3 Analytische Geometrie der Kongruenzabbildungen - CeVis

3 Analytische Geometrie der Kongruenzabbildungen 53der mit der Spiegelungsmatrix multiplizierte Vektor⎛ 0,28 0,96 ⎞ ⎛ 7 ⎞⎝⎜0,96 −0,28⎠⎟·⎝⎜−1⎠⎟ = ⎛ 1 ⎞⎝⎜7 ⎠⎟ .Also ist der Verschiebungsvektor⎛ 7 ⎞⎝⎜−1⎠⎟ − ⎛ 1 ⎞⎝⎜7 ⎠⎟ = ⎛ 6 ⎞⎝⎜−8⎠⎟und die Abbildungsgleichung lautet ⎛ 0,28 0,96 ⎞ ⎛x ' =⎝⎜0,96 −0,28⎠⎟ x +6 ⎞⎝⎜−8⎠⎟ . Ein zu⎛ 6 ⎞⎝⎜−8⎠⎟ senkrechter Vektor ist ⎛ 4⎞⎝⎜3⎠⎟ ,folglich hat die Spiegelachse die Steigung 3 4 .b) Die drei Spiegelachsen verlaufenzueinander parallel:Eine günstige Wahl des Achsenkreuzesist, dass die x 2 -Achse entlang der erstenSpiegelachse a liegt. Dann verläuft diex 1 -Achse senkrecht zur ersten Spiegelachsea, zur zweiten Spiegelachse b undzur dritten Spiegelachse c. Es seien eder Abstand von a zu b und fder Abstand von b zu c.Da mit diesen Festlegungendie Fußpunkte der Lote der nicht durch den Ursprung verlaufendenSpiegelungsachsen b und c bekannt sind, kann man die Abbildungsgleichungenfür die Spiegelungen aufstellen. ⎛x ' = −1 0 ⎞⎝⎜0 1⎠⎟ x ⎛x '' = −1 0 ⎞⎝⎜0 1⎠⎟ x ⎛'+ 2e ⎞⎝⎜0 ⎠⎟ ⎛x ''' = −1 0 ⎞⎝⎜0 1⎠⎟ x ⎛''+ 2(e + f ) ⎞⎝⎜0 ⎠⎟Die Verkettung der drei Abbildungen liefert ⎛x ''' = −1 0 ⎞ ⎡⎛−1 0⎞⎛ −1 0⎞⎝⎜0 1⎠⎟⎝⎜0 1⎠⎟⎝⎜0 1⎠⎟ x ⎛+ 2e ⎞ ⎤ ⎛⎢⎝⎜0 ⎠⎟ ⎥ + 2(e + f ) ⎞⎣⎦ ⎝⎜0 ⎠⎟Multipliziert man die Gleichung aus und fasst zusammen, so ergibtsich. ⎛x ''' = −1 0 ⎞⎝⎜0 1⎠⎟ x ⎛+ 2 f ⎞⎝⎜0 ⎠Abb. 3.13: Verknüpfung von dreiSpiegelungen an zueinander parallelenGeraden⎟Abb. 3.12