Lineares Gleichungssystem und Gauss-Algorithmus

£SZ Neustadt Bremen · Torsten Warncke · Mathematik 28. Oktober 20091 DefinitionKlären wir zunächstganz abstrakt, was ein Lineares Gleichungssystem (LGS) ist.Eine Gleichung heißt „linear“, wenn ihre Unbekannten lediglich in der ersten Potenz auftreten.Zum Beispiel die Gleichungist linear, und die Gleichung2x 1 + 39x 2 − 13x 3 = 152(x 1 ) 2 − (x 2 ) 5 + 3(x 3 ) = 15ist nicht linear. Hier sind x 1 , x 2 , x 3 die Unbekannten (im geometrischen Zusammenhangkönnen wir an x, y und z denken). Die Werte vor den Unbekannten heißen Koeffizienten.EineAnsammlungvonlinearenGleichungen,die„gleichzeitig“gelöstwerdensollen,heißtLineares Gleichungssystem.MitallgemeinenKoeffizientensiehteinlinearesGleichungssystemmit mGleichungenundn Unbekannten so aus:a 11 x 1 + a 12 x 2 + ... + a 1n x n = b 1a 21 x 1 + a 22 x 2 + ... + a 2n x n = b 2...a m1 x 1 + a m2 x 2 + ... + a mn x n = b mx i sind die Unbekannten (Variablen) und a ij sind die Koeffizienten, wobei diese natürlichauch den Wert Null annehmen dürfen.Unter einer Lösung eines Linearen Gleichungssystems mit n Unbekannten versteht manein n-Tupel (x 1 ,x 2 ,...,x n ), so dass alle Gleichungen des Systems bei Einsetzen dieses n-Tupelserfülltsind.Das n-Tupelkannauchalsein n-dimensionalerSchnittpunkt (x 1 |x 2 |...|x n )im geometrischen Sinne begriffen werden.Esexistieren entweder eine, unendlichviele oder keineLösung. Umeine Lösungzuerzielen,werden in bestimmter Folge folgende Umformungen durchgeführt:1. Multiplikation einer Gleichung mit einer Zahl ungleich 0,2. Addition eines Vielfachen einer Gleichung zu einer anderen Gleichung3. Vertauschung von zwei Gleichungen.Dadiese Umformungendie Lösungsmenge nichtverändern nennt mansie Äquivalenzumformungen.2 Konkrete Lösung von LGSAuf S.9 im Buch von Lambacher und Schweizer wird das Gauss-Verfahren zur Lösungeines Linearen Gleichungssystems (LGS) mit 3 Gleichungen und 3 Unbekannten verwendet.Betont wird hier die Matrixschreibweise. Das Gauss-Verfahren wird die untere linkeDreieckshälfte der Matrix eliminieren, so dass eine obere Dreiecksmatrix entsteht.1

§SZ Neustadt Bremen · Torsten Warncke · Mathematik 28. Oktober 20092.1 1. SchrittDas LGS wird notiert, indem jede Gleichung eine römische Nummererhält.I 3x 1 + 6x 2 + (−2)x 3 = −4II 3x 1 + 2x 2 + 1x 3 = 03III2 x 1 + 5x 2 + (−5)x 3 = −9Das LGS wurde hierbei so geschrieben, dass negative Zahlenwerte der Koeffizienten inKlammern stehen und somit für die Matrixschreibweise leicht übernommen werden können.Die erweiterte Koeffizientenmatrix sieht so aus:⎛⎞3 6 −2 −4⎝ 3 2 1 0 ⎠325 −5 −9§2.2 2. SchrittMan ersetzt die 2. Gleichung durch eine Gleichung, in der die ursprüngliche Gleichungzu einem Vielfachen einer anderen Gleichung addiert wurde, so dass x 1 weg fällt. Hiernimmt man am besten als Gleichung IIa die Differenz von II mit I:I 3x 1 + 6x 2 + (−2)x 3 = −4IIa = II − I 0 + (−4)x 2 + 3x 3 = 43III2 x 1 + 5x 2 + (−5)x 3 = −9In Matrixschreibweise sieht dies so aus:⎛⎞ ⎛⎞3 6 − 2 | − 4 −1 3 6 − 2 | − 4⎝3 2 1 | 0 ⎠ ←− + ⇔ ⎝0 − 4 3 | 4 ⎠3325 − 5 | − 925 − 5 | − 9£2.3 3. SchrittMan ersetzt die 3. Gleichung durch eine Gleichung, in der die ursprüngliche Gleichungzu einem Vielfachen einer anderen Gleichung addiert wurde, so dass x 1 weg fällt. Hiernimmt man am besten als Gleichung IIIa die Differenz von III mit einer halben I:I 3x 1 + 6x 2 + (−2)x 3 = −4IIa = II − I 0 + (−4)x 2 + 3x 3 = 4IIIa = III − 1 2 I 0 + 2x 2 + (−4)x 3 = −7In Matrixschreibweise sieht dies so aus:⎛⎞ ⎛⎞3 6 − 2 | − 4 − 1 2 3 6 − 2 | − 4⎝0 − 4 3 | 4 ⎠ ⇔ ⎝0 − 4 3 | 4 ⎠325 − 5 | − 9 ←− + 0 2 − 4 | − 72

