3 Analytische Geometrie der Kongruenzabbildungen - CeVis

3 Analytische Geometrie der Kongruenzabbildungen 42b) Addition ⎛Sind a = a ⎞ ⎛1⎜ ⎟ und b = b ⎞1⎜ ⎟ zwei⎝ ⎠⎝ ⎠a 2Vektoren, so ist die Addition vonzwei Vektoren erklärt durcha + b ⎛= a + b ⎞1 1⎜ ⎟⎝ a 2+ b 2 ⎠b 2c) Subtraktion ⎛Sind a = a ⎞1⎜ ⎟⎝ ⎠a 2und ⎛b = b ⎞1⎜ ⎟⎝ ⎠Vektoren, so ist die Subtraktion vonzwei Vektoren erklärt durcha − b = a + (−1) b ⎛= a − b ⎞1 1⎜ ⎟⎝ a 2− b 2 ⎠b 2Abb. 3.1: Addition zweier Vektorenzwei3.1.5 AbbildungenWir betrachten hier nur Abbildungen, die eine Gerade in eine Geradeabbilden und die Parallelität erhalten. Solche Abbildungen heißenaffine Abbildungen.Eine affine Abbildung, die dem Ausgangspunkt X(x 1 ;x 2 ) den BildpunktX’(x’ 1 ;x’ 2 ) zuordnet, hat die FormKoordinatenschreibweise:x 1' = a 11⋅ x 1+ a 12⋅ x 2+ d 1x 2' = a 21⋅ x 1+ a 22⋅ x 2+ d 2mit a 11,a 12,a 21,a 22,d 1,d 2∈Matrix-Vektor-Schreibweise⎛ x 1' ⎞⎜ ⎟⎝ x 2' ⎠= ⎛ a a11 12⎞ ⎛ x 1⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ a 21a 22 ⎠ ⎝ x 2 ⎠+ ⎛ d ⎞1⎜ ⎟⎝ d 2 ⎠ die man symbolisch verkürzen kann zux' = A⋅ x + d .Dabei ist A die Abbildungsmatrix und d der Verschiebungsvektor.Beispiele für AbbildungenIdentische AbbildungDie identische Abbildung bildet jeden Punkt auf sich selbst ab. Fürjeden Punkt X(x 1 ;x 2 ) gilt also: X’(x’ 1 ;x’ 2 ) = X(x 1 ;x 2 ). Damit lauten dieAbbildungsgleichungen:x ' 1= x 1x ' 2= x 2oder ausführlich x ' 1 = 1x 1 + 0·x 2 + 0x ' 2= 0·x 1+ 1x 2+ 0 .Abb. 3.2: Subtraktion zweier Vektoren

3 Analytische Geometrie der Kongruenzabbildungen 43⎛Die Abbildungsmatrix ist dann E = 1 0 ⎞⎝⎜0 1⎠⎟ , Einheitsmatrix genannt.Spiegelung an der x 1 -AchseDa der Ursprung O aufder Spiegelachse liegt, wird er auf sich selbstabgebildet. Folglich ist d = 0 . Für die Koordinaten gilt offensichtlichx 1' = x 1oder in der ausführlichen Koordinatenschreibweisex 2' = −x 2x 1' = 1x 1+ 0x 2x 2' = 0x 1− 1x 2, was sofort zur Matrix-Vektor-Schreibweise⎛ x 1' ⎞⎜ ⎟⎝ x 2' ⎠= ⎛ 1 0 ⎞ ⎛⎝⎜0 −1⎠⎟ ⎜⎝x 1x 2⎞⎠⎟ führt. 1yX1xX’VerschiebungBei der Verschiebung umAbb. 3.3: Spiegelung an der x 1 -Achse⎛1⎞⎝⎜3⎠⎟ wird jeder Punkt in x 1-Richtung umeine Einheit nach rechts und in x 2 -Richtung um 3 Einheiten nach obenverschoben. Es gilt also:x 1' = x 1+ 1 = 1⋅ x 1+ 0 ⋅ x 2+ 1oder in Matrix-Vektor-Schreibweisex 2' = x 2+ 3 = 0 ⋅ x 1+ 1⋅ x 2+ 3⎛ x 1' ⎞⎜ ⎟⎝ x 2' ⎠= ⎛ 1 0 ⎞ ⎛⎝⎜0 1⎠⎟ ⎜⎝x 1x 2⎞⎠⎟ + ⎛ 1 ⎞⎝⎜3 ⎠⎟Wir wollen letztlich zu den Kongruenzabbildungen die Abbildungsgleichungenbestimmen. Für das Aufstellen von Abbildungsgleichungensind die nachfolgenden beiden Sätze hilfreich.

3 Analytische Geometrie der Kongruenzabbildungen 44Satz 3.1 (Verschiebung desUrsprungs) Gegebenist die Abbildung x' = A⋅ x + d .d = 0 ⇔ Der Ursprung O(0;0) wird auf sich selbst abgebildet, alsoO = O’.BeweisSetzt man den Vektor für den Ursprung ⎛x = x ⎞1⎜⎝ ⎠⎟ = ⎛ 0 ⎞⎝⎜0 ⎠⎟x 2in dieAbbildungsgleichung ein, so ergibt sich für den Bildvektorx 1' = a 11⋅0 + a 12⋅0 + d 1= d 1und x 2' = a 21⋅ 0 + a 22⋅ 0 + d 2= d 2, alsox ' = d . Dann ist x ' = 0 ⇔ d = 0 ∎Das Auffinden der Abbildungsmatrix zu einer geometrisch gegebenenAbbildung wird durch folgende prinzipielle Überlegung ganz erheblichvereinfacht:Satz 3.2 (Aufstellen der Abbildungsmatrix)Ist der Verschiebungsvektor d = 0 , so gilt:⎛ a c⎞Die Abbildungsmatrix ist⎝⎜b d⎠⎟ ⇔ Der Basisvektor e ⎛= 1 ⎞1⎝⎜0⎠⎟ wird ⎛auf e 1' =a ⎞ ⎝⎜b⎠⎟ und e ⎛= 0 ⎞ 2⎝⎜1⎠⎟ auf e ⎛' =c ⎞2⎝⎜d⎠⎟ abgebildet.Beweis„⇒“Die Abbildung lautet also x ⎛' = a c ⎞ ⎛⎝⎜b d⎠⎟ x . Setzt man e 1= 1 ⎞⎝⎜0⎠⎟ ein, so ⎛ergibt sich sofort e 1' =a ⎞⎝⎜b⎠⎟ . Ebenso ergibt das Einsetzen von e ⎛= 0 ⎞2⎝⎜1⎠⎟ ⎛sofort e 2' =c ⎞⎝⎜d⎠⎟ .„⇐“Wegen d = 0 und da die Abbildungsmatrix unbekannt ist, lautet dieAbbildung x ⎛' = a a11 12⎞⎜ ⎟ x . Setzt man e⎝ a 21a 1und e 1' ein, so erhält man22 ⎠⎛ a⎞⎝⎜b⎠⎟ = ⎛ a a11 12⎞⎜⎝ a 21a 22 ⎠⎟ ⎛ 1 ⎞⎝⎜0 ⎠⎟ = ⎛ a ⎞11⎜ ⎟ , also a⎝ a 11= a und a 21= b.21 ⎠ Setzt man entsprechend e 2und e 2' ein, so erhält man

