Mathematischer Vorkurs - KOMET 337 - Johannes Gutenberg ...

Mathematischer VorkursMathematischer VorkursPeter van DongenInstitut für PhysikJohannes Gutenberg-Universität, MainzVorlesung im SS 2010Mathematischer VorkursInhaltsverzeichnis ”Mathematischer Vorkurs“Merkblatt VorkursMerkblatt Vorkurs1. Zahlen 12. Folgen und Reihen 23. Vektoren, Matrizen, Determinanten 34. Funktionen & ihre Ableitungen 45. Funktionen mehrerer Veränderlicher 56. Integration & Integrale 67. Differentialgleichungen 7Anhang: Hintergrundinformation, einige BeweiseAnhang

Mathematischer VorkursMerkblattAllgemeines über die VorlesungAllgemeine InformationDozent?◮ Name: Peter G.J. van Dongen◮ Zimmer: 03-123 (Physikgebäude)◮ Tel.: (39)25609◮ E-Mail: Peter.vanDongen@uni-mainz.deSekretariat: Elvira Helf, Tel.: (39)25171, Zimmer 03-128Mathematischer Vorkurs!◮ Zeit und Ort: täglich 9.00 - 12.00 Uhr, HS 20◮ Zielgruppe? angehende . . .◮◮◮◮◮◮Physiker (Bach. Sc. & Bach. Sc. Ed.)Meteorologen (Bach. Sc.)Chemiker (Bach. Sc. & Bach. Sc. Ed.)Biologen (Bach. Sc. & Bach. Sc. Ed.)Geowissenschaftler (Bach. Sc.)& ein paar Mathematiker/Informatiker (Bach. Sc. & Bach. Sc. Ed.)Mathematischer VorkursMerkblattZweck des VorkursesZweck des VorkursesWarum sind Sie hier?1. Mathematik ist wichtig!2. Mathematik macht Spaß!3. Schulbedingte Unterschiede bei den Mathematikkenntnissen!Extreme Heterogenität!◮ Rheinland-Pfalz ↔ Hessen ↔ Rest der Welt◮ Unterschiedliche Schulen, Lehrer, Wahlpflichtfächer, . . .◮ Unterschiedliche Kursniveaus: Grundkurs ↔ Leistungskurs◮ Unterschiedliche individuelle Aspekte: Talente, Interessen, . . .4. Lücke zwischen Schulwissen und Universität ( Matheschock“)”5. Daher Ziele des Vorkurses?◮ Wissensunterschiede ausgleichen & Lücken schließen◮ ein paar Ausblicke bieten ( Ergänzungen“)”6. Anforderungen der Anfängervorlesungen! (zumindest in Physik)◮wesentliche Ideen des Vorkurses werden effektiv vorausgesetzt

Mathematischer VorkursMerkblattZum Herunterladen:Handout & ÜbungsblätterWie erhalten Sie Ihre Übungsblätter & Ihr ”Handout“?Hilfreich bei Vorlesung & Übung: Downloads!◮ Die Übungsblätter . . .◮◮werden nicht nur in der Vorlesung verteilt,sondern können auch heruntergeladen werden!◮ Außerdem können Sie ein ”Handout“ herunterladen!Tipp:Lieber mitdenken als mitschreiben!Herunterladen des Handouts und der Übungsblätter?http://komet337.physik.uni-mainz.de/Group/Benutzername: theo, Passwort: istgut!(An der JOGU selbst nicht benötigt!)Mathematischer VorkursMerkblattOrganisation der ÜbungOrganisation der ÜbungFAQs:1. In welcher Übungsgruppe sind Sie?◮ Einteilung der Übungsgruppen erfolgt am Ende der ersten Vorlesung◮ Die HiWis kommen (etwa um 12 Uhr) zu HS 20◮ Sie gehen (evtl. zusammen mit Gleichgesinnten) zu einem der HiWis◮ Unsere Randbedingung: alle Übungsgruppen etwa gleich groß◮ Der HiWi zeigt Ihnen noch vor dem Mittagessen Ihren Übungsraum◮ Dort treffen Sie sich nach dem Mittagessen für die erste Übung◮ Ihre erste Übung fängt um 14 Uhr (oder evtl. 13 Uhr) an

Mathematischer VorkursMerkblattOrganisation der ÜbungOrganisation der ÜbungFAQs:1. In welcher Übungsgruppe sind Sie? (. . .)2. Was ist der typische Ablauf einer Übung?◮ Die Übung dauert typischerweise von 14-17 Uhr (bzw. 13-16 Uhr)◮ In Übungen werden Übungsblätter gerechnet◮ Diese Übungsblätter erhalten Sie in der Vorlesung oder als Download◮ Es gibt ein Übungsblatt pro Kapitel (nicht z.B.: pro Tag)◮ Unser Rat: arbeiten Sie in der Übung mit Gleichgesinnten zusammen◮ Sie brauchen auf keinen Fall alle Übungsaufgaben zu lösen!◮ Die Übungsaufgaben haben unterschiedliche Schwierigkeitsgrade◮ Bearbeiten Sie die Aufgaben, womit Sie gut zurechtkommen◮ Die Übungsaufgaben werden vom HiWi zwar nicht korrigiert,◮ . . . aber Sie sollten den HiWi löchern, wenn Sie nicht weiterkommen,◮ . . . bis Sie Ihre“ Aufgaben im Wesentlichen verstanden haben”Mathematischer VorkursMerkblattOrganisation der ÜbungOrganisation der ÜbungFAQs:1. In welcher Übungsgruppe sind Sie? (. . .)2. Was ist der typische Ablauf einer Übung? (. . .)3. Was ist anders in der ersten Übung? (also heute!)◮ Sie werden zwar mit dem ersten Übungsblatt anfangen können,◮ . . . aber vorher machen wir einen Eingangstest (A. Neiser)◮ Keine Bange: Dieser Test ist grundsätzlich anonym◮ Unser Ziel ist, Sie (als Gruppe) besser kennen zu lernen,◮ . . . um den Vorkurs besser auf Sie abzustimmen◮ . . . und ihn künftig noch besser zu machen!◮ Daher gibt es später (in der letzten Woche) auch einen Ausgangstest◮ Die Ein- und Ausgangsergebnisse werden miteinander verglichen,◮ . . . und liefern somit Information über die Effektivität des Vorkurses◮ Ein- und Ausgangsergebnisse werden in der Vorlesung diskutiert

Mathematischer VorkursMerkblattÜbungsleitungIhre AnsprechpartnerÜbungsleitung: Tobias Gottwald (KOMET 337)◮ Institut für Physik, Zimmer 03-426◮ Tel.: (39)22465; Fax: (39)20954◮ E-Mail: tobias.gottwald@uni-mainz.deÜbungsgruppenleiter(innen):(mit Übungsraum, Emailadresse)1. Benedikt Kloss (SR A, bkloss@students.uni-mainz.de)2. Peter Merkel (SR C, petermerkel@gmx.net)3. Beate Mußhoff (SR D, beate.musshoff@freenet.de)4. Andreas Neiser (SR E, aneiser@students.uni-mainz.de)5. Charalampos Papadopoulos (SR F, papadopoulos1985@hotmail.de)6. Sebastian Rothe (SR K, sebastian.rothe@uni-mainz.de)7. Antonia Statt (Minkowski-Raum, antstatt@students.uni-mainz.de)8. Tobias Weber (Newton-Raum, toweber@students.uni-mainz.de)9. Elisa Will (Galilei-Raum, elisa − will@web.de)Mathematischer VorkursMerkblattVorlesungsinhalteVorlesungsinhalteDie verschiedenen Kapitel der Vorlesung . . .1. Zahlen2. Folgen und Reihen3. Vektoren, Matrizen, Determinanten4. Funktionen & ihre Ableitungen5. Funktionen mehrerer Veränderlicher6. Integration & Integrale7. Differentialgleichungen

Mathematischer VorkursMerkblattLiteraturEmpfehlenswerte Literatur IH. J. KorschMathematik-VorkursBinomi Verlag (Barsinghausen, 2008)K. HefftMathematischer Vorkurs zum Studium der Physikhttp://www.thphys.uni-heidelberg.de/ hefft/vk1/Universität Heidelberg (Heidelberg, 2008)M. KallenrodeRechenmethoden der Physik: MathematischerBegleiter zur ExperimentalphysikSpringer Verlag (Berlin, 2005)Mathematischer VorkursMerkblattLiteraturEmpfehlenswerte Literatur IIH. J. KorschMathematische Ergänzungen zur Einführungin die PhysikBinomi Verlag (Barsinghausen, 2008)F. Ayres, E. MendelsonSchaum’s Outline of CalculusMcgraw-Hill (New York, 1999)K.-H. Goldhorn, H.-P. HeinzMathematik fuer Physik 1-3Springer Verlag (Berlin, 2007)

Mathematischer VorkursKapitel 1: Zahlen◮ 1.1 Natürliche Zahlen, vollständige Induktion◮ 1.2 Reelle Zahlen◮ 1.3 Komplexe ZahlenInhaltsverzeichnis1.1Mathematischer Vorkurs1.1 Natürliche Zahlen, vollständige InduktionNatürliche Zahlen1.1 Natürliche Zahlen, vollständige InduktionDefinition: N ≡ {1, 2, 3, . . . } , N 0 ≡ {0, 1, 2, 3, . . . }Fundamentale Eigenschaft: (Notation: ⊂ bedeutet Teilmenge“)”[ ]U ⊂ N , 1 ∈ U , m ∈ U ⇒ (m + 1) ∈ U⇔U = NKonsequenz: vollständige Induktion“ , U ≡ {n ∈ N | P(n) wahr}”[ ] P(1) wahr , P(m) wahr ⇒ P(m + 1) wahr ⇔ P(n) wahr (∀ n ∈ N)Beispiele:(Beweis mit vollständiger Induktion)◮ 1 + 2 + · · · + n = 1 n(n + 1) , denn:2P(1) wahr : 1 = 1 2 · 1 · (1 + 1) , P(m) : 1 + 2 + · · · + m = 1 m(m + 1)2Falls P(m) wahr ⇒ 1 + 2 + · · · + (m + 1) = ( 1 2 m + 1)(m + 1) = 1 (m + 1)(m + 2)2Also: P(m) wahr ⇒ P(m + 1) wahr! Daher: P(n) wahr (∀ n ∈ N)◮ Analog: 1 2 + 2 2 + · · · + n 2 = 1 6 n(n + 1)(2n + 1) Peano-Axiome

Mathematischer Vorkurs1.1 Natürliche Zahlen, vollständige InduktionVollständige InduktionVollständige Induktion - weitere Beispiele1. Binomischer Satz: [ bekannt mindestens seit Euklid, Pingala, Halayudha, . . . ](1 + x) 0 = 1 , (1 + x) 1 = 1 + x , (1 + x) 2 = 1 + 2x + x 2(1 + x) 3 = 1 + 3x + 3x 2 + x 3 , (1 + x) 4 = 1 + 4x + 6x 2 + 4x 3 + x 4n∑ÅP(n) : (1 + x) n n= xkãk ( Vermutung )k=0Beweis mit vollständiger Induktion: P(0) wahr [ und P(1) − P(4) ]Å ã Å ã Å ã[ ]m + 1 m mP(m) wahr ⇒ P(m+1) wahr wegen= +k k k − 1Beweis dieser Pascal’schen Regel“:Å ã Å ” ãm m m!+ =k k − 1 k!(m − k)! + m!(k − 1)!(m + 1 − k)!((m + 1)! m + 1 − k=+ k ) Å ã Å ãm + 1 m + 1= · 1 =k!(m + 1 − k)! m + 1 m + 1 kkFazit: P(n) wahr (∀ n ∈ N 0 )Mathematischer Vorkurs1.1 Natürliche Zahlen, vollständige InduktionBeispiele vollständiger InduktionVollständige Induktion - weitere Beispiele2. Produktregel beim Differenzieren: [ f (n) ≡ n-te Ableitung von f ](fg) (0) = fg , (fg) (1) = f ′ g + fg ′ , (fg) (2) = f ′′ g + 2f ′ g ′ + fg ′′(fg) (3) = f (3) g + 3f (2) g (1) + 3f (1) g (2) + fg (3)(fg) (4) = f (4) g + 4f (3) g (1) + 6f (2) g (2) + 4f (1) g (3) + fg (4)n∑ÅP(n) : (fg) (n) n= fkã(n−k) g (k) ( Vermutung )k=0Beweis mit vollständiger Induktion: P(0) wahr [ und P(1) − P(4) ]Å ã Å ã Å ã[ ]m + 1 m mP(m) wahr ⇒ P(m+1) wahr wegen= +k k k − 1Fazit: P(n) wahr (∀ n ∈ N 0 )Beispiele:(xe −x ) (n) = x(−1) n e −x + n(−1) n−1 e −x = (−1) n (x − n)e −x[ x 2 sin(x) ] (n)= x 2 sin(x) − 2nx cos(x) − n(n − 1) sin(x) (n = 4k)

