3 Analytische Geometrie der Kongruenzabbildungen - CeVis

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3 Analytische Geometrie der Kongruenzabbildungen 56Abbildung ist das der Punkt F. Nennt man OF = f so ist dieAbbildungsgleichung der Verknüpfung der drei Spiegelungenx ''' =⎛ cos 2(γ − β) sin 2(γ − β) ⎞⎝⎜sin 2(γ − β) − cos 2(γ − β) ⎠⎟ x + 2 fZur Spiegelung an c’, der Geraden, die mit der x 1 -Achse einen Winkelvon γ−β einschließt, gehört der Lotfußpunkt G. Man bestimmt denVektor OG durch OG = 1 ⎡ ⎛ cos 2(γ − β) sin 2(γ − β) ⎞ ⎤⎢ f −2 ⎝⎜sin 2(γ − β) − cos 2(γ − β) ⎠⎟ f ⎥⎣⎢⎦⎥ = 1 ⎡ f − f ' ⎤2 ⎣ ⎦ ,wobei f ' der an der zu c’ parallelen Ursprungsgeraden c’’ gespiegelteVektor f ist. Dann ist GF = OF − OG = f − 1 ⎡ f − f ' ⎤2 ⎣ ⎦ = 1 f + 1 2 2 f ' = 1 ⎡ f + f ' ⎤2 ⎣ ⎦ . DerVektor f wird also zerlegt in 1 ⎡ f − f ' ⎤ , der senkrecht zu c’ verläuft2 ⎣ ⎦und die Lage von c’ in der Ebene bestimmt, und in 1 ⎡ f + f ' ⎤2 ⎣ ⎦ , derparallel zu c’ verläuft und den Schubanteil der Schubspiegelungausmacht.ErweiterungGegeben ist eine Abbildung mit der GleichungF : x ⎛ cos2α sin 2α ⎞ ⎛' =⎝⎜sin2α −cos2α ⎠⎟ x + d ⎞1⎜ ⎟ = Sx + d , also die Verknüpfung⎝ ⎠d 2einer Spiegelung mit einer Verschiebung. Zerlegt man denVerschiebungsvektor d in die Komponenten d ⊥senkrecht zurSpiegelachse der Spiegelung und d parallel zur Spiegelachse, sobestimmt d ⊥die Lage der Spiegelachse und d ist der Schubspiegelungsanteil.Wie bestimmt man zur gegebenen Abbildungsgleichungdie beiden Komponenten d ⊥und d ?Wendet man die Abbildungsgleichung von F zwei Mal an, so hebt sichdie Spiegelung auf und es ergibt sich die zweimalige Verschiebung mitd .Also gilt: F F( ) : x '' = S· ⎡Sx + dAlso ist 2 d = S d + d .Folglich ist d = 1 (2 S d + d ) undd ⊥= d − d = d − 1 2 S d + d⎣( ) = 1 ( ) .2⎤⎦ + d = S·S·x+ Sd + d = x + Sd + d .d − S d
3 Analytische Geometrie der Kongruenzabbildungen 57BeispielGegeben ist die Gleichung x ⎛ 0,96 0,28 ⎞ ⎛' =⎝⎜0,28 −0,96⎠⎟ x +⎝⎜4 ⎞−3⎠⎟ .Abb. 3.16: Beispiel für die Berechnung der parallelen und senkrechtenKomponenteDann ist d ⎛=4 ⎞⎝⎜−3⎠⎟ und S d ⎛ 0,96 0,28 ⎞ ⎛ 4 ⎞=⎝⎜0,28 −0,96⎠⎟·⎝⎜−3⎠⎟ = ⎛ 3 ⎞⎝⎜4 ⎠⎟ .Also gilt d = 1 ⎛ ⎛ 3⎞2 ⎝⎜4⎠⎟ + ⎛ 4 ⎞ ⎞⎜⎝⎜−3⎠⎟ ⎟⎝ ⎠= ⎛ 3,5 ⎞⎝⎜0,5⎠⎟und d ⊥= 1 ⎛ ⎛ 4 ⎞2 ⎝⎜−3⎠⎟ − ⎛ 3 ⎞ ⎞⎜⎝⎜4 ⎠⎟ ⎟⎝ ⎠= ⎛ 0,5 ⎞⎝⎜−3,5⎠⎟ .Damit verläuft die Spiegelachse durch den Punkt F(0,25 ; -1,75)In der Abbildung ist d = OD , d ⊥= OD 1und d = OD 2Spiegelt man P(2;-2) an der Spiegelachse durch F und verschiebt dasBild P’ mit d = OD 2, so erhält man P’’.Bildet man P mit der Abbildungsgleichung ab, so erhält man: ⎛ 0,96 0,28 ⎞ ⎛ 2 ⎞p'' =⎝⎜0,28 −0,96⎠⎟⎝⎜−2⎠⎟ + ⎛ 4 ⎞⎝⎜−3⎠⎟ = ⎛ 5,36 ⎞⎝⎜−0,52⎠⎟ ,was in Übereinstimmung mit der Abbildung ist.
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