3 Analytische Geometrie der Kongruenzabbildungen 45⎛ c⎞⎝⎜d⎠⎟ = ⎛ a a11 12⎞⎜⎝ a 21a 22 ⎠⎟ ⎛ 0 ⎞⎝⎜1 ⎠⎟ = ⎛ a ⎞12⎜ ⎟ , also a⎝ a 12= c und a 22= d .22 ⎠Damit ist die Abbildungsmatrix bestimmt. ∎3.2 Die Abbildungsgleichungen derKongruenzabbildungenMit dem Satz über das Aufstellen der Abbildungsmatrix stellen wirnun die Abbildungsmatrizen für Drehungen und Spiegelungen auf.Drehung um den Ursprung O um den Winkel αAbb. 3.4: Drehung um den Ursprung um den Winkel αDie Drehung um den Ursprung O um den Winkel α ist gegeben durch x' = A⋅ x ,⎛ cosα −sinα ⎞wobei die Abbildungsmatrix A =⎝⎜sinα cosα ⎠⎟ ist.Spiegelung an einer Geraden, die mit der x 1 -Achse den Winkel αeinschließtAbb. 3.5:Spiegelung an einerGeraden, die mit derx 1 -Achse einenWinkel α einschließt.

3 Analytische Geometrie der Kongruenzabbildungen 46Die Spiegelung an einer Geraden, die durch den Ursprung Overläuft und mit der x 1 -Achse den Winkel α einschließt, ist gegeben durch x' = A⋅ x , wobei die Abbildungsmatrix⎛ cos2α sin 2α ⎞A =⎝⎜sin 2α −cos2α ⎠⎟ ist.In der Euklidischen Geometrie hatten wir eine Verschiebung durcheinen Verschiebungsvektor beschrieben, der wiederum durch einenAnfangs- und Endpunkt gegeben war. In der Koordinatenebene wirdbei einer Verschiebung der Ursprung O nicht auf sich selbstabgebildet, sondern in einen Bildpunkt O’≠ O verschoben. Nach demSatz über die Verschiebung des Ursprungs ist der Verschiebungsvektord . Da eine Verschiebung um den Nullvektor die Identität ergibt, mussdie Abbildungsmatrix die Einheitsmatrix sein.DieVerschiebung um den Vektor d ist gegeben durchx' = A⋅ x + d , wobei die Abbildungsmatrix die Einheitsmatrix⎛E = 1 0 ⎞⎝⎜0 1⎠⎟ ist.3.2.1 Die Abbildungsgleichung der zentrischenStreckungAuch diese lässt sich mit demSatz über das Aufstellen derAbbildungsmatrix bestimmen,wenn das Streckzentrum derUrsprung ist. Denn dann wirdder Ursprung auf sich selbstabgebildet.Die Einheitsvektoren werdendann mit dem Faktor k gestreckt/gestaucht, alsoAbb. 3.6: Streckung derEinheitsvektoren ⎛e 1= 1 ⎞ ⎝⎜0⎠⎟ → e ⎛' = k ⎞ 1⎝⎜0⎠⎟ und e ⎛= 0 ⎞ 2⎝⎜1⎠⎟ → e ⎛' =0 ⎞2⎝⎜k⎠⎟

3 Analytische Geometrie der Kongruenzabbildungen 47Die zentrische Streckung mit dem Ursprung als Streckzentrum und dem Streckfaktor k, k ∈ / {0}, ist gegeben durch x' = A⋅ x⎛, wobei die Abbildungsmatrix A = k 0 ⎞⎝⎜0 k⎠⎟ ist.3.2.2 Verkettung von AbbildungenWirbetrachten zwei Abbildungen, gegeben durch A und d bzw. B undf . Diese Abbildungen sollen hintereinander ausgeführt werden. Also x' = A⋅ x + d und x" = B ⋅ x' + f .Dann lautet die Verkettung der Abbildungen x" = B ⋅ A⋅ x + d = B ⋅ A⋅ x + B ⋅ d + f . Dabei werden die beiden( ) + fMatrizen miteinander multipliziert. Das Matrizenprodukt istfolgendermaßen definiert:⎛B ⋅ A = b b11 12⎞⎜ ⎟⎝ b 21b 22 ⎠⋅ ⎛ a 11a 12⎞⎜ ⎟⎝ a 21a 22 ⎠= ⎛ b a + b a b11 11 12 21 11a 12+ b 12a 22⎞⎜⎟⎝ b 21a 11+ b 22a 21b 21a 12+ b 22a 22 ⎠Merkregel: Zeile mal SpalteBei der Multiplikation der Matrizen kommt es auf die Reihenfolge an,die Matrix der zweiten Abbildung steht links neben der Matrix derersten Abbildung.Übungsaufgabe: Die Verkettung einer Spiegelung mit sich selbst istdie Identität, da Spiegelungen involutorisch sind.⎛ cos2α sin 2α ⎞⎝⎜sin2α −cos2α ⎠⎟ i ⎛ cos2α sin2α ⎞⎝⎜sin2α −cos2α ⎠⎟⎛ cos 2 2α + sin 2 2α=⎝⎜sin2α ⋅ cos2α − cos2α ⋅ sin 2α⎛= 1 0 ⎞⎝⎜0 1⎠⎟cos2α ⋅sin 2α − sin 2α ⋅cos2α ⎞sin 2 2α + cos 2 2α ⎠⎟3.2.3 Verknüpfung von zwei SpiegelungenWenn die beiden Geraden, an denen gespiegelt werden soll, gegebensind, wählt man das Achsenkreuz möglichst günstig.