Mathematischer Vorkurs1.1 Natürliche Zahlen, vollständige InduktionBeispiele vollständiger InduktionVollständige Induktion - weitere Beispiele3. Fibonacci-Zahlen F n = 1, 1, 2, 3, 5, 8, · · · (F n+2 = F n+1 + F n )P(n) : F n = (x ï+) n − (x − ) n Euler, Daniel Bernoulli,x + − x − de Moivre (1730), Binetmit:x ± ≡ 1 2 ± 1 2√5 , (x± ) 2 − x ± − 1 = 0 [ x + ̂= ”goldener Schnitt“ ]Vollständige Induktion: [ Fazit: P(n) wahr (∀ n ∈ N) ]P(1) wahr: (x + − x − )/(x + − x − ) = 1P(2) wahr: (x 2 + − x 2 −)/(x + − x − ) = x + + x − = 1[ P(m) & P(m + 1) wahr ⇒ P(m + 2) wahr]da (x ± ) 2 − x ± − 1 = 0Berechnung:F m+1 + F m = (x +) m+1 − (x − ) m+1x + − x −+ (x +) m − (x − ) mx + − x −= (x +) m (x + + 1) − (x − ) m (x − + 1)x + − x −= (x +) m+2 − (x − ) m+2x + − x −= F m+2òMathematischer Vorkurs1.1 Natürliche Zahlen, vollständige InduktionFibonacci-ZahlenLeonardo Pisano Bogollo (c. 1170 - c. 1250), FibonacciGeometrische Darstellung der Fibonacci-Zahlen:3521 18F n+1F n→ x +(n → ∞)mit:x + = 1 2 + 1 2√5≃ 1, 618034( ”goldener Schnitt“)Fibonacci-Zahlen:F n = 1, 1, 2, 3, 5, 8, · · ·F n+2 = F n+1 + F nFibonacci-Zahlen als Verzweigungsprozeß:Modell für:◮ Vermehrung von:◮ Kaninchenpaaren◮ Bienen◮ Wachstum von:◮Bäumen◮ Pflanzen (· · · )0 1 2 3 4 5 6ZeitFibonacci (c. 1170 - 1250)

Mathematischer Vorkurs1.2 Reelle ZahlenKonstruktion der reellen Zahlen1.2 Reelle ZahlenGanze Zahlen:Z = (−N) ∪ {0} ∪ N = {· · · , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, · · · }Rationale Zahlen:1[ Beispiele: 0 − 1 13 − 7 ]7 5 m ©Q = ∣ m, n ∈ Z ; n ≠ 0nReelle Zahlen: [ Beispiele: 1, 41421 · · · 3, 14159 · · · 2, 71828 · · · ]◮ Allgemeine Form: x = g n g n−1 g n−2 · · · g 0 , g −1 g −2 · · ·Ç ån∑m, n, gm ∈ Zx = g m (10) m0 ≤ g m ≤ 9m=−∞√2, π, e ≠mn(o.B.d.A.: m, n ∈ N teilerfremd) , denn:◮ Beispiele:√ m 2 =n⇒ 2n 2 = m 2 ⇒ m = 2 ¯m ( ¯m ∈ N) ⇒ n 2 = 2 ¯m 2⇒ n = 2¯n (¯n ∈ N) ⇒ (m, n) nicht teilerfremd Mehrdeutigkeit:0, 999 · · · = 1, 000 . . . (usw.)Mathematischer Vorkurs1.2 Reelle ZahlenGeometrische Darstellung der reellen ZahlenGeometrische Darstellung der reellen ZahlenReelle Zahlen im Intervall 0 ≤ x ≤ 1 :0 1x = 0 , g −1 g −2 g −3 g −4 g −5 g −6 · · ·( )0 , g−1 g −3 g −5 · · ·0 , g −2 g −4 g −6 · · ·Ç å0 , g−1 g −4 · · ·0 , g −2 g −5 · · ·0 , g −3 g −6 · · ·

Mathematischer Vorkurs1.3 Komplexe ZahlenDefinitionen und Eigenschaften1.3 Komplexe ZahlenMotivation:lineare Gleichung :0 = a 0 + a 1 z (a 0,1 ∈ R) ⇒ z = −a 0 /a 1 ∈ Rquadratische Gleichung :0 = a 0 + a 1 z + a 2 z 2 (a 0,1,2 ∈ R) ⇒ (?!?)Beispiel :0 = 1 + z 2 ⇔ z 2 = −1 ⇒ (?!?)Definition der Größe i :i 2 ≡ −1Komplexe Zahlen:(i heißt ”imaginäre Einheit“)(u, v = Real-/Imaginärteil)z = u + vi ( u, v ∈ R ; z ∈ C )(Weiter)entwicklung der komplexen Zahlen:Gerolamo Cardano (1501 - 1576),René Descartes, Leonhard Euler, Caspar Wessel,Augustin Louis Cauchy, Carl Friedrich GaußUnlösbarkeit“ mancher”quadratischer Gleichungenmindestens bekannt seit:Abū ‘Abdallāh Muḥammadibn Mūsā al-Khwārizmī(c. 780 - c. 850)Mathematischer Vorkurs1.3 Komplexe ZahlenDefinitionen und EigenschaftenKomplexe ZahlenDefinition der Größe i :i 2 ≡ −1Komplexe Zahlen:(i heißt ”imaginäre Einheit“)(u, v = Real-/Imaginärteil)z = u + vi ( u, v ∈ R ; z ∈ C ) ; u = Re(z) , v = Im(z)Eigenschaften:◮ Addition:z 1 + z 2 = (u 1 + v 1 i) + (u 2 + v 2 i)≡ (u 1 + u 2 ) + (v 1 + v 2 )i◮ Multiplikation:z 1 z 2 = (u 1 + v 1 i)(u 2 + v 2 i)◮ Inversion:1z = 1u + viNotationen:≡ (u 1 u 2 − v 1 v 2 ) + (u 1 v 2 + v 1 u 2 )i≡ u − viu 2 + v 2 ,z 1= u 1 + v 1 iz 2 u 2 + v 2 iIm(z)0 + 0i ≡ 0 , u + 0i ≡ u , 0 + vi = vi0z 2 = u 2 + v 2 iz 1 = u 1 + v 1 iz 1 + z 21≡ z 1 = (u 1 + v 1 i)(u 2 − v 2 i)z 2 (u 2 ) 2 + (v 2 ) 2Re(z)

Mathematischer Vorkurs1.3 Komplexe ZahlenAllgemeine Lösung der quadratischen GleichungQuadratische Gleichung & PolardarstellungQuadratische Gleichung:⎧⎨[ D ≡ (a 1 ) 2 − 4a 0 a 2 , Diskriminante“]Ä”a 2 z + a 1+ √ ä ÄD0 = a 0 + a 1 z + a 2 z 2 2a 2z + a 1− √ äD2a 2(D ≥ 0)= Ä⎩a 2 z + a 1+i √ ä Ä−D2a 2z + a 1−i √ ä−D2a 2(D ≤ 0)(a 0,1,2 ∈ R)Lösungen:z ± =Polardarstellung von z = u + vi :u = ρ cos(ϕ)v = ρ sin(ϕ)⇒® 12a 2( −a1 ± √ D ) (D ≥ 0)12a 2( −a1 ± i √ −D ) (D ≤ 0)z = ρ [cos(ϕ) + i sin(ϕ)]Å ã!= ρe iϕ Euler-FormelNotation/Nomenklatur: ( |z| ≡ √ u 2 + v 2 ⇒ |e iϕ | = 1 )ρ = |z| ≥ 0( ”Betrag“)ϕ = arg(z) ( ”Argument“ : −π < ϕ ≤ π)Mathematischer Vorkurs1.3 Komplexe ZahlenDie PolardarstellungDie PolardarstellungPolardarstellungvon z = u + vi :u = ρ cos(ϕ)v = ρ sin(ϕ)⇒ z = ρ [cos(ϕ) + i sin(ϕ)] ! = ρe iϕ , |e iϕ | = 1Warum gilt cos(ϕ) + i sin(ϕ) = e iϕ ? [ f ′ (ϕ) = λf (ϕ) ⇒ f (ϕ) = f (0)e λϕ ]Definiere: f (ϕ) ≡ cos(ϕ) + i sin(ϕ) [ mit f (0) = 1 ]⇒⇒f ′ (ϕ) = − sin(ϕ) + i cos(ϕ) = i[cos(ϕ) + i sin(ϕ)] = if (ϕ)f (ϕ) = f (0)e iϕ = e iϕUmkehrung der Polardarstellung:√ρ = u 2 + v√2cos(ϕ) = u/ u 2 + v√2sin(ϕ) = v/ u 2 + v 2Multiplikation/Division in der Polardarstellung:z 1 z 2 = (ρ 1 e iϕ 1)(ρ 2 e iϕ 2) = (ρ 1 ρ 2 )e i(ϕ 1+ϕ 2 )z 1z 2= ρ 1e iϕ 1ρ 2 e iϕ 2 = ρ 1ρ 2e i(ϕ 1−ϕ 2 )Im(z)ρ sin(ϕ)0ρϕρ cos(ϕ)u + viRe(z)

Mathematischer Vorkurs1.3 Komplexe ZahlenDie PolardarstellungPolardarstellungMultiplikation/Division in der Polardarstellung:z 1 z 2 = (ρ 1 e iϕ 1)(ρ 2 e iϕ 2) = (ρ 1 ρ 2 )e i(ϕ 1+ϕ 2 )Im(z),z 1z 2= ρ 1e iϕ 1ρ 2 e iϕ 2 = ρ 1ρ 2e i(ϕ 1−ϕ 2 )Im(z)221.5z 1 z 2ρ 1 ρ 2ϕ 1 + ϕ 21.5z 1ρ 1ϕ 11.50Rechenregeln:z 2ρ 2ϕ2 ρ 1 z 1ϕ 1.5 1 1.5 2 2.5Re(z)1.50ρ 2ϕ2z 2z 1 /z 2ρ 1 /ρ 2ϕ 1 − ϕ 2.5 1 1.5 2 2.5|z 1 z 2 | = |z 1 ||z 2 | , arg(z 1 z 2 ) = arg(z 1 ) + arg(z 2 ) (mod 2π)∣ z ∣ ( )1 ∣∣ |z 1 |z1= , arg = arg(z 1 ) − arg(z 2 ) (mod 2π)z 2 |z 2 |z 2Re(z)Mathematischer Vorkurs1.3 Komplexe ZahlenDe Moivres FormelDe Moivres FormelPolardarstellung von z = u + vi :u = ρ cos(ϕ)v = ρ sin(ϕ)⇒z = ρ [cos(ϕ) + i sin(ϕ)] ! = ρe iϕDaher speziell: (Abraham de Moivre, 1707 & 1722; Euler 1749)Beispiele:[cos(ϕ) + i sin(ϕ)] n = e inϕcos(2ϕ) + i sin(2ϕ) = [cos(ϕ) + i sin(ϕ)] 2= [ cos 2 (ϕ) − sin 2 (ϕ) ] + i [2 cos(ϕ) sin(ϕ)]cos(3ϕ) + i sin(3ϕ) = [cos(ϕ) + i sin(ϕ)] 3= [ cos 3 (ϕ) − 3 cos(ϕ) sin 2 (ϕ) ][ ]+ i 3 cos 2 (ϕ) sin(ϕ) − sin 3 (ϕ)Daher:cos(2ϕ) = cos 2 (ϕ) − sin 2 (ϕ)sin(2ϕ) = 2 cos(ϕ) sin(ϕ)cos(3ϕ) = cos 3 (ϕ) − 3 cos(ϕ) sin 2 (ϕ)sin(3ϕ) = 3 cos 2 (ϕ) sin(ϕ) − sin 3 (ϕ)usw.! = cos(nϕ) + i sin(nϕ)e 4iϕe 5iϕcos(5ϕ)Im(z)e 3iϕsin(ϕ)4ϕ0e 2iϕ2ϕsin(5ϕ)ϕcos(ϕ)e iϕRe(z)

Mathematischer Vorkurs1.3 Komplexe ZahlenKomplexe KonjugationKomplexe KonjugationKomplexe Konjugation:z = u + vi ⇒ z ∗ ≡ u − vi(z ∗ ) ∗ = (u − vi) ∗ = u + vi = zIm(z)Rechenregeln:(z 1 + z 2 ) ∗ = z1 ∗ + z2 ∗ , (z 1 z 2 ) ∗ = z1 ∗ z2 ∗ , (z 1 /z 2 ) ∗ = z1 ∗ /z2∗Beispiele:◮ Betragsquadrat/Inverse: zz ∗ = |z| 2 , z −1 = z ∗ /|z| 2◮ Lösungen der quadratischen Gleichung:® 1( −a12az ± =2± √ D ) (D ≥ 0) ⇒ z ± ∈ R12a 2( −a1 ± i √ −D ) (D ≤ 0) ⇒ z + = z ∗ −Dreiecksungleichung: |z 1 + z 2 | ≤ |z 1 | + |z 2 | , Beweis:|z 1 + z 2 | 2 = (z 1 + z 2 )(z 1 + z 2 ) ∗= |z 1 | 2 + (z 1 z ∗ 2 + z 2 z ∗ 1 ) + |z 2 | 2= |z 1 | 2 + 2Re(z 1 z ∗ 2 ) + |z 2 | 2≤ ( |z 1 | + |z 2 | ) 200Im(z)ρϕ−ϕρz = u + viRe(z)z ∗ = u − viz 1z 2z 1 + z 2Re(z)Mathematischer VorkursKapitel 2: Folgen und Reihen◮ 2.1 Folgen◮ 2.2 Reihen◮ 2.3 RekursionInhaltsverzeichnis2.1

