3 Analytische Geometrie der Kongruenzabbildungen - CeVis

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3 Analytische Geometrie der Kongruenzabbildungen 54Da die Spiegelungsachse für diese Ergebnismatrix weiterhin parallelzur x 2 -Achse verläuft, ist der Vektor⎛ 2 f ⎞⎝⎜0 ⎠⎟senkrecht zu dieser. Daherist die letzte Abbildungsgleichung diejenige, die zu einer Spiegelungan der Achse d gehört. d verläuft parallel zu a, b und c und hat zur x 2 -Achse einen Abstand von f.Die Spiegelung an drei Geraden a, b und c, die zueinanderparallel sind und voneinander die Abstände e = d(a,b)bzw.f = d(b,c) haben, lassen sich zu einer Geradenspiegelung aneiner Geraden d zusammenfassen. Dabei ist der Abstand von dzur Geraden a gleich f.c) Die drei Spiegelachsen liegen in allgemeiner Lage:Eine günstige Wahl des Achsenkreuzes ist, die x 1 -Achse auf die ersteSpiegelungsachse a zu legen und den Ursprung in den Schnittpunktvon a und b. Dann verläuft b durch den Ursprung, der Winkel zur x 1 -Achse sei β. Die Gerade c sei durch einen Punkt P(p 1 ;p 2 ) und denWinkel γ zur x 1 -Achse festgelegt.Abb. 3.14: Verknüpfung von drei Spiegelung an Geraden inallgemeiner LageDann sind die Abbildungsgleichungen: ⎛x ' = 1 0 ⎞⎝⎜0 −1⎠⎟ x
3 Analytische Geometrie der Kongruenzabbildungen 55x '' =x ''' =⎛ cos 2β sin 2β ⎞⎝⎜sin 2β − cos 2β⎠⎟ x⎛ cos 2γ sin 2γ ⎞⎝⎜sin 2γ − cos 2γ ⎠⎟ x ⎛''+ p ⎞1 ⎛ cos 2γ⎜ ⎟ −⎝ ⎠ ⎝⎜sin 2γp 2sin 2γ ⎞ ⎛− cos 2γ ⎠⎟ ⎜⎝p 1p 2⎞⎟⎠Die Verkettung der drei Abbildungen liefert ⎛ cos 2γ sin 2γ ⎞ ⎛ cos 2β sin 2β ⎞ ⎛ 1 0 ⎞x ''' =⎝⎜sin 2γ − cos 2γ ⎠⎟⎝⎜sin 2β − cos 2β⎠⎟⎝⎜0 −1⎠⎟ x ⎛+ p ⎞1 ⎛ cos 2γ⎜ ⎟ −⎝ ⎠ ⎝⎜sin 2γp 2sin 2γ ⎞ ⎛− cos 2γ ⎠⎟ ⎜⎝p 1p 2⎞⎟⎠Die Multiplikation der drei Matrizen ergibt:⎛ cos 2γ⎝⎜sin 2γsin 2γ ⎞ ⎛ cos 2β− cos 2γ ⎠⎟⎝⎜sin 2β⎛ cos 2γ sin 2γ ⎞ ⎛ cos 2β=⎝⎜sin 2γ − cos 2γ ⎠⎟⎝⎜sin 2βsin 2β ⎞ ⎛ 1 0 ⎞− cos 2β⎠⎟⎝⎜0 −1⎠⎟− sin 2β⎞cos 2β ⎠⎟⎛ cos 2γ cos 2β + sin 2γ sin 2β − cos 2γ sin 2β + sin 2γ cos 2β⎞=⎝⎜sin 2γ cos 2β − cos 2γ sin 2β − sin 2γ sin 2β − cos 2γ cos 2β⎠⎟⎛ cos 2(γ − β) sin 2(γ − β) ⎞=⎝⎜sin 2(γ − β) − cos 2(γ − β) ⎠⎟Die Ergebnismatrix gehört zu einer Achsenspiegelung, derenSpiegelungsachse mit der x 1 -Achse einen Winkel von γ − βeinschließt.Abb. 3.15: Geometrische Interpretation⎛ pDer Verschiebungsvektor 1⎞ ⎛ cos 2γ sin 2γ ⎞ ⎛ p⎜ ⎟ − 1⎞⎝ ⎠ ⎝⎜sin 2γ − cos 2γ ⎠⎟ ⎜ ⎟ ist der doppelte⎝ ⎠p 2Vektor von O zum Fußpunkt des Lotes auf die Gerade c. In der obigenp 2
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