3 Analytische Geometrie der Kongruenzabbildungen 48a) Die Geraden verlaufenparallelDie x 2 -Achse wird indie erste Spiegelachse agelegt. Die zweiteSpiegelachse b ist danneine zur x 2 -Achseparallele Gerade, diedie x 1 -Achse bei dschneidet.Abbildungsgleichung ⎛für die erste Spiegelung: x' = −1 0 ⎞ ⎝⎜0 1⎠⎟ xHerleitung der Abbildungsgleichung für die Spiegelung an der 2.Achse:Für jeden Punkt P und seinen Bildpunkt P’ gilt offensichtlichp 2 ’ = p 2 . Für die erste Koordinate gilt:d − p 1= p 1'− d , was aufgelöst nach p 1 ’ ergibt: p 1' = 2d − p 1.Beide Koordinatengleichungen liefern für die Spiegelung an der 2. ⎛Achse die Abbildungsgleichung: x" = −1 0 ⎞ ⎝⎜0 1⎠⎟ x' ⎛+ 2d ⎞⎝⎜0 ⎠⎟ . DieVerkettung beider Abbildungen liefert : ⎛x" = −1 0 ⎞⎝⎜0 1⎠⎟ ⋅ ⎛ −1 0⎞⎝⎜0 1⎠⎟ x ⎛+ 2d ⎞⎝⎜0 ⎠⎟ = ⎛ 1 0 ⎞ ⎝⎜0 1⎠⎟ x ⎛+ 2d ⎞⎝⎜0 ⎠⎟p 2ap 1 p 1 ’was offensichtlich eine Verschiebung ist. Der Verschiebungsvektorhat die Länge von 2d, ist von der ersten zur zweiten Spiegelachseorientiert und ist senkrecht zu beiden Achsen. Damit ist durch dieseRechnung gezeigt:Die Spiegelung an zwei parallelen Spiegelachsen, die denAbstand d haben, ist eine Verschiebung mit einemVerschiebungsvektor, der die Länge 2d hat, von der ersten zurzweiten Spiegelungsachse und senkrecht zu beiden Achsenverläuft.x 2dbP P’Abb. 3.7: Verknüpfung vonSpiegelungen an parallelen Geradenx 1

3 Analytische Geometrie der Kongruenzabbildungen 49b) Die Geraden schneiden einanderDer Ursprung wird in den Schnittpunktder beiden Achsen gelegt unddie x 1 -Achse auf die ersteSpiegelachse. Die zweite Spiegelachseist dann eine Ursprungsgerade,die mit der x 1 -Achse einenWinkel α einschließt.Abbildungsgleichung für die ersteSpiegelung: ⎛x' = 1 0 ⎞ ⎝⎜0 −1⎠⎟ xAbbildungsgleichung für die zweite Spiegelung: ⎛ cos2α sin2α ⎞ x" =⎝⎜sin2α −cos2α ⎠⎟ x'Die Verkettung beider Abbildungen wird durch dasMatrizenprodukt⎛ cos2α sin 2α ⎞⎝⎜sin2α −cos2α ⎠⎟ i ⎛ 1 0 ⎞ ⎛ cos2α −sin 2α ⎞⎝⎜0 −1⎠⎟ =⎝⎜sin2α cos2α ⎠⎟berechnet. Die Ergebnismatrix ist eine Drehmatrix (Vorzeichenbeachten!) für den Drehwinkel 2α.Damit ist durch diese Rechnung gezeigt:Abb. 3.8: Verknüpfungvon Spiegelungen an sichschneidenden GeradenDie Spiegelung an zwei sich schneidende Spiegelachsen, dieeinen Winkel α einschließen, ist eine Drehung um denSchnittpunkt beider Geraden mit dem Drehwinkel 2α.3.2.4 Verknüpfung von dreiSpiegelungena) Gegeben sind drei Spiegelungsachsena, b und c, die sich ineinem Punkt schneiden. | a,b|=αund | b,c|=βAuch hier wählt man das Achsenkreuzgünstig, indem man denUrsprung in den Schnittpunkt derdrei Achsen legt und die x 1 -Achseauf die erste Spiegelachse a. Dannschließt die zweite Spiegelachse bmit der x 1 -Achse einen Winkel αAbb. 3.9: Drei Spiegelachsena, b und c, die sich im Ursprungschneiden.

3 Analytische Geometrie der Kongruenzabbildungen 50ein und c einen Winkel von α + β mit der x 1 -Achse.Da alle drei Achsen durch den Ursprung laufen, kann man sofort dieAbbildungsgleichungen für alle drei Spiegelungen hinschreiben: ⎛x' = 1 0 ⎞ ⎝⎜0 −1⎠⎟ x = A⋅ x ⎛ cos2α sin 2α ⎞ x" =⎝⎜sin 2α −cos2α ⎠⎟ x' = B ⋅ x'⎛ cos2(α + β) sin 2(α + β) ⎞ x'" =⎝⎜sin 2(α + β) −cos2(α + β) ⎠⎟ x" = C ⋅ x"Die Verkettung ist dann x'" = C ⋅ B ⋅ A⋅ x , es kommt also darauf an, dasProdukt der 3 Matrizen zu bilden.⎛ cos2α sin2α ⎞B ⋅ A =⎝⎜sin 2α −cos2α ⎠⎟ ⋅ ⎛ 1 0 ⎞ ⎛ cos2α −sin 2α ⎞⎝⎜0 −1⎠⎟ =⎝⎜sin2α cos2α ⎠⎟(siehe oben), so dass noch berechnet werden muss:⎛ cos2(α + β) sin 2(α + β) ⎞C ⋅ (B ⋅ A) =⎝⎜sin2(α + β) −cos2(α + β) ⎠⎟ ⋅ ⎛ cos2α⎝⎜sin 2α−sin 2α ⎞cos2α ⎠⎟ .Dieses Produkt auszuführen ist umfangreich, es wird in die einzelnen⎛Komponenten der Ergebnismatrix D = d d11 12⎞⎜ ⎟⎝ d 21d 22 ⎠zerlegt.d 11= cos2(α + β) ⋅ cos2α + sin2(α + β) ⋅sin 2αEs ist hilfreich, das Ergebnis zu kennen, um bei der Umformungzielgerichtet vorzugehen. Die Verkettung der drei Spiegelungen ergibteine Spiegelung an einer Achse, die mit der x 1 -Achse einen Winkelvon β einschließt. Im Ergebnis muss sich also ergeben:⎛ cos2β sin 2β ⎞D = C ⋅ B ⋅ A =⎝⎜sin2β −cos2β⎠⎟ . Das signalisiert, dass man bei derUmformung die Summe von α und β auflösen muss, nicht aber diedoppelten Winkel.d 11= cos(2α + 2β) ⋅cos2α + sin(2α + 2β) ⋅sin2α= (cos2α cos2β − sin2α sin2β) ⋅cos2α+ (sin2α cos2β + cos2α sin2β) ⋅sin2α= cos2α cos2β cos2α − sin2α sin2β cos2α+ sin2α cos2β sin2α + cos2α sin2β sin2αIn der letzten Zeile heben sich der 2. und der 4. Summand auf, im 1.und 3. Summand kann man cos 2β ausklammern:d 11= (cos2α cos2α + sin2α sin2α) ⋅cos2β= 1 ⋅cos2β= cos2β