Mathematischer Vorkurs2.1 FolgenDefinition einer ”Folge“ und Nomenklatur2.1 Folgen: Wo gehen sie hin?Was ist ein Folge? (oder auch Zahlenfolge“)”(a n ) = (a 1 , a 2 , a 3 , · · · , a N ) (1 ≤ n ≤ N) (endliche Folge)= (a 1 , a 2 , a 3 , · · · ) (∀n ∈ N) (unendliche Folge)Für uns am interessantesten: unendliche Folgen (a 1 , a 2 , a 3 , · · · )Warum interessant?z.B. Zeitreihen!(Temperatur, Wirtschaftsdaten, Mondpositionen, Populationsgrößen, . . .)Nomenklatur:◮ monotone Folgen: a n+1 ≥ a n (steigend) bzw. a n+1 ≤ a n (fallend)◮ streng monotone Folgen: a n+1 > a n bzw. a n+1 < a n◮ beschränkte Folgen: a n ≤ a sup < ∞ bzw. a n ≥ a inf > −∞◮ alternierende Folgen: a n ≠ 0 mit a n+1 /a n < 0 (∀n ∈ N)◮ konstante Folgen: a n+1 = a n (∀n ∈ N)◮ Nullfolgen: a n → 0 (n → ∞)Mathematischer Vorkurs2.1 FolgenBeispiele von FolgenFolgen:Folgen:Beispiele:Wo gehen sie hin?(a n ) = (a 1 , a 2 , a 3 , · · · , a N ) (1 ≤ n ≤ N) (endliche Folge)= (a 1 , a 2 , a 3 , · · · ) (∀n ∈ N) (unendliche Folge)1. (n) = (1, 2, 3, 4, · · · ) (streng monoton steigend, unbeschränkt)2. (n 3 ) = (1, 8, 27, 64, · · · ) (streng monoton steigend, unbeschränkt)3. ((−1) n−1 n 2 ) = (1, −4, 9, −16, · · · ) (alternierend, unbeschränkt)4. (n −1 ) = (1, 1 , 1 , 1 , · · · ) (streng monoton fallend, beschränkt, Nullfolge)2 3 45. ((−1) n−1 n −2 ) = (1, − 1 , 1 , − 1 , · · · ) (alternierend, beschränkt, Nullfolge)4 9 166. ((−1) n−1 n ) = ( 1 , − 2 , 3 , − 4 , 5 , − 6 , · · · ) (alternierend, beschränkt)n+1 2 3 4 5 6 77. ( n+1 , · · · )n 2 3 4 5 6(streng monoton fallend, beschränkt)8. (P n ) = (2, 3, 5, 7, 11, 13, · · · ) (streng monoton steigend, unbeschränkt)9. (F n ) = (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, · · · ) (monoton steigend, unbeschränkt)

Mathematischer Vorkurs2.1 FolgenGrenzwertregeln und BeispieleFolgen:Beispiele:Wo gehen sie hin?5. ((−1) n−1 n −2 ) = (1, − 1 , 1 , − 1 , · · · ) (alternierend, beschränkt, Nullfolge)4 9 166. ((−1) n−1 n , · · · )n+1 2 3 4 5 6 7(alternierend, beschränkt)7. ( n+1 , · · · )n 2 3 4 5 6(streng monoton fallend, beschränkt)8. (P n ) = (2, 3, 5, 7, 11, 13, · · · ) (streng monoton steigend, unbeschränkt)Wo gehen sie hin?[Lat.: vergo ≃ (sich) neigen, tendieren]◮ Beispiele 5 und 7 ”konvergieren“ (gegen die Werte 0 bzw. 1)◮ Beispiel 8 ”divergiert“◮ Beispiel 6 ”konvergiert“ nichtNomenklatur/Notationen:(gegen den Wert +∞)◮ (a n ) konvergiert gegen a ∈ R ⇔ (a n − a) ist Nullfolge◮ Zahl a heißt ”Grenzwert“ der Folge (a n )◮ Notationen:lim a n = a oder a n → a (n → ∞)n→∞Mathematischer Vorkurs2.1 FolgenGrenzwertregeln und BeispieleFolgen:Wo gehen sie hin?Nomenklatur/Notationen:◮ (a n ) konvergiert gegen a ∈ R ⇔ (a n − a) ist Nullfolge◮ Zahl a heißt ”Grenzwert“ der Folge (a n )◮ Notationen:lim a n = a oder a n → a (n → ∞)n→∞Grenzwertregeln:Falls lim a n = a und lim b n = b (−∞ < a, b < ∞)n→∞n→∞. . . dann gilt:[1.] lim (a n + b n ) = a + b bzw. lim (a n − b n ) = a − bn→∞n→∞[2.] lim (a n b n ) = abn→∞[3.] limn→∞ (a n/b n ) = a/b [ falls b n ≠ 0 (∀n ∈ N) und b ≠ 0 ]Vorsicht!. . . fallsa ± b = ∞ − ∞ , ab = 0 · ∞ ,ab = ± ∞ ∞ , ab = 0 0

Mathematischer Vorkurs2.1 FolgenGrenzwertregeln und BeispieleFolgen:Vorsicht!Beispiele:[1.][2.][3.][4.]Wo gehen sie hin?. . . fallsa ± b = ∞ − ∞ , ab = 0 · ∞ ,(lim 10+ 20 = n→∞n(lim 3 + ) ≠ lim4n→∞n n 2 n→∞(lim 10+ )20 = n→∞n n( 2lim 3) ≠ lim+ 4n 2 n 3lim00 = lim∞∞ =n 2 )n→∞( 1)+ 2n→∞n 2 n 3n→∞limn→∞limn→∞( 3 + ) ≠ lim4n n 2 n→∞√n2 + 3≠ lim(2n + 7) n→∞1+ 2n n 23+ 4n n 21+ 2n n 2n→∞3+ 4n 2 n 31+ 2n 2 n 33+ 4n n 2√n2 + 32n + 7ab = ± ∞ ∞ , ab = 0 01 + 2 n= limn→∞ 3 + 4 n= 1 3n ( 1 + 2 n= limn→∞ 3 + 4 n= limn→∞1 + 2 nn ( 3 + 4 n)= ∞ 3 = ∞) = 1 ∞ = 0√= lim n 1 + 3/n 2n→∞ n (2 + 7/n) = 1 2Mathematischer Vorkurs2.1 FolgenDie Euler’sche Zahl als Grenzwert einer FolgeDie Euler’sche Zahl und Bernoullis ZinseszinsrechnungDie Euler’sche Zahl als Grenzwert einer Folge:(e n ) = (e 1 , e 2 , e 3 , . . .) mit e n ≡ ( )1 + 1 n⇒ lim en n = e ≃ 2, 71828 · · ·n→∞Interpretation: [ Jakob Bernoulli (1655 - 1705) ]Zahle am 1. Januar ein Startkapital K 0 auf der Bank einEs gilt eine momentane Verzinsung zu einem Zinssatz p = 100% pro JahrWie groß ist Ihr Guthaben am 1. Januar des nächsten Jahres?Zinseszinsformel: (hier: p = 100% = 1)Kapital nach n Verzinsungen während 1 n Jahres:K n = K 0 (1 + p/n) n◮ Bei jährlichem Zuschlag: n = 1 ⇒ K 1 = K 0 (1 + 1) 1 = 2K 0◮ Bei halbjährlichem Zuschlag: n = 2 ⇒ K 2 = K 0 (1 + 1 2 )2 = 2, 25K 0◮ Bei täglichem Zuschlag: n = 365 ⇒ K 365 = K 0 (1 + 1365 )365 ≃ 2, 715 K 0◮ Bei momentaner Verzinsung: n → ∞ ⇒ K ∞ = K 0 limn→∞e n = e K 0

Mathematischer Vorkurs2.2 ReihenDefinition einer ”Reihe“2.2 ReihenBetrachte irgendeine Folge: (a n ) = (a 1 , a 2 , a 3 , . . .)Addiere Folgenglieder:a 1 , a 1 + a 2 , a 1 + a 2 + a 3 , · · · , a 1 + a 2 + · · · + a n , · · ·∑Definiere: S n ≡ a 1 + a 2 + · · · + a n = n ⇒ neue Folge (S n ) heißt Reihe!a kk=1(S n ) = (S 1 , S 2 , S 3 , . . .) = (a 1 , a 1 + a 2 , a 1 + a 2 + a 3 , · · · )Umgekehrt: (S n ) gegeben ⇒ auch (a n ) bekannt! (a n = S n − S n−1 )Beispiel 1: [ Johann Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855) ]S = 81297 + 81495 + 81693 + · · · + 100899 ! = 9109800= 8109900 + 198(1 + 2 + 3 + · · · + 100) = 8109900 + 198S 100! = 8109900 + 198 · 5050Berechnung von S 100 : [ Fazit: S 100 = 1 · 100 · 101 = 5050 ]2S 100 = 1 + 2 + 3 + · · · + 98 + 99 + 100S 100 = 100 + 99 + 98 + · · · + 3 + 2 + 1daher: 2S 100 = 101 + 101 + 101 + · · · + 101 + 101 + 101 = 100 · 101Mathematischer Vorkurs2.2 ReihenBeispiele von ReihenReihen - BeispieleResultat: S 100 = 1 + 2 + 3 + · · · + 100 = 1 2· 100 · 101 = 5050Allgemeiner: [ Fazit: S n = 1 n(n + 1) ]2n∑k ≡ S n = 1 + 2 + · · · + (n − 1) + nk=1S n = n + (n − 1) + · · · + 2 + 1daher: 2S n = (n + 1) + (n + 1) + · · · + (n + 1) + (n + 1) = n(n + 1)Beispiel 2: (geometrische Reihe) [ Fazit: S n = (1 − a n+1 )/(1 − a) ]n∑k=0a k ≡S n = 1 + a + a 2 + · · · + a n−1 + a n−aS n = −a − a 2 − · · · − a n−1 − a n − a n+1daher: (1 − a)S n = 1 + 0 + 0 + · · · · · · + 0 − a n+1 = 1 − a n+1Grenzwert vieler Terme in der Summe? (konvergiert falls |a| < 1)∞∑S ∞ ≡ a k = 1 + a + a 2 + a 3 1 − a n+1+ · · · = lim S n = lim= 1n→∞ n→∞ 1 − a 1 − ak=0

Mathematischer Vorkurs2.2 ReihenBeispiele von ReihenReihen - BeispieleResultate: S n = n ∑k=0Numerische Beispiele:∞∑ ( 1 k 12)=1 − 1 = 2 ,2k=0Beispiel 3:n∑(1 + x) n =k=0Binomialkoeffizienten:a k = 1−an+11−abzw. S ∞ = ∞ ∑∞∑k=0( 910) k=11 − 9 10(binomische Formel)n∑a k mit a k ≡( nk)x k =( nk)k=0= 1 + n 1!=n!k!(n − k)!k=0= 10 ,( nk)x kn(n − 1)x + x 2 +2!a k = 11−a(falls |a| < 1)∞∑k=0( )−1 k 12 =1 + 1 2(Beispiel einer Reihe!)n(n − 1)(n − 2)x 3 + · · ·3!=n(n − 1) · · · (n − k + 1)k!= 2 3{ ∈ N (1 ≤ k ≤ n)= 0 (k > n)Mögliche Verallgemeinerung: (konvergiert falls |x| < 1 , nicht für |x| > 1 !)(1 + x) α = 1 + α α(α − 1)x + x 2 α(α − 1)(α − 2)+ x 3 + · · ·1 2!3!(1 + x) −1 = 1 − x + x 2 − x 3 + · · · [also z.B. nicht: − 1 = 11+(−2) = 1 + 2 + 4 + · · · ]Mathematischer Vorkurs2.3 RekursionWas ist Rekursion?2.3 RekursionHäufig wird eine Folge (a n ) = (a 1 , a 2 , a 3 , · · · ) rekursiv definiert: a n = f (n, a n−1 )Beispiele:(a 1 gegeben)[1.] a n = a n−1 + 1 = a n−2 + 2 = a n−3 + 3 = · · · = a 1 + (n − 1) (linear)[2.] a n = λa n−1 = λ 2 a n−2 = λ 3 a n−3 = · · · = λ n−1 a 1 (exponentiell)[3.] a n = na n−1 = n(n − 1)a n−2 = · · · = n(n − 1) · · · 3 · 2a 1 = n! a 1 (faktoriell)[4.] a n = (a n−1 ) 2 = (a n−2 ) 4 = (a n−3 ) 8 = · · · = (a 1 ) 2n−1 (superschnell)Eine Reihe (S n ) = (S 1 , S 2 , S 3 , · · · ) ist immer rekursiv definiert: (a n gegeben)n∑ ∑n−1S n = a k = a k + a n = S n−1 + a n (Rekursion!)k=1k=1Beispiel:S n = S n−1 + 1 , S 1 = 1 ⇒ (s. oben:) S n = nS n = S n−1 + n − (n − 1) ⇒ Definiere: S ′ n ≡ S n − nS ′ n = S n − n = S n−1 − (n − 1) = S ′ n−1 = S ′ n−2 = · · · = S ′ 1 = S 1 − 1 = 0

