3 Analytische Geometrie der Kongruenzabbildungen - CeVis

3 Analytische Geometrie der Kongruenzabbildungen 52Diese Abbildungsgleichung lautet: x ''' = x ⎛''+ p 1⎞⎝⎜⎠⎟ .Setzt man für eine Verknüpfung der drei Abbildungen die dreiAbbildungsgleichungen ineinander ein, so erhält man: ⎛ cos2α sin 2α ⎞ ⎡ ⎛x ''' =⎝⎜sin 2α −cos2α ⎠⎟ x + − p ⎞ ⎤ ⎛1⎢ ⎜ ⎟ ⎥ + p ⎞1⎜ ⎟⎣⎢⎝ − p 2 ⎠ ⎦⎥⎝ p 2 ⎠⎛ cos2α sin 2α ⎞ ⎛=⎝⎜sin 2α −cos2α ⎠⎟ x + p ⎞1⎜⎝ p 2 ⎠⎟ − ⎛ cos2α sin2α ⎞ ⎛ p 1⎞⎝⎜sin 2α −cos2α ⎠⎟ ⎜ ⎟⎝ p 2 ⎠ dMan erhält also eine Spiegelungan der zu a parallelen Geradena’, die durch den Ursprungverläuft, mit einer anschließendenVerschiebung. Dabeiverläuft der Verschiebungsvektord von P’, dem an a’gespiegelten Punkt P, zumPunkt P. Das ist aber auch dasDoppelte des Vektors von Ozum Fußpunkt F des Lotes vonOaufdie Gerade a, alsoP'P = 2OF .Abb. 3.11Insbesondere diese Interpretationlässt sich günstig in beide Richtungen einsetzen:- Man kennt den Winkel α der Spiegelungsachse mit der x 1 -Achse undden Fußpunkt F des Lotes von O auf die Spiegelungsachse. Dannlautet die Abbildungsgleichung: ⎛ cos2α sin2α ⎞ x ' =⎝⎜sin2α −cos2α ⎠⎟ x + 2·OF- Kennt man umgekehrt die Abbildungsgleichung und ist derVerschiebungsvektor d senkrecht zur Spiegelungsachse, so kannman mit inversen Winkelfunktionen aus der Matrix den Winkel αbestimmen und 1 d bestimmt dann den Fußpunkt des Lotes, also2einen Punkt, durch den die Spiegelungsachse verläuft.BeispielGegeben ist die Spiegelung mit der Matrixp 2⎛ 0,28 0,96 ⎞⎝⎜0,96 −0,28⎠⎟und derPunkt P(7;-1), durch den die Spiegelungsachse laufen soll. Dann ist