3 Analytische Geometrie der Kongruenzabbildungen 51Die Rechnungen für die verbleibenden Komponenten d 12, d 21, d 22verlaufen ganz analog und sind eine hervorragende Übung für dasRechnen mit Winkelfunktionen.Damit ist das Ergebnis gezeigt.Die Spiegelung an drei Geraden g 1 , g 2 und g 3 , die sich in einemPunkt schneiden und Winkel der Größe α = g 1,g 2bzw.β = g 2,g 3einschließen, lassen sich zu einer Geradenspiegelungan einer Geraden g zusammenfassen. Dabei ist derWinkel zwischen g 1 und g β.Einschub (Spiegelung an einerGeraden, die nicht durch denUrsprung verläuft):In den folgenden beidenAbschnittenspielenSpiegelungen eine Rolle, derenAchsen nicht durch denUrsprung verlaufen. Daher sollals Einschub dieser Fallzunächst betrachtet werden undeine allgemeingültige Abbildungsgleichungdafür hergeleitetwerden.Abb. 3.10: Spiegelgerade a, dienicht durch den Ursprung verläuft.Es sei a eine Gerade, die durch den Punkt P(p 1 ; p 2 ) verläuft und die mitder x 1 -Achse einen Winkel von α einschließt. Die Spiegelung andieser Geraden lässt sich durch folgende, mit ihrer Abbildungsgleichungbereits bekannten Abbildungen erzeugen:1. Verschiebung des Punktes P in den Ursprung. Der Verschiebungsvektorist also 1⎛ − p ⎞⎜ ⎟⎝ − p 2 ⎠Die Abbildungsgleichung lautet: x ' = x ⎛+ − p 1⎞⎝⎜ − p 2 ⎠⎟2. Spiegelung an der verschobenen Geraden, die nun durch denUrsprung geht.Diese Abbildungsgleichung lautet: x ⎛ cos2α sin 2α ⎞'' =⎝⎜ sin 2α − cos2α ⎠⎟ x '⎛3. Zurückverschiebung gegenüber 1. also eine Verschiebung mit ⎜⎝p 1p 2⎞⎟⎠.

3 Analytische Geometrie der Kongruenzabbildungen 52Diese Abbildungsgleichung lautet: x ''' = x ⎛''+ p 1⎞⎝⎜⎠⎟ .Setzt man für eine Verknüpfung der drei Abbildungen die dreiAbbildungsgleichungen ineinander ein, so erhält man: ⎛ cos2α sin 2α ⎞ ⎡ ⎛x ''' =⎝⎜sin 2α −cos2α ⎠⎟ x + − p ⎞ ⎤ ⎛1⎢ ⎜ ⎟ ⎥ + p ⎞1⎜ ⎟⎣⎢⎝ − p 2 ⎠ ⎦⎥⎝ p 2 ⎠⎛ cos2α sin 2α ⎞ ⎛=⎝⎜sin 2α −cos2α ⎠⎟ x + p ⎞1⎜⎝ p 2 ⎠⎟ − ⎛ cos2α sin2α ⎞ ⎛ p 1⎞⎝⎜sin 2α −cos2α ⎠⎟ ⎜ ⎟⎝ p 2 ⎠ dMan erhält also eine Spiegelungan der zu a parallelen Geradena’, die durch den Ursprungverläuft, mit einer anschließendenVerschiebung. Dabeiverläuft der Verschiebungsvektord von P’, dem an a’gespiegelten Punkt P, zumPunkt P. Das ist aber auch dasDoppelte des Vektors von Ozum Fußpunkt F des Lotes vonOaufdie Gerade a, alsoP'P = 2OF .Abb. 3.11Insbesondere diese Interpretationlässt sich günstig in beide Richtungen einsetzen:- Man kennt den Winkel α der Spiegelungsachse mit der x 1 -Achse undden Fußpunkt F des Lotes von O auf die Spiegelungsachse. Dannlautet die Abbildungsgleichung: ⎛ cos2α sin2α ⎞ x ' =⎝⎜sin2α −cos2α ⎠⎟ x + 2·OF- Kennt man umgekehrt die Abbildungsgleichung und ist derVerschiebungsvektor d senkrecht zur Spiegelungsachse, so kannman mit inversen Winkelfunktionen aus der Matrix den Winkel αbestimmen und 1 d bestimmt dann den Fußpunkt des Lotes, also2einen Punkt, durch den die Spiegelungsachse verläuft.BeispielGegeben ist die Spiegelung mit der Matrixp 2⎛ 0,28 0,96 ⎞⎝⎜0,96 −0,28⎠⎟und derPunkt P(7;-1), durch den die Spiegelungsachse laufen soll. Dann ist

3 Analytische Geometrie der Kongruenzabbildungen 53der mit der Spiegelungsmatrix multiplizierte Vektor⎛ 0,28 0,96 ⎞ ⎛ 7 ⎞⎝⎜0,96 −0,28⎠⎟·⎝⎜−1⎠⎟ = ⎛ 1 ⎞⎝⎜7 ⎠⎟ .Also ist der Verschiebungsvektor⎛ 7 ⎞⎝⎜−1⎠⎟ − ⎛ 1 ⎞⎝⎜7 ⎠⎟ = ⎛ 6 ⎞⎝⎜−8⎠⎟und die Abbildungsgleichung lautet ⎛ 0,28 0,96 ⎞ ⎛x ' =⎝⎜0,96 −0,28⎠⎟ x +6 ⎞⎝⎜−8⎠⎟ . Ein zu⎛ 6 ⎞⎝⎜−8⎠⎟ senkrechter Vektor ist ⎛ 4⎞⎝⎜3⎠⎟ ,folglich hat die Spiegelachse die Steigung 3 4 .b) Die drei Spiegelachsen verlaufenzueinander parallel:Eine günstige Wahl des Achsenkreuzesist, dass die x 2 -Achse entlang der erstenSpiegelachse a liegt. Dann verläuft diex 1 -Achse senkrecht zur ersten Spiegelachsea, zur zweiten Spiegelachse b undzur dritten Spiegelachse c. Es seien eder Abstand von a zu b und fder Abstand von b zu c.Da mit diesen Festlegungendie Fußpunkte der Lote der nicht durch den Ursprung verlaufendenSpiegelungsachsen b und c bekannt sind, kann man die Abbildungsgleichungenfür die Spiegelungen aufstellen. ⎛x ' = −1 0 ⎞⎝⎜0 1⎠⎟ x ⎛x '' = −1 0 ⎞⎝⎜0 1⎠⎟ x ⎛'+ 2e ⎞⎝⎜0 ⎠⎟ ⎛x ''' = −1 0 ⎞⎝⎜0 1⎠⎟ x ⎛''+ 2(e + f ) ⎞⎝⎜0 ⎠⎟Die Verkettung der drei Abbildungen liefert ⎛x ''' = −1 0 ⎞ ⎡⎛−1 0⎞⎛ −1 0⎞⎝⎜0 1⎠⎟⎝⎜0 1⎠⎟⎝⎜0 1⎠⎟ x ⎛+ 2e ⎞ ⎤ ⎛⎢⎝⎜0 ⎠⎟ ⎥ + 2(e + f ) ⎞⎣⎦ ⎝⎜0 ⎠⎟Multipliziert man die Gleichung aus und fasst zusammen, so ergibtsich. ⎛x ''' = −1 0 ⎞⎝⎜0 1⎠⎟ x ⎛+ 2 f ⎞⎝⎜0 ⎠Abb. 3.13: Verknüpfung von dreiSpiegelungen an zueinander parallelenGeraden⎟Abb. 3.12

