3 Analytische Geometrie der Kongruenzabbildungen - CeVis

3 Analytische Geometrie der Kongruenzabbildungen 42b) Addition ⎛Sind a = a ⎞ ⎛1⎜ ⎟ und b = b ⎞1⎜ ⎟ zwei⎝ ⎠⎝ ⎠a 2Vektoren, so ist die Addition vonzwei Vektoren erklärt durcha + b ⎛= a + b ⎞1 1⎜ ⎟⎝ a 2+ b 2 ⎠b 2c) Subtraktion ⎛Sind a = a ⎞1⎜ ⎟⎝ ⎠a 2und ⎛b = b ⎞1⎜ ⎟⎝ ⎠Vektoren, so ist die Subtraktion vonzwei Vektoren erklärt durcha − b = a + (−1) b ⎛= a − b ⎞1 1⎜ ⎟⎝ a 2− b 2 ⎠b 2Abb. 3.1: Addition zweier Vektorenzwei3.1.5 AbbildungenWir betrachten hier nur Abbildungen, die eine Gerade in eine Geradeabbilden und die Parallelität erhalten. Solche Abbildungen heißenaffine Abbildungen.Eine affine Abbildung, die dem Ausgangspunkt X(x 1 ;x 2 ) den BildpunktX’(x’ 1 ;x’ 2 ) zuordnet, hat die FormKoordinatenschreibweise:x 1' = a 11⋅ x 1+ a 12⋅ x 2+ d 1x 2' = a 21⋅ x 1+ a 22⋅ x 2+ d 2mit a 11,a 12,a 21,a 22,d 1,d 2∈Matrix-Vektor-Schreibweise⎛ x 1' ⎞⎜ ⎟⎝ x 2' ⎠= ⎛ a a11 12⎞ ⎛ x 1⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ a 21a 22 ⎠ ⎝ x 2 ⎠+ ⎛ d ⎞1⎜ ⎟⎝ d 2 ⎠ die man symbolisch verkürzen kann zux' = A⋅ x + d .Dabei ist A die Abbildungsmatrix und d der Verschiebungsvektor.Beispiele für AbbildungenIdentische AbbildungDie identische Abbildung bildet jeden Punkt auf sich selbst ab. Fürjeden Punkt X(x 1 ;x 2 ) gilt also: X’(x’ 1 ;x’ 2 ) = X(x 1 ;x 2 ). Damit lauten dieAbbildungsgleichungen:x ' 1= x 1x ' 2= x 2oder ausführlich x ' 1 = 1x 1 + 0·x 2 + 0x ' 2= 0·x 1+ 1x 2+ 0 .Abb. 3.2: Subtraktion zweier Vektoren