3 Analytische Geometrie der Kongruenzabbildungen - CeVis

3 Analytische Geometrie der Kongruenzabbildungen 51Die Rechnungen für die verbleibenden Komponenten d 12, d 21, d 22verlaufen ganz analog und sind eine hervorragende Übung für dasRechnen mit Winkelfunktionen.Damit ist das Ergebnis gezeigt.Die Spiegelung an drei Geraden g 1 , g 2 und g 3 , die sich in einemPunkt schneiden und Winkel der Größe α = g 1,g 2bzw.β = g 2,g 3einschließen, lassen sich zu einer Geradenspiegelungan einer Geraden g zusammenfassen. Dabei ist derWinkel zwischen g 1 und g β.Einschub (Spiegelung an einerGeraden, die nicht durch denUrsprung verläuft):In den folgenden beidenAbschnittenspielenSpiegelungen eine Rolle, derenAchsen nicht durch denUrsprung verlaufen. Daher sollals Einschub dieser Fallzunächst betrachtet werden undeine allgemeingültige Abbildungsgleichungdafür hergeleitetwerden.Abb. 3.10: Spiegelgerade a, dienicht durch den Ursprung verläuft.Es sei a eine Gerade, die durch den Punkt P(p 1 ; p 2 ) verläuft und die mitder x 1 -Achse einen Winkel von α einschließt. Die Spiegelung andieser Geraden lässt sich durch folgende, mit ihrer Abbildungsgleichungbereits bekannten Abbildungen erzeugen:1. Verschiebung des Punktes P in den Ursprung. Der Verschiebungsvektorist also 1⎛ − p ⎞⎜ ⎟⎝ − p 2 ⎠Die Abbildungsgleichung lautet: x ' = x ⎛+ − p 1⎞⎝⎜ − p 2 ⎠⎟2. Spiegelung an der verschobenen Geraden, die nun durch denUrsprung geht.Diese Abbildungsgleichung lautet: x ⎛ cos2α sin 2α ⎞'' =⎝⎜ sin 2α − cos2α ⎠⎟ x '⎛3. Zurückverschiebung gegenüber 1. also eine Verschiebung mit ⎜⎝p 1p 2⎞⎟⎠.