3 Analytische Geometrie der Kongruenzabbildungen 54Da die Spiegelungsachse für diese Ergebnismatrix weiterhin parallelzur x 2 -Achse verläuft, ist der Vektor⎛ 2 f ⎞⎝⎜0 ⎠⎟senkrecht zu dieser. Daherist die letzte Abbildungsgleichung diejenige, die zu einer Spiegelungan der Achse d gehört. d verläuft parallel zu a, b und c und hat zur x 2 -Achse einen Abstand von f.Die Spiegelung an drei Geraden a, b und c, die zueinanderparallel sind und voneinander die Abstände e = d(a,b)bzw.f = d(b,c) haben, lassen sich zu einer Geradenspiegelung aneiner Geraden d zusammenfassen. Dabei ist der Abstand von dzur Geraden a gleich f.c) Die drei Spiegelachsen liegen in allgemeiner Lage:Eine günstige Wahl des Achsenkreuzes ist, die x 1 -Achse auf die ersteSpiegelungsachse a zu legen und den Ursprung in den Schnittpunktvon a und b. Dann verläuft b durch den Ursprung, der Winkel zur x 1 -Achse sei β. Die Gerade c sei durch einen Punkt P(p 1 ;p 2 ) und denWinkel γ zur x 1 -Achse festgelegt.Abb. 3.14: Verknüpfung von drei Spiegelung an Geraden inallgemeiner LageDann sind die Abbildungsgleichungen: ⎛x ' = 1 0 ⎞⎝⎜0 −1⎠⎟ x

3 Analytische Geometrie der Kongruenzabbildungen 55x '' =x ''' =⎛ cos 2β sin 2β ⎞⎝⎜sin 2β − cos 2β⎠⎟ x⎛ cos 2γ sin 2γ ⎞⎝⎜sin 2γ − cos 2γ ⎠⎟ x ⎛''+ p ⎞1 ⎛ cos 2γ⎜ ⎟ −⎝ ⎠ ⎝⎜sin 2γp 2sin 2γ ⎞ ⎛− cos 2γ ⎠⎟ ⎜⎝p 1p 2⎞⎟⎠Die Verkettung der drei Abbildungen liefert ⎛ cos 2γ sin 2γ ⎞ ⎛ cos 2β sin 2β ⎞ ⎛ 1 0 ⎞x ''' =⎝⎜sin 2γ − cos 2γ ⎠⎟⎝⎜sin 2β − cos 2β⎠⎟⎝⎜0 −1⎠⎟ x ⎛+ p ⎞1 ⎛ cos 2γ⎜ ⎟ −⎝ ⎠ ⎝⎜sin 2γp 2sin 2γ ⎞ ⎛− cos 2γ ⎠⎟ ⎜⎝p 1p 2⎞⎟⎠Die Multiplikation der drei Matrizen ergibt:⎛ cos 2γ⎝⎜sin 2γsin 2γ ⎞ ⎛ cos 2β− cos 2γ ⎠⎟⎝⎜sin 2β⎛ cos 2γ sin 2γ ⎞ ⎛ cos 2β=⎝⎜sin 2γ − cos 2γ ⎠⎟⎝⎜sin 2βsin 2β ⎞ ⎛ 1 0 ⎞− cos 2β⎠⎟⎝⎜0 −1⎠⎟− sin 2β⎞cos 2β ⎠⎟⎛ cos 2γ cos 2β + sin 2γ sin 2β − cos 2γ sin 2β + sin 2γ cos 2β⎞=⎝⎜sin 2γ cos 2β − cos 2γ sin 2β − sin 2γ sin 2β − cos 2γ cos 2β⎠⎟⎛ cos 2(γ − β) sin 2(γ − β) ⎞=⎝⎜sin 2(γ − β) − cos 2(γ − β) ⎠⎟Die Ergebnismatrix gehört zu einer Achsenspiegelung, derenSpiegelungsachse mit der x 1 -Achse einen Winkel von γ − βeinschließt.Abb. 3.15: Geometrische Interpretation⎛ pDer Verschiebungsvektor 1⎞ ⎛ cos 2γ sin 2γ ⎞ ⎛ p⎜ ⎟ − 1⎞⎝ ⎠ ⎝⎜sin 2γ − cos 2γ ⎠⎟ ⎜ ⎟ ist der doppelte⎝ ⎠p 2Vektor von O zum Fußpunkt des Lotes auf die Gerade c. In der obigenp 2

3 Analytische Geometrie der Kongruenzabbildungen 56Abbildung ist das der Punkt F. Nennt man OF = f so ist dieAbbildungsgleichung der Verknüpfung der drei Spiegelungenx ''' =⎛ cos 2(γ − β) sin 2(γ − β) ⎞⎝⎜sin 2(γ − β) − cos 2(γ − β) ⎠⎟ x + 2 fZur Spiegelung an c’, der Geraden, die mit der x 1 -Achse einen Winkelvon γ−β einschließt, gehört der Lotfußpunkt G. Man bestimmt denVektor OG durch OG = 1 ⎡ ⎛ cos 2(γ − β) sin 2(γ − β) ⎞ ⎤⎢ f −2 ⎝⎜sin 2(γ − β) − cos 2(γ − β) ⎠⎟ f ⎥⎣⎢⎦⎥ = 1 ⎡ f − f ' ⎤2 ⎣ ⎦ ,wobei f ' der an der zu c’ parallelen Ursprungsgeraden c’’ gespiegelteVektor f ist. Dann ist GF = OF − OG = f − 1 ⎡ f − f ' ⎤2 ⎣ ⎦ = 1 f + 1 2 2 f ' = 1 ⎡ f + f ' ⎤2 ⎣ ⎦ . DerVektor f wird also zerlegt in 1 ⎡ f − f ' ⎤ , der senkrecht zu c’ verläuft2 ⎣ ⎦und die Lage von c’ in der Ebene bestimmt, und in 1 ⎡ f + f ' ⎤2 ⎣ ⎦ , derparallel zu c’ verläuft und den Schubanteil der Schubspiegelungausmacht.ErweiterungGegeben ist eine Abbildung mit der GleichungF : x ⎛ cos2α sin 2α ⎞ ⎛' =⎝⎜sin2α −cos2α ⎠⎟ x + d ⎞1⎜ ⎟ = Sx + d , also die Verknüpfung⎝ ⎠d 2einer Spiegelung mit einer Verschiebung. Zerlegt man denVerschiebungsvektor d in die Komponenten d ⊥senkrecht zurSpiegelachse der Spiegelung und d parallel zur Spiegelachse, sobestimmt d ⊥die Lage der Spiegelachse und d ist der Schubspiegelungsanteil.Wie bestimmt man zur gegebenen Abbildungsgleichungdie beiden Komponenten d ⊥und d ?Wendet man die Abbildungsgleichung von F zwei Mal an, so hebt sichdie Spiegelung auf und es ergibt sich die zweimalige Verschiebung mitd .Also gilt: F F( ) : x '' = S· ⎡Sx + dAlso ist 2 d = S d + d .Folglich ist d = 1 (2 S d + d ) undd ⊥= d − d = d − 1 2 S d + d⎣( ) = 1 ( ) .2⎤⎦ + d = S·S·x+ Sd + d = x + Sd + d .d − S d