Mathematischer Vorkurs2.3 RekursionBeispiele von RekursionsbeziehungenRekursion - weitere BeispieleBeispiel 1: [ Wiederholtes Wurzelziehen: (a n ) = (a 1 , a 2 , a 3 , · · · ) ]√a 1 (ξ) =√α + ξ , a 2 (ξ) =a n (ξ) =√α + α +…»α +α +√√α + ξ , a 3 (ξ) =α +α +» √α + · · · · · · + α + ξ»α +√α + ξ(α > 0 fest)Rekursionsbeziehung:a n+1 (ξ) = α + a n (ξ) , a 0 (ξ) ≡ ξVerhalten für n → ∞ ?Ansatz: a n → a ∞ < ∞ (n → ∞)f (x) = √ α + x(α = 1.0)g(x) = xa ∞ = √ α + a ∞0 = (a ∞ ) 2 − a ∞ − αx»a ∞ = 1 + 1+ α −α ξ = .5 ξ = 32 4a ∞ = 1 2 + 1 √2 5Mathematischer Vorkurs2.3 RekursionDie Fibonacci-Zahlen und die binomische FormelRekursion - weitere BeispieleBeispiel 2: Fibonacci-Zahlen F n = 1, 1, 2, 3, 5, 8, · · ·Rekursionsbeziehung: F n+2 = F n+1 + F n , F 1 = F 2 = 1Analytische Form der Lösung:F n = (x +) n − (x − ) nmit x ± ≡ 1x + − x ± √ 12 2 5 , (x± ) 2 − x ± − 1 = 0−Daher für n → ∞: F n+1 /F n → x + = 1 + √ 12 2 5 (” goldener Schnitt“)Beispiel 3:mit ( ) n + 1=k(binomische Formel)n∑ ((1 + x) n n= xk)kk=0( nk)+( ) nk − 1→ Rekursionsbeziehung für a k,n ≡a k,n+1 = a k,n + a k−1,nß 1 (k = 0)a k,0 =0 (k > 0)Tabelle heißt Pascal’sches Dreieck“”( nk):6 1 6 15 20 15 6 15 1 5 10 10 5 1 04 1 4 6 4 1 0 03 1 3 3 1 0 0 02 1 2 1 0 0 0 01 1 1 0 0 0 0 00 1 0 0 0 0 0 0( nk)0 1 2 3 4 5 6

Mathematischer VorkursKapitel 3: Vektoren, Matrizen &Determinanten◮ 3.1 Einführung und Motivation◮ 3.2 Vektoren und Vektorräume◮ 3.3 Das Skalarprodukt◮ 3.4 Das Vektor- oder Kreuzprodukt◮ 3.5 Das Spatprodukt◮ 3.6 Einfache lineare Gleichungssysteme◮ 3.7 Ausblick: reelle n × n -MatrizenInhaltsverzeichnis◮ 3.8 Die Drehgruppe, ein Kompendium 3.1Mathematischer Vorkurs3.1 Einführung und MotivationDer Ortsraum der Mechanik als Vektorraum3.1 Einführung und MotivationÅ ãKoordinatenx 1 , x 2 , x 3Addition von Vektoren:Multiplikation mit α ∈ R:Skalarprodukt zweier Vektoren:→euklidische Metrik:bilden Vektoren: x =(∀ x, x ′ ∈ R 3 )(∃! x + x ′ ∈ R 3 )(∀ x ∈ R 3 , α ∈ R)(∃! αx ∈ R 3 )(x, x ′ ) ≡ x 1 x ′ 1 + x 2 x ′ 2 + x 3 x ′ 3 = x · x ′Çx1åx 2 ∈ R 3x 3|x − x ′ | ≡ √ (x − x ′ , x − x ′ ) = √ (x 1 − x ′ 1 )2 + (x 2 − x ′ 2 )2 + (x 3 − x ′ 3 )2Fazit: Ortsraum der Physik = 3-dimensionaler euklidischer Vektorraum(Euklidischer Vektorraum = reeller Vektorraum + reelles Skalarprodukt)

Mathematischer Vorkurs3.2 Vektoren und VektorräumeDie (plausiblen) Eigenschaften eines Vektorraums3.2 Vektoren und VektorräumeAxiome desß reellen Vektorraumslinearen Raums: ∀a, b, c ∈ V , ∀α, β ∈ R∃! a + b ∈ V ∃! αa ∈ Va + (b + c) = (a + b) + ca + b = b + a(∃x ∈ V ) (a + x = b)1a = a(βα)a = β(αa)α(a + b) = αa + αb(α + β)a = αa + βaGeometrische Interpretation:Abgeschlossenheit des VektorraumsaOa + bbMathematischer Vorkurs3.3 Das SkalarproduktAxiome und Eigenschaften des SkalarproduktsDas Skalarprodukt (a, b)Axiome des reellen Skalarprodukts:∀a, b, c ∈ V , ∀α ∈ R(a + b, c) = (a, c) + (b, c) (αa, b) = α(a, b)(a, b) = (b, a) (∀a ≠ 0) [ (a, a) > 0 ]Definition der Länge eines Vektors: |a| ≡ √ (a, a)|a| ≥ 0 |a| = 0 ⇔ a = 0|αa| = |α| |a||a + b| ≤ |a| + |b|Zerlegung des Vektors b: (für festes a) [mit (a, b ⊥ ) = 0]b = b ‖ + b ⊥ ; b ‖ ≡Schwarz’sche Ungleichung:∣ 0 ≤ |b ⊥ | 2 =(b, a) ∣∣∣2∣b −(a, a) aBeweis der Dreiecksungleichung:(b, a)(a, a) a , b ⊥ = b − b ‖ = b −|(a, b)| ≤ |a| |b|= |b| 2 (a, b)2− 2 +|a| 2(a, b)2|a| 2|a + b| ≤ |a| + |b|= |b| 2 −(b, a)(a, a) a|(a, b)|2|a| 2(|a| + |b|) 2 − |a + b| 2 = 2[|a| |b| − (a, b)] ≥ 2[|a| |b| − |(a, b)|] ≥ 0

Mathematischer Vorkurs3.3 Das SkalarproduktGeometrische InterpretationDas Skalarprodukt (a, b)Geometrische Interpretation:◮ b ‖ ist die Projektion von b auf a :(b, a)b ‖ =(a, a) a = b a‖|a| = b ‖â mit b ‖ ≡(b, a)|a|◮ des Skalarprodukts: [ für festes a ; (a, b ⊥ ) = 0 ]⇒|b ‖ | 2 = b 2 ‖(a, b) = |a| b ‖ = |a| |b| b ‖= |a| |b| cos(ϕ) , ϕ ≡ ∠(a, b)|b|Konsequenz: (a + b) 2 = |a| 2 + |b| 2 + 2|a| |b| cos(ϕ) (Kosinussatz)◮ der Schwarz’schen Ungleichung:|(a, b)|1 ≥ = | cos(ϕ)||a| |b|◮ der Dreiecksungleichung:Anwendung:|a + b| ≤ |a| + |b|z.B. Leistung = ArbeitZeitObϕb ‖b ⊥= Kraft×WegZeitaa + bb= |F ‖ | |v| = |(F, v)|Mathematischer Vorkurs3.3 Das SkalarproduktDer Ortsraum der Physik . . . etwas allgemeinerDer Ortsraum der Physik . . . etwas allgemeinerê 3Ortsraum = euklidischer Vektorraum E 3E 3 enthält:◮ einen Ursprung OX◮ Ortsvektoren: OX = ξ , OY = η , · · ·ξ − η◮ ein reelles Skalarprodukt (ξ, η)ξ◮ eine Metrikê 2 Y|ξ − η| = (ξ − η, ξ − η) 1/2 ≥ 0ηO êMöglichkeit, keine Notwendigkeit:1◮ Wähle ê 1 , ê 2 , ê 3 mit (ê l , ê m ) = δ lm◮ Definiere: ξ ≡ x 1 ê 1 + x 2 ê 2 + x 3 ê 3η ≡ y 1 ê 1 + y 2 ê 2 + y 3 êÇ å 3x1Ortsraum E 3 ◮ Koordinaten: x = x 2 ∈ R 3x 3◮ (ξ, η) = x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3 ≡ x · y

Mathematischer Vorkurs3.4 Das Vektor- oder KreuzproduktDefinition & physikalische AnwendungenDas Vektorprodukt (d = 3)Definition des Vektorprodukts: (nur für d = 3)a × b ≡ |a| |b| sin(ϕ)û (0 ≤ ϕ ≤ π)mit:a × b◮ |û| = 1 , û ⊥ a , û ⊥ b◮ (a, b, û) RechtssystemSpezialfall: a × (λa) = 0 [sin(ϕ) = 0]Wichtige Anwendungen:◮ der Drehimpuls L = x × p◮ das Drehmoment N = x × F(Ausblick)aûOϕb◮ die Lorentz-Kraft F Lor = q(E + ẋ × B)Mathematischer Vorkurs3.4 Das Vektor- oder KreuzproduktGeometrische BedeutungDas VektorproduktDefinition des Vektorprodukts: (nur für d = 3)a × b ≡ |a| |b| sin(ϕ)û (0 ≤ ϕ ≤ π)Geometrische Bedeutung:|a × b| =denn:Å Fläche des Parallelogramms,aufgespannt durch a & bãbb + λa|a × b| = |a| |b| sin(ϕ) = |a| |b ⊥ |Å ãFläche des Parallelogramms,=aufgespannt durch a & bKonsequenz: (∀λ ∈ R)b ⊥Oϕλaaa × b + a × (λa) = a × (b + λa) = a × b

Mathematischer Vorkurs3.4 Das Vektor- oder KreuzproduktEigenschaften des VektorproduktsDas VektorproduktVektorprodukt: a × b ≡ |a| |b| sin(ϕ)û (0 ≤ ϕ ≤ π)Eigenschaften des Vektorprodukts:◮ a × b = −b × a (Antikommutativität: a × a = 0)◮ a × (b + c) = a × b + a × c (Distributivität) Distributivität◮ (λa) × b = λ(a × b) , a × (λb) = λ(a × b) [(Bi)linearität]◮ a ≠ 0 , b ≠ 0 : a × b = 0 ⇔ sin(ϕ) = 0 ⇔ a ‖ b◮ Vektorprodukte von Basisvektoren:ê 1 × ê 2 = ê 3 , ê 2 × ê 1 = −ê 3ê 2 × ê 3 = ê 1 , ê 3 × ê 2 = −ê 1Zusammenfassend:ê 3 × ê 1 = ê 2 , ê 1 × ê 3 = −ê 2∑ê i × ê j = ε ijk ê k (i, j ∈ {1, 2, 3})mitk=1,2,3ε 123 = 1 = ε 231 = ε 312 ε 132 = −1 = ε 321 = ε 213ε ijj = 0 (i, j ∈ {1, 2, 3}) ε iii = 0 (i ∈ {1, 2, 3})Daher:(a × b) i = (a × b) · ê i = [( ∑j a )jê j ×(∑k b )]kê k · êi = ∑ jk ε ijk a j b kMathematischer Vorkurs3.4 Das Vektor- oder KreuzproduktDas Vektorprodukt und der SinussatzDas Vektorprodukt und der SinussatzEigenschaften des Vektorprodukts: (Fortsetzung)◮ Komponentendarstellung des Vektorprodukts: (a × b) i = ∑ jk ε ijk a j b k( ) ( )∑ ∑a2 b 3 − a 3 b 2 a2 b 3 − a 3 b 2a×b = (a×b) i ê i = ε ijk a j b k ê i = a 3 b 1 − a 1 b 3 = −(a 1 b 3 − a 3 b 1 )a 1 b 2 − a 2 b 1 a 1 b 2 − a 2 b 1iVektorprodukt → einfache Herleitung des Sinussatzes:Daher:ijka × (b + λa) = a × b (∀λ ∈ R)a × c = a × (c − a) = a × b = (c − b) × b = c × bKonsequenz: (Sinussatz)|a × c| = |a × b| = |c × b||a| |c| sin(β) = |a| |b| sin(γ) = |c| |b| sin(α)a + b = cαbsin(β)|b|= sin(γ)|c|= sin(α)|a|Oβaγ