SZ Neustadt Bremen · Torsten Warncke · Mathematik 28. Oktober 2009£2.4 4. SchrittManersetzt die3.Gleichungdurcheine Gleichung,inder die ursprünglicheGleichungzueinem Vielfachen einer anderen Gleichung addiert wurde, so dass nun auch noch x 2 wegfällt. Hier nimmtmanambesten als Gleichung IIIbdie Summevon IIIa miteiner halbenIIa:I 3x 1 + 6x 2 + (−2)x 3 = −4IIa = II − I 0 + (−4)x 2 + 3x 3 = 4IIIb = IIIa + 1 2 IIa 0 + 0 + (−21 2 )x 3 = −5In Matrixschreibweise sieht dies so aus:⎛⎞ ⎛⎞3 6 − 2 | − 4 3 6 − 2 | − 4⎝0 − 4 3 | 4 ⎠ 12⇔ ⎝0 − 4 3 | 4 ⎠0 2 − 4 | − 7 ←− + 0 0 − 2 1 2| − 52.5 5. SchrittManbestimmtausdieser Dreiecksform die Lösung. AusGleichung IIIbersieht man,dassx 3 = 2sein muss.Amschnellstensetzt man x 3 = 2 inGleichung IIa einunderhält x 2 = 1 2 .Schließlich setzt man x 3 und x 2 in Gleichung I ein und erhält x 1£= −1. Die Lösung kannauch als Schnittpunktoder Lösungsmenge formuliert werden: L = {(−1 | 1 2 | 2)}.3 Nr. 5aIn Matrixschreibweise ganz schnell:⎛⎞⎛⎞ ⎛2 − 4 5 | 3−2 2 − 4 5 | 32 − 4 5 | 3⎝3 3 7 | 134 − 2 − 3 | − 1− 3 2⎠ ←− +←−−−−−+⇔ ⎝3.1 5a mal sehr fortgeschritten0 9 − 1 2| 8 1 20 6 − 13 | − 7⎠− 2 3←− +⇔ ⎝0 9 − 1 2| 8 1 20 0 − 12 2 3| − 12 2 3WernunvollkommenmitMatrizenvertrautist,kanndiese auchgleichalsOperatorsehenund das LGS in der Form⎛2 − 4⎞5A⃗x = ⃗ b = ⎝3 3 7 ⎠4 − 2 − 3⎛ ⎞ ⎛ ⎞x 1 3⎝x 2⎠ = ⎝ 13 ⎠x 3 − 1aufstellen. Die Lösung ergibt⎛sich aus der Inversen⎞A −1 , da A −1 A = E, d.h. A −1 A⃗x =− 5 22 43⃗x = A −1 ⃗ b, mit A −1 = 1|A| · ⎝ − 37 26 − 1 ⎠ . Hierbei ist |A| = 228 ≠ 0 die von Null18 12 − 16verschiedene Determinante von A, so dass eine eindeutige Lösung existiert. Das Lösen⎞⎠3

SZ Neustadt Bremen · Torsten Warncke · Mathematik 28. Oktober 2009des LGS wird somit auch als „invertieren“ bezeichnet. Die Inverse A −1 auf den Vektor ⃗ bliefert den gesuchten Lösungsvektor:⎛ ⎞ ⎛ ⎞x 1 1⃗x = ⎝x 2⎠ = ⎝1x 3£⎠14 Nr. 5bIn Matrixschreibweise ganz schnell:⎛⎛⎞ ⎛⎝− 1 7 − 1 |⎞54 − 1 1 | 15 − 3 1 | − 14⎠ ←− +←−−−−5+− 1 7 − 1 | 5⇔ ⎝ 0 27 − 3 | 21⎠0 32 − 4 | 24←−− 3227+⇔ ⎝− 1 7 − 1 | 5⎞0 27 − 3 | 21 ⎠0 0 − 4 9| − 8 9Möglich ist jetzt auch, im Matrix-Schema zu bleiben, und gar nicht mehr auf die Ebeneder Gleichungen zu gehen. So lässt sich jetzt die 3. Zeile der Matrix mit dem Faktor − 9 4multiplizieren und dann 3-mal zur 2. Zeile hinzu addieren. Anschließendes Multiplizierender 2. Zeile mit dem Faktor 127 führt dazu, dass in der 2. und 3. Zeile der Matrix nur nochdie Diagonalelemente mitdemWert 1stehen.Analog wirdschließlichmitder erstenZeileder Matrix verfahren und wir kommen zu folgender erweiterten Koeffizientenmatrix:⎛1 0 0 |⎞0⎝0 1 0 | 1⎠0 0 1 | 2Die gesuchte Lösung steht in der letzten Spalte der erweiterten Koeffizientenmatrix.Die Matrix, die ausschließlich Einsen als Diagonalelemente enthält, heißt EinheitsmatrixE: ⎛ ⎞1 0 0E = ⎝0 1 00 0 1⎠ .4