3 Analytische Geometrie der Kongruenzabbildungen 57BeispielGegeben ist die Gleichung x ⎛ 0,96 0,28 ⎞ ⎛' =⎝⎜0,28 −0,96⎠⎟ x +⎝⎜4 ⎞−3⎠⎟ .Abb. 3.16: Beispiel für die Berechnung der parallelen und senkrechtenKomponenteDann ist d ⎛=4 ⎞⎝⎜−3⎠⎟ und S d ⎛ 0,96 0,28 ⎞ ⎛ 4 ⎞=⎝⎜0,28 −0,96⎠⎟·⎝⎜−3⎠⎟ = ⎛ 3 ⎞⎝⎜4 ⎠⎟ .Also gilt d = 1 ⎛ ⎛ 3⎞2 ⎝⎜4⎠⎟ + ⎛ 4 ⎞ ⎞⎜⎝⎜−3⎠⎟ ⎟⎝ ⎠= ⎛ 3,5 ⎞⎝⎜0,5⎠⎟und d ⊥= 1 ⎛ ⎛ 4 ⎞2 ⎝⎜−3⎠⎟ − ⎛ 3 ⎞ ⎞⎜⎝⎜4 ⎠⎟ ⎟⎝ ⎠= ⎛ 0,5 ⎞⎝⎜−3,5⎠⎟ .Damit verläuft die Spiegelachse durch den Punkt F(0,25 ; -1,75)In der Abbildung ist d = OD , d ⊥= OD 1und d = OD 2Spiegelt man P(2;-2) an der Spiegelachse durch F und verschiebt dasBild P’ mit d = OD 2, so erhält man P’’.Bildet man P mit der Abbildungsgleichung ab, so erhält man: ⎛ 0,96 0,28 ⎞ ⎛ 2 ⎞p'' =⎝⎜0,28 −0,96⎠⎟⎝⎜−2⎠⎟ + ⎛ 4 ⎞⎝⎜−3⎠⎟ = ⎛ 5,36 ⎞⎝⎜−0,52⎠⎟ ,was in Übereinstimmung mit der Abbildung ist.

3 Analytische Geometrie der Kongruenzabbildungen 583.3 Übungen3.3.1 Übungen zur Trigonometrie1. Setzen Sie in die Formel für sin(α + β) ein: β = 90° − α . Welcheandere Formel erhalten Sie?2. Entwickeln Sie eine Formel für sin 3 α, in der nur sin α und cos αvorkommen. Rechnen Sie Ihr Ergebnis nach für α = 30°.3. Für 0° ≤ α < 90° gilt tanα =1cos 2 αWarum ist sie für α = 90 nicht definiert?− 1 . Leiten Sie diese Formel her.4. Das Additionstheorem für den Tangens lautettanα + tan βtan(α + β) = . Leiten Sie diese Formel aus den1− tanα tan βAdditionstheoremen für sin und cos her.5.Die obige Zeichnung dient zum Beweis des Additionstheoreme fürden Sinus und Kosinus, sin(α + β) cos(α + β) für 0° ≤ α + β ≤ 90° .Beweisen Sie damit die beiden Additionstheoreme.Hinweise: Die Strecke OB ist zu 1 normiert. Also giltDB = sin(α + β) und OD = cos(α + β) . Weiterhin können Sie dieLängen der Strecken im Dreieck OAB wie im „Merkdreieck“bestimmen. Dann sind die Dreiecke OCA und HAB gestauchte„Merkdreiecke“. Bestimmen Sie den Winkel HBA.

3 Analytische Geometrie der Kongruenzabbildungen 609. Eine Konzentrationsübung⎛Gegeben sind die (allgemeinen) Matrizen A = a a11 12⎞⎜ ⎟ ,⎝ a 21a 22 ⎠⎛B = b b11 12⎞ ⎛⎜ ⎟ und C = c c11 12⎞⎜ ⎟ . Berechnen Sie zur⎝ b 21b 22 ⎠ ⎝ c 21c 22 ⎠Überprüfung des Assoziativgesetzes einmal ( A·B)·C und dannA·(B·C). Halten Sie Ausschau nach mathematischer Schönheitund Harmonie 1 .10. Zeigen Sie durch Matrizenmultiplikation, dass zur Drehung um Omit dem Winkel α die Drehung um den Winkel –α die inverseAbbildung ist.3.3.3 Übungen zu den Abbildungen ⎛ 0 −1⎞11. Erforschen Sie die Abbildung x' =⎝⎜ 1 0 ⎠⎟ x ⎛+3 ⎞⎝⎜ −1⎠⎟ .Anleitung:a. Bilden Sie durch Rechnung die Punkte P(2;-1), Q(3;0) undR(1;2) ab auf die Punkte P’, Q’ bzw. R’.b. Zeichnen Sie die Dreiecke PQR und P’Q’R’ in einAchsenkreuz. Vergleichen Sie beide Dreiecke. Sind siekongruent? Ist der Umlaufsinn gleich oder verändert?c. Zeigen Sie rechnerisch exakt, dass PR = P'R' ist.d. Handelt es sich bei der Abbildung um eine Drehung(Drehzentrum?, Drehwinkel?) oder eine Spiegelung(Spiegelungsachse?)12. Schreiben Sie die „Kraut-und-Rüben-Gleichungen“ geordnet undanschließend in der Vektor-Matrix-Schreibweise.u = ar + 2sg − 2hv = 5k + ms − rb⎛ x13. Eine Abbildung der Form1' ⎞⎝⎜ x 2' ⎠⎟ = ⎛ a 11a 12 ⎞ ⎛⎝⎜ a 21a 22 ⎠⎟⎝⎜Punkte wieder auf Punkte ab.⎛Konkret sei A = −1 2 ⎞⎝⎜ 0,5 3⎠⎟ und d ⎛=−1 ⎞⎝⎜ 2,5⎠⎟x 1x 2⎞⎠⎟ + ⎛ d 1 ⎞⎝⎜⎠⎟ bildetd 21 „ In der Mathematik liegen Wahrheit und Schönheit dicht beieinander. Wenn die Formelnschön werden, weiß ich, dass ich auf dem richtigen Weg bin.“ Ein Mathematiker in dem Film„Enigma“.