Mathematischer Vorkurs3.4 Das Vektor- oder KreuzproduktDas Vektorprodukt und 2 × 2-DeterminantenDas Vektorprodukt und 2 × 2-DeterminantenKomponentendarstellung des Vektorprodukts:(∑a2 b 3 − a 3 b 2a × b =ijkε ijk a j b k ê i =)a 3 b 1 − a 1 b 3a 1 b 2 − a 2 b 1=( )a2 b 3 − a 3 b 2−(a 1 b 3 − a 3 b 1 )a 1 b 2 − a 2 b 1= (a 2 b 3 − a 3 b 2 )ê 1 − (a 1 b 3 − a 3 b 1 )ê 2 + (a 1 b 2 − a 2 b 1 )ê 3Å ã Å ã Å ã! a2 b 2a1 b 1a1 b 1= det êa 3 b 1 − det ê3 a 3 b 2 + det ê3 a 2 b 3ï2Å ãòa1 bBedeutung einer 2 × 2-Determinante?1z.B. von detÇ å Ç åa 2 b 2a1b1)Wähle: a = a 2 , b = b 2 , det(a1 b 1êa002 b 3 = a × b2Geometrische Bedeutung: (a, b in ê 1 -ê 2 -Ebene)Å ã∣ ∣ det a1 b 1 ∣∣∣= |a × b|a 2 b 2=Å Fläche des Parallelogramms,aufgespannt durch a & bã(b1Ob 2)(a1a 2)Mathematischer Vorkurs3.4 Das Vektor- oder KreuzproduktDas Vektorprodukt und 2 × 2-DeterminantenEigenschaften einer 2 × 2-DeterminanteDefinition einer 2 × 2-Determinante:Å ãa1 b 1det = ab 1 b 2 − a 2 b 12Eigenschaften der 2 × 2-Determinante:a 2◮ Antisymmetrisch unter Vertauschung von Spalten:Å ãÅ ãa1 b 1b1 a 1det = ab 1 b 2 − a 2 b 1 = −(b 1 a 2 − b 2 a 1 ) = −det2 a 2a 2◮ Antisymmetrisch unter Vertauschung von Zeilen:Å ãÅ ãa1 b 1a2 b 2det = ab 1 b 2 − a 2 b 1 = −(a 2 b 1 − a 1 b 2 ) = −det2 b 1a 2◮ Linear: (genauer: bilinear)Å ãÅ ããλa1 + µā 1 b 1a1 b 1Åā1 b 1det= · · · · · · = λ det + µ detλa 2 + µā 2 b 2 a 2 b 2 ā 2 b 2ãa1 λa◮ Für linear abhängige Vektoren: detÅ1= aa 2 λa 1 (λa 2 ) − a 2 (λa 1 ) = 02b 2a 1

Mathematischer Vorkurs3.5 Das SpatproduktDefinition & geometrische BedeutungDas SpatproduktDefinition des Spatprodukts s(a, b, c) :s ≡ a·(b × c) ï Åb2≡ (a 1 ê 1 + a 2 ê 2 + a 3 ê 3 )· detb 3ãc 2c 3Å ã Åb2 c 2b1= a 1 det − ab 3 c 2 det3 b 3ãc 1c 3Geometrische Bedeutung:s = a·(b × c) = Vol(a, b, c)Å ãorientiertes Volumen des≡Parallelepipeds a, b, c. . . denn: [ mit |a·û| = a ⊥ ]|Vol(a, b, c)| = |a·û| |b × c|= |a·(b × c)| = |s|ÇÅb1 c 1ê 1 − detb 3Å ãb1 c 1+ a 3 detb 2 c 2a ⊥ûOa ‖acAnwendungen:Festkörperphysik,Elektrodynamik, . . .åã Å ã òb1 c 1êc 2 + det ê3 b 2 c 32( )a1 b 1 c 1= det a 2 b 2 c 2a 3 b 3 c 3bMathematischer Vorkurs3.5 Das SpatproduktDas Spatprodukt und 3 × 3-DeterminantenDas Spatprodukt und 3 × 3-DeterminantenSpatprodukt s(a, b, c) :s = a·(b × c) = detEigenschaften des Spatprodukts:◮ Zyklische Vertauschbarkeit:◮a·(b × c) = b·(c × a) = c·(a × b)Äquivalenz:(a1 b 1 c 1a·(b × c) = 0 ⇔ a, b, c koplanar)a 2 b 2 c 2 = Vol(a, b, c)a 3 b 3 c 3Eigenschaften der 3 × 3-Determinante:◮ Antisymmetrisch unter Vertauschung von Spalten◮ Antisymmetrisch unter Vertauschung von Zeilen◮ (Tri)linearitäta ⊥◮ Für linear abhängige Vektoren: det(· · · ) = 0ûOa ‖acb

Mathematischer Vorkurs3.6 Einfache lineare GleichungssystemeLineare Gleichungssysteme in 1 & 2 Variablen3.6 Einfache lineare GleichungssystemeLineare Gleichung für eine einzelne Variable:a 11 x 1 = b 1 ⇒ x 1 = b 1 /a 11 (falls a 11 ≠ 0)Zwei lineare Gleichungen für zwei Variable:( )x1⇒ Lösung:x( )2a11 aGeschicktere Notation:12≡ A , aa 21 a 11 a 22 − a 12 a 21 ≡ det(A)22( ) ( ) ( ) ( )x1 b1 x1A = ⇒ = Ax 2 b 2 x −1 b1, A2 b −1 = 12 det(A)}a 11 x 1 + a 12 x 2 = b 1a 21 x 1 + a 22 x 2 = b 2( )= (a 11 a 22 − a 12 a 21 ) −1 a22 b 1 − a 12 b 2−a 21 b 1 + a 11 b 2( )a22 −a 12−a 21 a 11Achtung: [ Daher kompakte Notation: A = (a 1 , a 2 ) ]◮ Gleichungssystem nur dann lösbar, falls( )det(A) ≠ 0(!)◮ a11a12Geometrische Interpretation: a 1 ≡ und aa 2 ≡ nicht parallel!21 a 22 Å ãWesentliche Eigenschaft der Inversen A −1 : A −1 A = AA −1 ! 1 0 = ≡ 110 1Å ã Å ãò Å ã Å ã Å ã Å ãdamit: A −1 b1= AïA−1 x1= (A −1 x1 != 1 0 x1 x1A)=b 2 x 2 x 2 0 1 x 2 x 2Mathematischer Vorkurs3.6 Einfache lineare GleichungssystemeMatrixmultiplikationMatrixmultiplikationZwei lineare Gleichungen für zwei Variable:( )a11 x 1 + a 12 x 2a 21 x 1 + a 22 x(2)x1Weitere Annahme:x( ) ( ) 2x1 b11 y= 1 + b 12 y 2x 2 b 21 y 1 + b 22 y 2= A(x1x 2)=(b1b 2)linear von(y1y 2)abhängig!( ) ( )b11 b= 12 y1b 21 b 22 y 2( )a11 a, A ≡ 12a 21 a 22≡ B(y1y 2)( )b11 b, B ≡ 12b 21 b 22Definition des Matrixproduktes AB :( )y1 !≡( ) [ ( )] ( ) [x1y1 b11 y(AB) A = A B = A 1 + b 12 y 2gilt für alley 2 x 2 y 2 b 21 y 1 + b 22 y 2( )a11 (b= 11 y 1 + b 12 y 2 ) + a 12 (b 21 y 1 + b 22 y 2 )a 21 (b 11 y 1 + b 12 y 2 ) + a 22 (b 21 y 1 + b 22 y 2 )(y1y 2)])( )=(a11 b 11 + a 12 b 21 a 11 b 12 + a 12 b 22 y1a 21 b 11 + a 22 b 21 a 21 b 12 + a 22 b 22 y 2Resultat für Matrixprodukt AB : (i, j = 1, 2)( )a11 bAB = 11 + a 12 b 21 a 11 b 12 + a 12 b 22!∑, (AB)a 21 b 11 + a 22 b 21 a 21 b 12 + a 22 b ij = a i1 b 1j +a i2 b 2j = a ik b kj22Beispiel: ( ) ( )1 2 5 63 4 7 8=( 1 · 5 + 2 · 7)1 · 6 + 2 · 83 · 5 + 4 · 7 3 · 6 + 4 · 8=( 19) 2243 50k=1,2

Mathematischer Vorkurs3.6 Einfache lineare GleichungssystemeDie Inverse MatrixDie Inverse MatrixResultat für Matrixprodukt AB : (i, j = 1, 2)( )a11 bAB = 11 + a 12 b 21 a 11 b 12 + a 12 b 22a 21 b 11 + a 22 b 21 a 21 b 12 + a 22 b 22Die Inverse Matrix A −1 :( )a11 aA = 12a 21 a 22, A −1 = 1det(A)Berechnung der Produkte A −1 A und AA −1 :A −1 A = 1 ( ) ( )a22 −a 12 a11 a 12det(A) −a 21 a 11 a 21 a 22AA −1 = 1det(A)( ) ( )a11 a 12 a22 −a 12a 21 a 22 −a 21 a 11( )a22 −a 12−a 21 a 11= 1det(A)= 1det(A), (AB) ij =∑k=1,2a ik b kj, A −1 A = AA −1 ! = 11[a 11 a 22 − a 12 a 21 = det(A)]( ) ( det(A) 0 1 0=0 det(A) 0 1( ) ( det(A) 0 1 0=0 det(A) 0 1Beispiel einer inversen Matrix A −1 : [det(A) = 1 · 4 − 2 · 3 = −2]( ) 1 2A =, A3 4−1 = 1 ( ) ( )4 −2 −2 1=det(A) −3 1Bedeutung der Spalten einer Matrix:( ) ( ( )a11 aA = 121 a11⇒ A =a 21 a 22 0)a 21, A32− 1 2(Matrix = lineare Abbildung!)( 01)=(a12a 22), A( λµ)))( ) ( )a11 a12= λ +µa 21 a 22Mathematischer Vorkurs3.6 Einfache lineare GleichungssystemeDie Inverse MatrixSpezialfall der 2 × 2-Matrix:DrehungenDrehungen als Spezialfall: [ det(A) = a 11 a 22 − a 12 a 21 = cos 2 (ϕ) + sin 2 (ϕ) = 1 ]( )cos(ϕ) − sin(ϕ)A =, Asin(ϕ) cos(ϕ)−1 = 1 ( ) ( )cos(ϕ) sin(ϕ) cos(ϕ) sin(ϕ)=det(A) − sin(ϕ) cos(ϕ) − sin(ϕ) cos(ϕ)Kurzgefaßt:x 2( )cos(ϕ) − sin(ϕ)A(ϕ) =, Asin(ϕ) cos(ϕ)−1 (ϕ) = A(−ϕ)ê 2sin(ϕ) Aê 1In Worten:Aê 2ϕDie Inverse einer Drehungê 1ist . . . eine Rückdrehung 0 cos(ϕ) x 1Drei lineare Gleichungen für drei Variable:´a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 = b 1a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 = b 2a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x 3 = b 3⇔Ça11 a 12 a 13å Çx1a 21 a 22 a 23 x 2a 31 a 32 a 33x 3å=Çb1åb 2b 3Kompakte Notation:A = (a 1 , a 2 , a 3 ) (a i = i-ter Spaltenvektor von A)(Lösung?)⇔Ax = b

Mathematischer Vorkurs3.6 Einfache lineare GleichungssystemeLineare Gleichungssysteme in 3 VariablenEinfache lineare GleichungssystemeDrei lineare Gleichungen für drei Variable: [Notation: A = (a 1 , a 2 , a 3 )]Ça11 a 12 a 13åÇx1a 21 a 22 a 23 x 2a 31 a 32 a 33x 3å=Çb1åb 2b 3⇔ b = Ax = (a 1 , a 2 , a 3 )x = a 1 x 1 +a 2 x 2 +a 3 x 3Lösungsmethode: [ Spatprodukt: (a 1 × a 2 ) · a 3 = det(a 1 , a 2 , a 3 ) = det(A) ](b × a 2 ) · a 3 = [(a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 ) × a 2 ] · a 3= x 1 (a 1 × a 2 ) · a 3 + x 3 (a 3 × a 2 ) · a 3 = x 1 (a 1 × a 2 ) · a 3! = x1 det(A)(b × a 3 ) · a 1 = [(a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 ) × a 3 ] · a 1= x 1 (a 1 × a 3 ) · a 1 + x 2 (a 2 × a 3 ) · a 1 = x 2 (a 2 × a 3 ) · a 1! = x2 det(A)(b × a 1 ) · a 2 = [(a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 ) × a 1 ] · a 2!= x 2 (a 2 × a 1 ) · a 2 + x 3 (a 3 × a 1 ) · a 2 = x 3 (a 3 × a 1 ) · a 2 = x3 det(A)Daher Lösung:Ç å Ç å Ç åx1(b ×x = x 2 = 1 a2 ) · a 3det(b,(b × a 3 ) · a 1 = 1a2 , a 3 )det(a 1 , b, a 3 )xdet(A)3 (b × a 1 ) · adet(A)2 det(a 1 , a 2 , b)◮ Gleichungssystem nur dann lösbar, falls det(A) ≠ 0 !◮ Geometrische Interpretation: a 1 , a 2 , a 2 linear unabhängig!Mathematischer Vorkurs3.6 Einfache lineare GleichungssystemeDie Inverse einer 3 × 3-MatrixEinfache lineare GleichungssystemeDrei lineare Gleichungen für drei Variable:Ax =Lösung:Ça11 a 12 a 13åÇx1a 21 a 22 a 23 x 2a 31 a 32 a 33x =Çx1åx 2 = 1xdet(A)3x 3å=Çb1Ç (b × a2 ) · a 3åb 2 = b ⇔ x = A −1 b [det(A) ≠ 0]b 3å(b × a 3 ) · a 1(b × a 1 ) · a 2= 1det(A)Ç å(a2 × a 3 ) · b(a 3 × a 1 ) · b(a 1 × a 2 ) · bNotation: [ Spaltenvektoren a j , Zeilenvektoren α i (i, j = 1, 2, 3) ]éa j ≡Ça1jåa 2ja 3j, (a 1 , a 2 , a 3 ) = A =ÑαT1α T 2α T 3, α i ≡Çai1åa i2a i3Ein Vergleich liefert für die inverse Matrix A −1 :åA −1 b = 1det(A)Ç (a2 × a 3 ) · b(a 3 × a 1 ) · b(a 1 × a 2 ) · b, A −1 = 1det(A), α T i = (a i1 a i2 a i3 )Ñ(a2 × a 3 ) Té(a 3 × a 1 ) T(a 1 × a 2 ) TDrehungen

