3 Analytische Geometrie der Kongruenzabbildungen - CeVis

3 Analytische Geometrie der Kongruenzabbildungen 50ein und c einen Winkel von α + β mit der x 1 -Achse.Da alle drei Achsen durch den Ursprung laufen, kann man sofort dieAbbildungsgleichungen für alle drei Spiegelungen hinschreiben: ⎛x' = 1 0 ⎞ ⎝⎜0 −1⎠⎟ x = A⋅ x ⎛ cos2α sin 2α ⎞ x" =⎝⎜sin 2α −cos2α ⎠⎟ x' = B ⋅ x'⎛ cos2(α + β) sin 2(α + β) ⎞ x'" =⎝⎜sin 2(α + β) −cos2(α + β) ⎠⎟ x" = C ⋅ x"Die Verkettung ist dann x'" = C ⋅ B ⋅ A⋅ x , es kommt also darauf an, dasProdukt der 3 Matrizen zu bilden.⎛ cos2α sin2α ⎞B ⋅ A =⎝⎜sin 2α −cos2α ⎠⎟ ⋅ ⎛ 1 0 ⎞ ⎛ cos2α −sin 2α ⎞⎝⎜0 −1⎠⎟ =⎝⎜sin2α cos2α ⎠⎟(siehe oben), so dass noch berechnet werden muss:⎛ cos2(α + β) sin 2(α + β) ⎞C ⋅ (B ⋅ A) =⎝⎜sin2(α + β) −cos2(α + β) ⎠⎟ ⋅ ⎛ cos2α⎝⎜sin 2α−sin 2α ⎞cos2α ⎠⎟ .Dieses Produkt auszuführen ist umfangreich, es wird in die einzelnen⎛Komponenten der Ergebnismatrix D = d d11 12⎞⎜ ⎟⎝ d 21d 22 ⎠zerlegt.d 11= cos2(α + β) ⋅ cos2α + sin2(α + β) ⋅sin 2αEs ist hilfreich, das Ergebnis zu kennen, um bei der Umformungzielgerichtet vorzugehen. Die Verkettung der drei Spiegelungen ergibteine Spiegelung an einer Achse, die mit der x 1 -Achse einen Winkelvon β einschließt. Im Ergebnis muss sich also ergeben:⎛ cos2β sin 2β ⎞D = C ⋅ B ⋅ A =⎝⎜sin2β −cos2β⎠⎟ . Das signalisiert, dass man bei derUmformung die Summe von α und β auflösen muss, nicht aber diedoppelten Winkel.d 11= cos(2α + 2β) ⋅cos2α + sin(2α + 2β) ⋅sin2α= (cos2α cos2β − sin2α sin2β) ⋅cos2α+ (sin2α cos2β + cos2α sin2β) ⋅sin2α= cos2α cos2β cos2α − sin2α sin2β cos2α+ sin2α cos2β sin2α + cos2α sin2β sin2αIn der letzten Zeile heben sich der 2. und der 4. Summand auf, im 1.und 3. Summand kann man cos 2β ausklammern:d 11= (cos2α cos2α + sin2α sin2α) ⋅cos2β= 1 ⋅cos2β= cos2β