3 Analytische Geometrie der Kongruenzabbildungen 61Rechnen Sie die Bildpunkte aus für O(0; 0) , A(3; -2) und B(1; 1).Berechnen Sie den Mittelpunkt M der Strecke AB und bilden Sieihn ebenfalls ab. Ist der Bildpunkt M’ auch der Mittelpunkt derStrecke A'B' ?14.⎛ −0,8 0,6⎞a. Ist die Matrix⎝⎜0,6 0,8⎠⎟ die Abbildungsmatrix einerSpiegelung oder Drehung? Wie groß ist der entsprechendeWinkel?b. Schieben Sie das Minuszeichen jeweils auf einen der dreiübrigen Plätze und beantworten Sie jeweils die Frage.⎛ 0,8 0,6⎞c. Auf die Matrix⎝⎜0,6 0,8⎠⎟ sollen zwei Minuszeichen alsVorzeichen verteilt werden. Auf wie viele Arten geht das?Warum ergibt keine dieser Matrizen eine Matrix für eineSpiegelung oder Drehung?15. Zeigen Sie, dass die Verknüpfung von zwei Drehungen um denWinkel α bzw. β eine Drehung um den Winkel α+β ergibt.16. In der Vorlesung hatten wir zu den einschlägigen Abbildungen dieMatrizen aufgestellt,indemwir die Bilder der beidenBasisvektoren e 1und e 2bestimmt hatten. Gehen Sie genau so vorfür folgende Abbildungen:a. Spiegelung an der Geraden x 2= x 1.b. Spiegelung an der Geraden x 2= −x 1.c. Drehung um den Ursprung um 135°Vergleichen Sie jeweils Ihr Ergebnis mit der in der Vorlesungbestimmten allgemeinen Matrix.Machen Sie mit zwei Beispielpunkten die Probe zeichnerisch undrechnerisch.17. Vorsicht Minuszeichen! Die Abbildungsmatrizen für dieSpiegelung und Drehung sind sehr ähnlich und können leichtverwechselt werden.Entscheiden Sie bei den nachfolgenden Matrizen, ob es sich umeine Spiegelung oder Drehung handelt.Bei einer Spiegelung: Geben Sie den Winkel zwischen x 1 -Achseund Gerade an.Bei einer Drehung: Geben Sie den Drehwinkel an.Hilfreiche Formeln zur Erinnerung:sin −α( ) = −sinα und cos( −α ) = cosα

3 Analytische Geometrie der Kongruenzabbildungen 62a.c.e.⎛ − cos10° − sin10° ⎞⎝⎜sin10° − cos10° ⎠⎟ b. ⎛ − cos 20° sin 20° ⎞⎝⎜− sin 20° − cos 20° ⎠⎟⎛ − cos60° − sin 60° ⎞⎝⎜− sin 60° cos60° ⎠⎟ d. ⎛ sin10° cos10° ⎞⎝⎜cos10° − sin10° ⎠⎟⎛ − cos 20° sin 20° ⎞⎝⎜sin 20° cos 20° ⎠⎟ f. ⎛ sin10° cos10° ⎞⎝⎜− cos10° sin10° ⎠⎟18. Gegeben ist die Abbildungsgleichung x ' =⎛ 0,8 −0,6⎞⎝⎜0,6 0,8 ⎠⎟ x ⎛+0 ⎞⎝⎜−2⎠⎟a. Begründen Sie , dass die Abbildungsmatrix zu einer Drehunggehört und dass die gesamte Abbildung eine Drehung seinmuss (Hinweis: Zweispiegelungssatz, Reduktionssatz).b. Berechnen Sie zum Dreieck OAB mit O(0;0) , A(5;0) undB(0;3) die Bildeckpunkte O’, A’ und B’. Zeichnen Sie Ur- undBildpunkte in ein Koordinatensystem (1 Einheit 1 cm).Ermitteln Sie aus der Zeichnung das Drehzentrum.c. Das Drehzentrum Z ist der (einzige) Fixpunkt einer Drehung.Also erfüllt der Punkt/Ortsvektor die Gleichung z = A z + d .Berechnen Sie mit diesem Ansatz für die oben gegebene,konkrete Abbildung das Drehzentrum. Vergleichen Sie mitIhrer zeichnerischen Lösung.19. Gegeben ist die Abbildungsgleichung x ' =⎛ 0,9 0,4 ⎞⎝⎜0,4 −0,9⎠⎟ x . GebenSie drei verschiedene Begründungen/Lösungswege an, warum diezugehörige Abbildung nicht eine Spiegelung sein kann.20. Schreiben Sie die Abbildungsmatrix für die Drehung um 90° auf.a. Der Punkt A(3;1) liegt auf der Geraden x 2= 1 3 x 1.(Ihnen ist wahrscheinlich die Form y = 1 3 x geläufiger, aber wir hatten jaden Achsen des Koordinatensystems neue Namen gegeben) also derUrsprungsgeraden mit der Steigung 1 . Bilden Sie den Punkt A3mit der Drehung um 90° ab auf den Punkt A’ und bestimmenSie so die Bildgerade, insbesondere deren Steigung.b. Verfahren Sie ebenso mit dem Punkt B(4;5) und der Geradenx 2= 5 4 x 1. (Haben Sie bereits aus den beiden Beispielen eineVermutung, wie zu einer Geraden die Steigung einer dazusenkrechten Geraden lautet?)c. Bilden Sie allgemein den Punkt P(p 1 ;p 2 ) mit der Drehung um90° ab auf den Punkt P’. Bestimmen Sie die Geradengleichung