Mathematischer Vorkurs3.8 Die Drehgruppe, ein KompendiumDie Definition einer ”Drehung“3.8 Die Drehgruppe, ein KompendiumDefinition:In Worten:( 1 0) 0det(R) = 1 , R T R = 11 3×3 ≡ 0 1 00 0 1(lineare homogene)Drehung = orthogonale Transformationmit der Determinante EinsParametrisierung von Drehungen:◮ Drehung definiert durch Drehwinkel α ≡ |α| und Drehrichtung ˆα ≡ α/α◮ Drehrichtung ˆα durch zwei Winkel festgelegt:( )cos(ϕ) sin(ϑ)ˆα = sin(ϕ) sin(ϑ)cos(ϑ), 0 ≤ ϑ ≤ π , 0 ≤ ϕ < 2π◮ Daher insgesamt: [Korrespondenz: (α, ϑ, ϕ) ↔ (−α, π − ϑ, ϕ ± π)]Drehvektor α = α ˆα mit −π < α ≤ π durch drei Winkel (α, ϑ, ϕ) bestimmtMathematischer Vorkurs3.8 Die Drehgruppe, ein KompendiumParametrisierung von DrehungenParametrisierung von Drehungen| ˆα×x|xˆα·xαψ0αˆα| ˆα×x|R(α)xˆα×x| ˆα×x|| ˆα×x| sin(α)Identität:(s. Übung)x = ˆα( ˆα · x) − ˆα × ( ˆα × x)ˆα =Å ãcos(ϕ) sin(ϑ)sin(ϕ) sin(ϑ)cos(ϑ)Drehung von x um Winkel α um ˆα-Richtung:R(α)x = ˆα( ˆα·x)− ˆα×( ˆα×x) cos(α)+( ˆα×x) sin(α)Matrixdarstellung von R(α) möglich:(s. Übung)R ij (α) = δ ij cos(α)+ˆα i ˆα j [1−cos(α)]−ε ijk ˆα k sin(α)−ˆα×( ˆα×x)| ˆα×x|| ˆα×x| cos(α)Parametrisierung von Drehungen[ mit (a × b) i = ε ijk a j b k ]Einfaches Beispiel:Rotation um Winkel α um x 3 -Achse:Ç cos(α) − sin(α) 0R(αê 3 ) = sin(α) cos(α) 00 0 1åKapitel 4

Mathematischer VorkursKapitel 4: Reellwertige Funktionen◮ 4.1 Reellwertige Funktionen - eine Einführung◮ 4.2 Exponentialfunktionen & Logarithmen◮ 4.3 Asymptotisches VerhaltenInhaltsverzeichnis4.1Mathematischer Vorkurs4.1 Reellwertige Funktionen - eine EinführungFunktionen und Umkehrfunktionen4.1 Reellwertige Funktionen - eine EinführungEine (reellwertige) Funktion (reeller Variabler) ist . . .:[. . . eine Abbildung von reellen Zahlen auf reelle Zahlenf : R → R, oderf : D → W (D, W ⊂ R)]f (x)y maxy = xf −1 (y)x minx maxxx = yx minx maxy maxyy miny minUmkehrfunktion von f : [ mit f (x) ≡ y , g(y) = x ](g ◦f )(x) ≡ g(f (x)) = x ⇔ g = f −1 ⇔ (f ◦g)(y) ≡ f (g(y)) = y

Mathematischer Vorkurs4.1 Reellwertige Funktionen - eine EinführungElementare BeispieleFunktionen - elementare BeispieleEine (reellwertige) Funktion (reeller Variabler) ist . . .:[. . . eine Abbildung von reellen Zahlen auf reelle Zahlenf : R → R, oderf : D → W (D, W ⊂ R)]f (x)f −1 (y)3.0y = x3.0x = y2.52.0f (x) = 1 12 x32.52.01.51.5f −1 (y) = 3√ 12y1.01.00.5x0.5y.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5Umkehrfunktion von f : [ mit f (x) ≡ y , g(y) = x ](g ◦f )(x) ≡ g(f (x)) = x ⇔ g = f −1 ⇔ (f ◦g)(y) ≡ f (g(y)) = yMathematischer Vorkurs4.1 Reellwertige Funktionen - eine EinführungDefinitions- und WertebereicheDefinitions- und WertebereicheEine (reellwertige) Funktion (reeller Variabler) ist:eine Abbildung von reellen Zahlen auf reelle Zahlen [f : D → W (D, W ⊂ R)]f (x) ≡ y D W f −1 (y) = xx 2n+1 (n ∈ N 0 ) (−∞, ∞) (−∞, ∞) y 1/(2n+1)x 2n (n ∈ N) [0, ∞) [0, ∞) y 1/(2n)x α (α ∈ R + ) [0, ∞) [0, ∞) y 1/αe x (−∞, ∞) (0, ∞) ln(y)sin(x)[ −π]π2 2[−1, 1] arcsin(y)cos(x) [0, π] [−1, 1] arccos(y)tan(x)( −π)π2 2(−∞, ∞) arctan(y)cotan(x) (0, π) (−∞, ∞) arccot(y)

Mathematischer Vorkurs4.1 Reellwertige Funktionen - eine EinführungAbleitungen von FunktionenAbleitungen von FunktionenAbleitung einer Funktion f :f (a + h) = f (a) + hf ′ (a) + · · · (h → 0) , f ′ (a) ≡ limh→0f (x)f ′ (x)f (a + h) − f (a)h3.02.52.01.51.00.50.00f (x) = 1 12 x3 f (a + h)f (a)f (a).5 1 1.5 2 2.5 3 3.5Ableitung von 1/f :ï( 1f) ′1(a) = limh→0 hhx1f (a + h) − 1f (a)ò3.02.52.01.51.00.50.00f ′ (x) = 1 4 x2.5 1 1.5 2 2.5 3 3.51[f (a) − f (a + h)]h= limh→0 f (a + h)f (a)↑= − f ′ (a)f (a) 2xMathematischer Vorkurs4.1 Reellwertige Funktionen - eine EinführungBeispiele von Ableitungen und UmkehrfunktionenBeispiele von Ableitungen und Umkehrfunktionenf (x) ≡ y f ′ (x) f −1 (y) = xx 1 yx n (n ∈ N 0 ) nx n−1 √ Å ãn n ≠ 0y = y 1/n y ≥ 0Å ã α ∈ Rαx α−1 y 1/α (α ≠ 0)x > 0x αe λx λe λx λ −1 ln(y)ln(x) 1/x e ysin(x) cos(x) arcsin(y)cos(x) − sin(x) arccos(y)tan(x) 1/[cos(x)] 2 arctan(y)cotan(x) −1/[sin(x)] 2 arccot(y)

Mathematischer Vorkurs4.1 Reellwertige Funktionen - eine EinführungEigenschaften von AbleitungenEigenschaften von AbleitungenAbleitung einer Funktion:f (a + h) = f (a) + hf ′ (a) + · · · (h → 0) , f ′ (a) ≡ limh→0Berechnung der Ableitung:◮ einer Summe: (f + g) ′ = f ′ + g ′◮ eines Vielfaches: (αf ) ′ = αf ′ (α ∈ R)f (a + h) − f (a)◮ eines Produktes: (fg) ′ = f ′ g + fg ′ (Produktregel) , denn(fg) ′ [f (a + h) − f (a)]g(a + h) + f (a)[g(a + h) − g(a)](a) = lim= (f ′ g+fg ′ )(a)h→0 h) ′= f ′ /g − fg ′ /g 2◮ eines Quotienten: (f /g) ′ = ( )f 1 ′= f ′ 1 + f ( 1g g g◮ einer Verkettung:(g ◦f )(x) ≡ g (f (x)) ⇒ (g ◦f ) ′ (x) = g ′ (f (x)) f ′ (x) (Kettenregel). . . denn:(g ◦f ) ′ 11(x) = lim [(g ◦f )(x + h) − (g ◦f )(x)] = lim [g(f (x + h)) − g(f (x))]h→0 h h→0 h= limh→0h −1 [ g(f (x) + hf ′ (x)) − g(f (x)) ]{[ ] }= lim h −1 g(f (x)) + hg ′ (f (x))f ′ (x) − g(f (x)) = g ′ (f (x))f ′ (x)h→0hMathematischer Vorkurs4.1 Reellwertige Funktionen - eine EinführungAnwendungen der Produkt- und der KettenregelAnwendungen der Produkt- und der KettenregelProduktregel: (fg) ′ = f ′ g + fg ′Beispiel: f (x) = x 2 + 3x , g(x) = sin(x) , (fg)(x) = (x 2 + 3x) sin(x)f ′ (x) = 2x + 3g ′ ⇒ (fg) ′ (x) = (2x + 3) sin(x) + (x 2 + 3x) cos(x)(x) = cos(x)Kettenregel: [insbesondere für (g ◦f )(x) = x](g ◦f ) ′ (x) = g ′ (f (x)) f ′ (x) ; (g ◦f )(x) = x ⇒ g ′ (f (x)) = 1f ′ (x)Beispiele:◮ f (x) = x 2 + 3x , g(y)= sin(y) , (g ◦f )(x) = sin(x 2 + 3x)f ′ (x) = 2x + 3g ′ ⇒ (g ◦f ) ′ (x) = (2x + 3) cos(x 2 + 3x)(y) = cos(y)◮ f (x) = sin(x) , g(y) = arcsin(y) , (g ◦f )(x) = xg ′ (f (x)) = 1f ′ (x) = 1cos(x) = 1√ , g ′ (y) =1 − [f (x)]2( −π2 < x < π 2)1√1 − y2◮ Analog: f (x) = cos(x) , g(y) = arccos(y) ⇒ g ′ (y) = − √11−y 2◮ Analog: f (x) = tan(x) , g(y) = arctan(y) ⇒ g ′ (y) = 11+y 2

Mathematischer Vorkurs4.1 Reellwertige Funktionen - eine EinführungKurvendiskussionKurvendiskussion (Annahme: f hinreichend oft differenzierbar in x)Einfachster Fall: Für f ′′ (x) ≠ 0 giltf ′ (x) = 0 ∧ f ′′ (x) > 0 ⇔ f hat Minimum in xf ′ (x) = 0 ∧ f ′′ (x) < 0 ⇔ f hat Maximum in xAllgemeiner: Für f (2n) (x) ≠ 0 giltf (m) (x) = 0 (∀m < 2n) ∧ f (2n) (x) > 0 ⇔ f hat Minimum in xf (m) (x) = 0 (∀m < 2n) ∧ f (2n) (x) < 0 ⇔ f hat Maximum in xf (x)Bedeutung eines ”Wendepunktes“?MaxWendepunkt“ ≡ Maximum oder”Minimum von f ′ in xWendepunktMinxBeispiel: f (x) = cos(x) für x = π 2Ein Spezialfall des Wendepunktes ist:der ”Sattelpunkt“ ≡ Wendepunktmit f ′ (x) = 0Beispiel: f (x) = 1 3 x 3 für x = 0Mathematischer Vorkurs4.2 Exponentialfunktionen & LogarithmenBeziehung zwischen Exponentialfunktion & Logarithmus4.2 Exponentialfunktionen & LogarithmenDefinition/Eigenschaften des Logarithmus:ln(y) ≡∫ y1dx 1 xmitß ln(ab) = ln(a) + ln(b)ln(a β ) = β ln(a)Definition/Eigenschaften der Exponentialfunktion:exp(z)∫exp ≡ ln −1 , z = ln(exp(z)) =1dx 1 xmitDefinition: ln(e) ≡ 1 , e = exp(1) ⇒Ableitungen:ln ′ (y) = 1 yDetailsß exp(a + b) = exp(a) exp(b)exp(ab) = [exp(a)] b = [exp(b)] aß e a+b = e a e be ab = (e a ) b = ( e b) a⇒ exp ′ (ln(y)) = 1ln ′ (y) = y = exp (ln(y)) ⇒ exp′ = expNotation: (e z ) ′ = e z ⇒ f (z) = e z Lösung von f ′ = f

