;3)Bestimmen Sie aus der Zeichnung die Koordinaten der letztenBildpunkte.c. Berechnen Sie die Abbildungsgleichung der VerkettungS c S b S a. Bilden Sie nun mit der erhaltenen Abbildung dasDreieck ABC aus Aufg. b ab. Vergleichen Sie Ihre Ergebnisseaus b. mit den hier berechneten.
3 Analytische Geometrie der Kongruenzabbildungen 65d. Bestimmen Sie durch eine (neue) Zeichnung die Spiegelachseund die Verschiebung für die Schubspiegelung, die sich ausS c S b S aergibt. Bringen Sie diese Werte in Zusammenhangmit der in c. berechneten Abbildungsgleichung der VerkettungS c S b S a.e. Bestimmen Sie auf den Achsen a, b und c jeweils zweiGitterpunkte (Punkte mit ganzzahligen Koordinaten).Verwenden Sie dazu Aufg. a. Machen Sie die rechnerischeProbe dafür, dass die Punkte wirklich auf der betreffendenAchse liegen.f. Fertigen Sie mit GeoGebra eine (weitere) Zeichnung an.Verwenden Sie für eine genaue Positionierung derSpiegelachsen die in e. bestimmten Gitterpunkte. Spiegeln Siedas in b. genannte Dreieck. Bestimmen Sie auch in dieserKonstruktion die Achse und den Verschiebungsvektor für dieSchubspiegelung. Vergleichen Sie mit Ihrer händischenZeichnung in d (und der dort ggfs. erfolgten Rechnung).26. Gegeben ist die Abbildung mit der Gleichungx ' =⎛ 0,8 0,6 ⎞⎝⎜0,6 −0,8⎠⎟ x ⎛+5 ⎞⎝⎜−5⎠⎟ .a. Finden Sie zur Spiegelungsmatrix S die Steigung derSpiegelachse heraus.b. Zeichnen Sie die Spiegelachse und den Verschiebungsvektor din ein Achsenkreuz und zerlegen Sie rein zeichnerisch diesenVektor in eine Komponente senkrecht und parallel zurSpiegelachse.c. Berechnen Sie den Vektor d ' = Sd und bilden Sie d − d ' undd + d '. Zeichnen Sie die Ergebnisvektoren in die Zeichnungunter b. ein. Was haben Sie berechnet? Wie ergeben sich diebeiden grafisch ermittelten Komponenten desVerschiebungsvektors?d. Ermitteln Sie nun die Schubspiegelung, also die Achse, an dergespiegelt wird und die Verschiebung, die mit einem zurSpiegelachse parallelen Vektor ausgeführt wird.
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