3 Analytische Geometrie der Kongruenzabbildungen 63zur Geraden OP und OP’ und lösen Sie so das Problem, zueiner Geraden die Steigung einer dazu senkrechten Geraden zubestimmen.21. Gegeben ist die Gerade g mit der Gleichung x 2= 1 3 x 1. WählenSie auf den Koordinatenachsen 10 Kästchen = 5 cm für eineEinheit. Spiegeln Sie die Basisvektoren an der Geraden g undstellen Sie so die Gleichung für die Spiegelung an g auf.(Beachten Sie die Erkenntnisse über senkrechte Richtungen aus Aufgabe 20)Verfahren Sie analog mit der Geraden h: x 2= 3x 1 und bestimmenSie die Abbildungsgleichung für die Spiegelung an h.22. Gegeben sind die drei SpiegelungenS 1 : Spiegelung an der x 1 -AchseS 2 : Spiegelung an der Geraden durch O, die mit der x 1 -Achseeinen Winkel von 45° einschließt⎛ −0,6 0,8⎞S 3 : Die Spiegelung , die durch die Matrix⎝⎜0,8 0,6⎠⎟beschrieben wird.Überlegen Sie, welche Teilaufgaben wechselseitige Kontrollen derErgebnisse zulassen und vermerken Sie das ausdrücklichschriftlich. Sie sollen die Vernetzung der Teilaufgaben selbsterkennen.a. Stellen Sie für die drei Spiegelungen die dreiAbbildungsgleichungen auf.b. Die drei Abbildungen werden verkettet in der Reihenfolge: erstS 1 , dann S 2 , dann S 3 .c. Berechnen Sie für P(5;3) schrittweise die Bildpunkte P’=S 1 (P),P“=S 2 (P’), P’’’=S 3 (P“).d. Bestimmen Sie für die Spiegelung S 3 den Winkel, den dieSpiegelungsachse mit der x 1 -Achse einschließt.e. Zeichnen Sie die drei Spiegelachsen und den Punkt P in einAchsenkreuz. Konstruieren Sie mit dem Geodreieckschrittweise die Bildpunkte.f. Konstruieren Sie die Achse a der Spiegelung S 4 , die Punmittelbar auf P’’’ abbildet.g. Begründen Sie, warum die Achse a durch den Ursprung Ogehen muss.h. Berechnen Sie durch Matrixmultiplikation die Matrix zurVerknüpfung S 3 S 2 S 1. Berechnen Sie aus dem Ergebnis denWinkel, den die Spiegelachse mit der x 1 -Achse einschließt.

3 Analytische Geometrie der Kongruenzabbildungen 6423. Gegeben ist die Matrix⎛ cos2α⎝⎜sin2α⎛ d·cosα⎞der Vektor⎝⎜d·sinα ⎠⎟ einer Verschiebung.sin 2α ⎞−cos2α ⎠⎟ einer Spiegelung unda. Begründen Sie durch eine Skizze, dass der Vektor parallel zurSpiegelachse der Spiegelung verläuft.b. Schreiben Sie die Abbildungsgleichung auf zur Verschiebung Tmit dem gegebenen Vektor und die Abbildungsgleichung zurSpiegelung S mit der gegebenen Matrix.c. Berechnen Sie die Abbildungsgleichungen zu den beidenVerknüpfungen S T und T S . Was ist bemerkenswert?24. Gegeben ist die Abbildung mit der Gleichung ⎛ 0,6 0,8 ⎞ ⎛x ' =⎝⎜0,8 −0,6⎠⎟ x +2 ⎞⎝⎜−4⎠⎟ .a. Weisen Sie nach, dass die Abbildung zu sich selbst invers(involutorisch) ist.b. Machen Sie sich an einer Zeichnung klar, dass derVerschiebungsvektor senkrecht zur Spiegelungsachse verläuft.c. Bilden Sie das Produkt „Matrix·Verschiebungsvektor“. Waserhalten Sie? Was bedeutet das geometrisch?d. Bestimmen Sie zu dieser Abbildung die Spiegelungsachse.Überlegen Sie dazu wenigstens zwei Lösungswege.25. Gegeben ist die Spiegelung S a an der Geraden a mit der Gleichung ⎛x ' = 1 0 ⎞⎝⎜0 −1⎠⎟ x ,die Spiegelung S b an der Geraden b mit der Gleichung ⎛x ' = 0 1 ⎞⎝⎜1 0⎠⎟ xund die Spiegelung S c an der Geraden c mit der Gleichungx ' =⎛ −0,28 0,96⎞⎝⎜0,96 0,28⎠⎟ x ⎛+8 ⎞⎝⎜−6⎠⎟ .a. Ermitteln Sie für alle drei Abbildungen die Spiegelachsen a, bund c. Zeichnen Sie diese in ein Achsenkreuz.b. Spiegeln Sie rein zeichnerisch das Dreieck ABC nacheinanderan den Achsen a, b c. A(2;1), B(5;0), C(4;3)Bestimmen Sie aus der Zeichnung die Koordinaten der letztenBildpunkte.c. Berechnen Sie die Abbildungsgleichung der VerkettungS c S b S a. Bilden Sie nun mit der erhaltenen Abbildung dasDreieck ABC aus Aufg. b ab. Vergleichen Sie Ihre Ergebnisseaus b. mit den hier berechneten.

3 Analytische Geometrie der Kongruenzabbildungen 65d. Bestimmen Sie durch eine (neue) Zeichnung die Spiegelachseund die Verschiebung für die Schubspiegelung, die sich ausS c S b S aergibt. Bringen Sie diese Werte in Zusammenhangmit der in c. berechneten Abbildungsgleichung der VerkettungS c S b S a.e. Bestimmen Sie auf den Achsen a, b und c jeweils zweiGitterpunkte (Punkte mit ganzzahligen Koordinaten).Verwenden Sie dazu Aufg. a. Machen Sie die rechnerischeProbe dafür, dass die Punkte wirklich auf der betreffendenAchse liegen.f. Fertigen Sie mit GeoGebra eine (weitere) Zeichnung an.Verwenden Sie für eine genaue Positionierung derSpiegelachsen die in e. bestimmten Gitterpunkte. Spiegeln Siedas in b. genannte Dreieck. Bestimmen Sie auch in dieserKonstruktion die Achse und den Verschiebungsvektor für dieSchubspiegelung. Vergleichen Sie mit Ihrer händischenZeichnung in d (und der dort ggfs. erfolgten Rechnung).26. Gegeben ist die Abbildung mit der Gleichungx ' =⎛ 0,8 0,6 ⎞⎝⎜0,6 −0,8⎠⎟ x ⎛+5 ⎞⎝⎜−5⎠⎟ .a. Finden Sie zur Spiegelungsmatrix S die Steigung derSpiegelachse heraus.b. Zeichnen Sie die Spiegelachse und den Verschiebungsvektor din ein Achsenkreuz und zerlegen Sie rein zeichnerisch diesenVektor in eine Komponente senkrecht und parallel zurSpiegelachse.c. Berechnen Sie den Vektor d ' = Sd und bilden Sie d − d ' undd + d '. Zeichnen Sie die Ergebnisvektoren in die Zeichnungunter b. ein. Was haben Sie berechnet? Wie ergeben sich diebeiden grafisch ermittelten Komponenten desVerschiebungsvektors?d. Ermitteln Sie nun die Schubspiegelung, also die Achse, an dergespiegelt wird und die Verschiebung, die mit einem zurSpiegelachse parallelen Vektor ausgeführt wird.