Mathematischer Vorkurs4.2 Exponentialfunktionen & LogarithmenBeziehung zwischen Exponentialfunktion & LogarithmusExponentialfunktionen & LogarithmenVerallgemeinerung von exp = ln −1 :a exp = ( a log) −1◮ Definiere:a exp(x) ≡ a x = [ e ln(a)] x= ex ln(a)◮ Ableitung: (a x ) ′ = ln(a) e x ln(a) = ln(a)a x◮ Konsequenz: f (x) = a x Lösung von f ′ = ln(a)f◮ Inverse von a exp(x) :ln[ a exp(x)]ln(a)= x ln(a)ln(a) = x ⇒ a log ≡ ( a exp) −1 = 1ln(a) lnAlternative Definition von e: Betrachte f (x) = e x mit f ′ (x) = e x ⇒1 = f ′ (0) = limx→0Konsequenz:e x − 1x1 = limx→0Verallgemeinerung:1x⇒e a = lim (1 + x) a/x = limx→0n→∞e = lim (1 + x) 1/x = limx→0n→∞)ln (1 + x) = limn→∞(n ln 1 + 1 nÄ1 + a nä n, a = limn→∞(1 + 1 n) nÄn ln 1 + a änMathematischer Vorkurs4.2 Exponentialfunktionen & Logarithmen(Inverse) Hyperbolische Funktionen(Inverse) Hyperbolische FunktionenHyperbolische“ Funktionen:”cosh(x) ≡ 1 2 (ex + e −x ) , cosh ′ = sinhsinh(x) ≡ 1 2 (ex − e −x ) , sinh ′ = coshtanh(x) ≡ sinh(x)cosh(x) = ex − e −xe x + e −x , tanh ′ =1(cosh) 2Inverse hyperbolische Funktionen:Ä √ äarcosh ≡ cosh −1 , arcosh(y) = ln y + y 2 − 1Ä √ äarsinh ≡ sinh −1 , arsinh(y) = ln y + y 2 + 1artanh ≡ tanh −1 , artanh(y) = 1 ( ) 1 + y2 ln 1 − yÜbung

Mathematischer Vorkurs4.2 Exponentialfunktionen & Logarithmen(Inverse) Hyperbolische FunktionenWarum ”hyperbolicus“? Warum ”area“?x 2at0 ax 1x 2a 0ax 1Kreisgleichung: (x 1 ) 2 + (x 2 ) 2 = a 2Parameterdarstellung:x 1 = a cos(t) , x 2 = a sin(t)t = arccos(x 1 /a) = arcsin(x 2 /a)mit: cos 2 (t) + sin 2 (t) = 1Hyperbelgleichung: (x 1 ) 2 − (x 2 ) 2 = a 2Parameterdarstellung des rechten Astes:x 1 = a cosh(t) , x 2 = a sinh(t)t = arcosh(x 1 /a) = arsinh(x 2 /a)mit: cosh 2 (t) − sinh 2 (t) = 1Geometrische Interpretation von t: Geometrische Interpretation von t:◮ t = Winkel = 1 × Bogenlänge◮a t ≠ Winkel, 1 × Bogenlänge◮1 a2 a2 t = überstrichene Fläche◮ 1 2 a2 t = überstrichene Fläche F !∫ t∫ tF/a 2 = 1 sinh(t) cosh(t)− d[cosh(t ′ )] sinh(t ′ ) = 1 sinh(2t)− dt ′ sinh 2 (t ′ ) = ! 1 t2 4 200Mathematischer Vorkurs4.2 Exponentialfunktionen & Logarithmen(Inverse) Trigonometrische Funktionen(Inverse) Trigonometrische FunktionenExponentialfunktion e xi : i 2 ≡ −1 , e xi ≡ lim(|e xi | 2 = e xi (e xi ) ∗ = lim 1 + xi ) n (1 − xi ) n= limn→∞ n n n→∞= limn→∞Åã n ï1 + x21n 2 = lim expn→∞ n n2 lnTrigonometrische Funktionen:Å1 + x2n 2 ãòn→∞[(1 + xin( ) 1 +xi nmit:n) (1 − xi )] n= lim expn→∞nÅx2cos(x) ≡ 1 2 (exi + e −xi ) = Re(e xi ) = cosh(xi) , cos ′ = − sinsin(x) ≡ 1 2i (exi − e −xi ) = Im(e xi ) = 1 isinh(xi) , sin ′ = costan(x) ≡ sin(x)cos(x) =exi − e −xiInverse trigonometrische Funktionen:i(e xi + e −xi ) = 1 itanh(xi) , tan ′ = 1(cos) 2Ääarccos ≡ cos −1 , arccos(y) = 1 ln y + i√1 − yi 2 = 1 iÄäarcosh(y)arcsin ≡ sin −1 , arcsin(y) = 1 ln yi +√1 − yi 2 = 1 i( )arsinh(yi)1 + yiarctan ≡ tan −1 , arctan(y) = 1 ln= 1 2i1 − yii artanh(yi)nã= 1

Mathematischer Vorkurs4.2 Exponentialfunktionen & LogarithmenBeispiele von AbleitungenBeispiele von Ableitungenf (x)f ′ (x)e x22xe x2ln [ x + √ x 2 + 1 ] (x 2 + 1) − 1 2ln[tan(x)]x xx ln(x) − x2/ sin(2x)[1 + ln(x)] x xln(x)arcsin(x 2 ) 2x/(1 − x 4 ) 1 2arctan(e x ) e x /(1 + e 2x )a sin(x)a sin(x) ln(a) cos(x)Mathematischer Vorkurs4.3 Asymptotisches VerhaltenNotationen4.3 Asymptotisches Verhalten - Notationen & BeispieleNotationBedeutungf (x)f (x) ∼ g(x) (x → a) lim = 1x→ag(x)f (x)f (x) = o(g(x)) (x → a) lim = 0x→ag(x)f (x) = O(g(x)) (x → a) |f (x)| ≤ M |g(x)| (M > 0, x → a)(Spezialfall: a = ∞) (Spezialfall: a = ∞)Beispiele:x 2 + 3x + 2 ∼ x 2 (x → ∞)x a = o(e x ) (x → ∞ , a ∈ R)ln(x) = o(x a ) (x → ∞ , a > 0)ln(x) = o(x −a ) (x ↓ 0 , a > 0)ln(1 + x) ∼ x (x → 0)e x − 1 ∼ x (x → 0)Beweis?

Mathematischer Vorkurs4.3 Asymptotisches VerhaltenBeispieleAsymptotisches Verhalten - weitere BeispieleNotationBedeutungf (x)f (x) ∼ g(x) (x → a) lim = 1x→ag(x)f (x) = o(g(x)) (x → a) limx→af (x)g(x) = 0f (x) = O(g(x)) (x → a) |f (x)| ≤ M |g(x)| (M > 0, x → a)Weitere Beispiele:(Spezialfall: a = ∞) (Spezialfall: a = ∞)sin(x) ∼ x (x → 0)1 − cos(x) ∼ 1 2 x 2 (x → 0)√1 + x −√ x ∼12 √ x(x → ∞)x sin ( 1x) = O(1) (x → ∞)x sin ( 1x) = O(x) (x ↓ 0)f differenzierbar in a ⇒ f (a + x) = f (a) + f ′ (a)x + o(x) (x → 0)Mathematischer Vorkurs4.3 Asymptotisches VerhaltenDie Taylor-FormelVerallgemeinerung: die Taylor-Formelf differenzierbar in a ⇒f (a + x) = f (a) + f ′ (a)x + o(x) (x → 0)Verallgemeinerung: ∃ ξ ∈ [a, a + x] mit (Taylor-Formel)f (a + x) = f (a) + f ′ (a) x 1! + f ′′ (a) x 22! + . . . + f (n) (a) x nx n+1n! + f (n+1) (ξ)(n + 1)!= f (a) + f ′ (a) x 1! + f ′′ (a) x 22! + · · · + f (n) (a) x nn! + O(x n+1 )n∑= f (m) (a) x mm! + O(x n+1 ) (x → 0)m=0Vermutung: Existenz einer Taylor-Reihe (möglicherweise x c = ∞)f (a + x) =∞∑f (m) (a) x mm!m=0(0 ≤ |x| < x c )

Mathematischer Vorkurs4.3 Asymptotisches VerhaltenAnwendungen der Taylor-FormelAnwendungen der Taylor-Formel (a = 0, x → 0)Beispiele: Exponentialfunktion, Logarithmus, . . .n∑e x xn∑m=m! + O(xn+1 ) , ln(1 + x) = (−1) m−1 xm m + O(xn+1 )m=0m=11n∑1 + x = (−1) m x m + O(x n+1 ) , arctan(x) =sin(x) =(1 + x) α =m=0n∑m=0n∑m=0(−1) m x 2m+1(2m + 1)!( αm)x m + O(x n+1 )(1 + x) 1/2 = 1 + 1 2 x − 1 8 x2 + · · · ++ O(x 2n+3 ) , cos(x) =mit( αm)=( 12n)x n + O(x n+1 )n∑m=0(−1) m x 2m+1n∑m=02m + 1(−1) m x 2m(2m)!+ O(x 2n+3 )+ O(x 2n+2 )α(α − 1)(α − 2) . . . (α − m + 1)mit( 12n)m!= (−1)n−1 (2n − 3)!!2 n n!Mathematischer Vorkurs4.3 Asymptotisches VerhaltenAnwendungen der Taylor-FormelGrenzwerte von QuotientenFür Taylor-Reihen mit{fi (a) = 0f ′i (a) ≠ 0 }bzw.ßf (k)f 1 (x)limx→a f 2 (x) = limf1 ′(a)(x− a) + 1 2 f 1 ′′(a)(x− a)2 + . . .x→af 1 (x)limx→a f 2 (x) = limx→af ′2 (a)(x − a) + 1 2 f ′′i(a) = 0 (0 ≤ k ≤ n − 1)f (n)i(a) ≠ 02 (a)(x − a)2 + . . . = f 1 ′(a)f2 ′(a)= limx→a1n! f (n)1(a)(x − a) n + 1(n+1)! f (n+1)1(a)(x − a) n+1 + . . .1n! f (n)2(a)(x − a) n + 1(n+1)! f (n+1)2(a)(x − a) n+1 + . . .Allgemeiner:◮ für f i (x) ∼ A i |x − a| α i(x → a , α i ∈ R)f 1 (x)limx→a f 2 (x) = lim A 1 |x − a| α 1x→a A 2 |x − a| α 2◮ für f i (x) ∼ A i x α i(x → ∞ , α i ∈ R)f 1 (x)limx→∞ f 2 (x) =Mathematisches Pendant:= lim A 1|x − a| α 1−α 2=x→a A 2lim A 1 x α 1x→∞ A 2 x α = lim A 1x α 1−α 2=2 x→∞ A 2die ”Regeln von l’Hôpital“f ′1 (x)f ′2 (x):= f (n)1(a)f (n)2(a)® 0 (α1 > α 2 )A 1 /A 2 (α 1 = α 2 )∞ (α 1 < α 2 )® 0 (α1 < α 2 )A 1 /A 2 (α 1 = α 2 )∞ (α 1 > α 2 )

Mathematischer VorkursKapitel 5: Funktionen mehrererVeränderlicher◮ 5.1 Funktionen mehrerer Variabler◮ 5.2 Vektoranalysis im dreidimensionalen RaumInhaltsverzeichnis5.1Mathematischer Vorkurs5.1 Funktionen mehrerer VariablerPartielle Ableitungen5.1 Reellwertige Funktionen reeller VariablerFunktionen einer einzigen Variablen:f : D → WVerallgemeinerung:Beispiele:f : D → Wmitß D ⊂ RW ⊂ R(Definitionsbereich)(Wertebereich)Funktionen mehrerer Variabler:ß D ⊂ Rm(Definitionsbereich)mitW ⊂ R n (Wertebereich)f (x 1 , x 2 ) = (x 1 ) 2 e x 1x 2, f (x 1 , x 2 , x 3 ) = e −(x2 1 +x2 2 +x2 3 )Partielle Ableitung: [ mit (x 1 , x 2 , . . . , x m ) ≡ x ]f (x 1 + h, x 2 , . . . x m ) − f (x)limh→0hAnalog:f (x 1 , x 2 + h, x 3 , . . . , x m ) − f (x)limh→0h= ∂f∂x 1(x) = (∂ x1 f )(x) = (∂ 1 f )(x) = f x1 (x) = . . .= ∂f∂x 2(x) = (∂ x2 f )(x) = (∂ 2 f )(x) = f x2 (x)

Mathematischer Vorkurs5.1 Funktionen mehrerer VariablerHöhere partielle AbleitungenPartielle AbleitungenPartielle Ableitung: [ mit (x 1 , x 2 , . . . , x m ) ≡ x ]limh→0f (x 1 + h, x 2 , . . . x m ) − f (x)hHöhere Ableitungen:(∂ x1 f )(x 1 , x 2 + h, x 3 , . . . , x m ) − (∂ x1 f )(x)limh→0hBeispiele: [ für f (x 1 , x 2 ) = (x 1 ) 2 e x 1x 2]= ∂f∂x 1(x) = (∂ x1 f )(x) = (∂ 1 f )(x) = f x1 (x)(∂ x1 f )(x) = (2x 1 + x 2 1 x 2 )e x 1x 2, (∂ x2 f )(x) = x 3 1 e x 1x 2= ∂2 f∂x 2 ∂x 1(x) = (∂ x2 ∂ x1 f )(x)(∂ 2 x 1f )(x) = (2 + 4x 1 x 2 + x 2 1 x 2 2 )e x 1x 2, (∂ 2 x 2f )(x) = x 4 1 e x 1x 2(∂ x1 ∂ x2 f )(x) = (3x 2 1 + x 3 1 x 2 )e x 1x 2= (∂ x2 ∂ x1 f )(x) = (∂ 2 x 1 x 2f )(x) = f x1 x 2(x)Produktregel: ∂ x1 (fg) = (∂ x1 f )g + f (∂ x1 g) , etc.Kettenregel: f : R m → R , g : R → R Beweis(g ◦f )(x) ≡ g(f (x)) ⇒ [∂ x1 (g ◦f )] (x) = g ′ (f (x))(∂ x1 f )(x)Mathematischer Vorkurs5.1 Funktionen mehrerer VariablerProdukt- und Kettenregel - BeispieleProdukt- und Kettenregel - BeispieleProduktregel: ∂ x1 (fg) = (∂ x1 f )g + f (∂ x1 g) , etc.Beispiel: f (x 1 , x 2 ) = x 1 cos(x 2 ) , g ( x 1 , x 2 ) = x 1 sin(x 2 ) ⇒∂ x2 (fg) = (∂ x2 f )g + f (∂ x2 g) = −[x 1 sin(x 2 )] 2 + [x 1 cos(x 2 )] 2 = x 2 1 cos(2x 2 )Kettenregel: f : R m → R , g : R → R , x = (x 1 , x 2 , . . . , x m )(g ◦f )(x) ≡ g(f (x)) ⇒ [∂ x1 (g ◦f )] (x) = g ′ (f (x))(∂ x1 f )(x)Beispiel: g(f ) = e −f 2 mit f (x) = |x| = √ x 2 1 + · · · + x 2 m ⇒ g = e −x2[∂ x1 (g ◦f )] (x) = g ′ (f )(∂ x1 f ) = (−2fe −f 2 2x 1) √ 2 x1 2 + · · · + x m2= −2x 1 e −f 2 = −2x 1 g ( )∂x1. . ≡ ∂∂∂xxm[∂ x2 (g ◦f )] (x) = · · · = −2x 2 g kurz:(usw.).[∂ xm (g ◦f )] (x) = · · · = −2x m g daher hier:= (−2fe −f 2 ) x 1f∂(g ◦f ) = −2xg∂x

Mathematischer Vorkurs5.2 Vektoranalysis im dreidimensionalen RaumDer Nabla-Operator5.2 Vektoranalysis im dreidimensionalen RaumVektorfunktion in R 3 hat die Form:) )f(x) =(f1 (x 1 , x 2 , x 3 )f 2 (x 1 , x 2 , x 3 )f 3 (x 1 , x 2 , x 3 )Ableitungen in R 3 :(∂x1 f k=(f1 (x)f 2 (x)f 3 (x))∂ x2 f k (x) = ∂f k∂x (x) = (∇f k)(x) , ∇ ≡∂ x3 f kNomenklatur:◮ ∇f k heißt der Gradient von f k◮ ∇ wird als Nabla-Operator bezeichnetRechenregeln für ∇-Operator:mit x ∈ R 3 und f : R 3 → R 3( ∂/∂x1)∂/∂x 2∂/∂x 3[∇(f + g)] (x) = (∇f )(x) + (∇g)(x)[∇(fg)] (x) = (g∇f )(x) + (f ∇g)(x)[∇(g ◦f )] (x) = g ′ (f (x))(∇f )(x)(k = 1, 2, 3)Mathematischer Vorkurs5.2 Vektoranalysis im dreidimensionalen RaumDie DivergenzGradient und Divergenz[ mit r(x) ≡ |x| = (x2( ) ( )1 + x2 2 + x3 2 ) 1/2]∂r/∂x1 x1 /r1. (∇r) (x) = ∂r/∂x 2 = x 2 /r = x/r = ˆx∂r/∂x 3 x 3 /r2. [∇(g ◦r)] (x) = g ′ (r)(∇r)(x) = g ′ (r)x/r = g ′ (r)ˆxBeispiele:3. Spezialfall: (∇r ν )(x) = νr ν−1ˆx4. Skalarprodukt des ∇-Operators mit Vektorfeld f: ( Divergenz“ von f)”(∇ · f)(x) = ∂f 1(x) + ∂f 2(x) + ∂f 3∑3 ∂f l(x) = (x)∂x 1 ∂x 2 ∂x 3 ∂x lRechenregeln für Divergenz:[∇ · (f + g)] (x) = (∇ · f)(x) + (∇ · g)(x)[∇ · (λf)] (x) = (∇λ)(x) · f(x) + λ(∇ · f)(x)3∑ ∂3∑Å ã∂fk ∂g l[∇ · (f × g)] (x) = ε jkl (f k g l ) = ε jkl g l + f k∂x j ∂x j ∂x jj,k,l=1j,k,l=1l=1= g(x) · (∇ × f)(x) − f(x) · (∇ × g)(x)

Mathematischer Vorkurs5.2 Vektoranalysis im dreidimensionalen RaumDie RotationDie RotationNomenklatur:∇ × g heißt die Rotation von gExplizite Form: (∇ × g) i = ε ijk ∂ xj g k (Summationskonvention) bzw.∇ × g =(∂x2 g 3 − ∂ x3 g 2)∂ x3 g 1 − ∂ x1 g 3∂ x1 g 2 − ∂ x2 g 1Rechenregeln für Rotation:denn . . .=(∂2 g 3 − ∂ 3 g 2)∂ 3 g 1 − ∂ 1 g 3∂ 1 g 2 − ∂ 2 g 1[∇ × (f + g)] (x) = (∇ × f)(x) + (∇ × g)(x)[∇ × (λf)] (x) = λ(x)(∇ × f)(x) + (∇λ)(x) × f(x)(zyklisch!)[∇ × (f × g)] (x) = [(g · ∇)f + f(∇ · g) − g(∇ · f) − (f · ∇)g] (x)(mit der Summationskonvention)[∇ × (f × g)] i= ε ijk ∂ j ε klm (f l g m ) = (δ il δ jm − δ im δ jl )∂ j (f l g m )= ∂ j (f i g j ) − ∂ j (f j g i ) = g j ∂ j f i + f i ∂ j g j − f j ∂ j g i − g i ∂ j f j= (g · ∇)f i + f i (∇ · g) − (f · ∇)g i − g i (∇ · f)Mathematischer Vorkurs5.2 Vektoranalysis im dreidimensionalen RaumDivergenz & Rotation - BeispieleDivergenz & Rotation - BeispieleBeispiele:1. ∇ · x = ∂ j x j = ∑ 3j=1[ mit r(x) = (x21 + x 2 2 + x 2 3 ) 1/2 , ρ = (x 2 1 + x 2 2 ) 1/2 ]∂x j∂x j= ∂x 1∂x 1+ ∂x 2∂x 2+ ∂x 3∂x 3= 32. (∇ × x) i = ε ijk ∂ j x k = ε ijk δ jk! = 0 ⇒ ∇ × x = 03. ∇ · (rx) = (∇r) · x + r(∇ · x) = 1 rx · x + 3r = 4r4. ∇ × (rx) = r(∇ × x) + (∇r) × x = 0 + 1 x × x = 0rå Çå å5. ∇ ×6. ∇ ×Ç −x2ñx 10=ρ ν Ç −x2x 10åô−∂ 3 x 1∂ 3 (−x 2 )∂ 1 x 1 − ∂ 2 (−x 2 )Ç −x2= ρ ν ∇ ×x 10å=Ç 002= 2ê 3+ νρ ν−2 Çx1x 20å×Ç −x2x 10å= (2 + ν)ρ ν ê 3

Mathematischer Vorkurs5.2 Vektoranalysis im dreidimensionalen RaumKombinationen von Gradient, Divergenz, RotationKombinationen von Gradient, Divergenz, RotationWichtige Beispiele:1. [∇ × (∇λ)] i= (ε ijk ∂ j ∂ k )λ ! = 0 ⇒ ∇ × ∇ = 02. ∇ · (∇ × f) = ε ijk ∂ i ∂ j f k! = 03. ∇ · (∇λ) = ∂ i ∂ i λ =( ∑3i=14. ”Doppelte Rotation“:∂ 2∂x 2 i)λ = ∆λ , ∆ ≡ ∑ 3i=1[∇ × (∇ × f)] i= ε ijk ∂ j ε klm ∂ l f m = (δ il δ jm − δ im δ jl )∂ j ∂ l f mNomenklatur:∂ 2∂x 2 i= ∂ j (∂ i f j − ∂ j f i ) ⇒ ∇ × (∇ × f) = ∇(∇ · f) − ∆f∆ heißt Laplace-OperatorRechenregeln für Laplace-Operator:[∆(λ + µ)] (x) = (∆λ)(x) + (∆µ)(x)∆(λµ) = ∇ · (λ∇µ + µ∇λ) = λ∆µ + µ∆λ + 2(∇λ) · (∇µ)∆(f · g) = ∆(f i g i ) = ∇ · (f i ∇g i + g i ∇f i ) = f i ∆g i + g i ∆f i + 2(∇f i ) · (∇g i )Mathematischer Vorkurs5.2 Vektoranalysis im dreidimensionalen RaumDer Laplace-OperatorLaplace-Operator - BeispieleRechenregeln für Laplace-Operator:[∆(λ + µ)] (x) = (∆λ)(x) + (∆µ)(x)∆(λµ) = ∇ · (λ∇µ + µ∇λ) = λ∆µ + µ∆λ + 2(∇λ) · (∇µ)∆(f · g) = ∆(f i g i ) = ∇ · (f i ∇g i + g i ∇f i ) = f i ∆g i + g i ∆f i + 2(∇f i ) · (∇g i )Beispiele:[ mit r(x) = (x21 + x 2 2 + x 2 3 ) 1/2 , ρ(x) = (x 2 1 + x 2 2 ) 1/2 ]∆r ν = ∇ · (νr ν−2 x) = ν [ (∇r ν−2 ) · x + r ν−2 (∇ · x) ]= ν [ (ν − 2)r ν−4 x · x + 3r ν−2] = ν(ν + 1)r ν−2∆ 1 != 0 für r ≠ 0r[ ( )]x1∆ρ ν = ∇ · νρ ν−2 x 2 = ν [ (ν − 2)ρ ν−4 ρ 2 + 2ρ ν−2] = ν 2 ρ ν−20( ρ ν )− 1 1∆ ln(ρ) = lim ∆= limν→0 νν→0 ν ∆ρν = lim νρ ν−2 ! = 0 für ρ ≠ 0ν→0

Mathematischer VorkursKapitel 6: Integration & Integrale◮ 6.1 Integration & Integrale◮ 6.2 Zweidimensionale Integrale◮ 6.3 Dreidimensionale IntegraleInhaltsverzeichnis6.1Mathematischer Vorkurs6.1 Integration & IntegraleUnbestimmte und bestimmte Integrale6.1 Integration & IntegraleUnbestimmtes Integral F (x) :ßF ′ Stammfunktion(x) = f (x) ⇒ F heißtvon funbestimmtes IntegralBemerkungen:◮ Stammfunktion nicht eindeutig:F a (x) ≡ F (x) + a (a ∈ R) ⇒ d F dx a = F ′ = f◮ Notation:∫∫{F a | a ∈ R} =dx f (x)bzw.dx f (x) = F + aBestimmtes Integral: ∫ x2Bemerkungen:◮ ∫ x 1x 1dx f (x) = F (x 1 ) − F (x 1 ) = 0x 1dx f (x) ≡ F (x 2 ) − F (x 1 )◮ ∫ x 2x 1dx f (x) = F (x 2 ) − F (x 1 ) = − [F (x 1 ) − F (x 2 )] = − ∫ x 1x 2dx f (x)◮ Geometrische Interpretation: Fläche unter Kurve f (x)

Mathematischer Vorkurs6.1 Integration & IntegraleZur geometrischen Interpretation der IntegrationZur geometrischen Interpretation der IntegrationFundamentalsatz der Analysis:Beweis:1limh↓0 h∫ x2ñ∫ x2 +hx 1x 1dx f (x) ≡ F (x 2 ) − F (x 1 ) ,dx f (x) −∫ x2x 1dx f (x)ô1= limh↓0 h∫ x2ddx 2∫ x2 +hx 2x 1dx f (x) = f (x 2 )dx f (x) = limh↓0h f (x 2 )h= f (x 2 )f (x)x 0 x 1 x 2 x 2 + hxMathematischer Vorkurs6.1 Integration & IntegraleBeispiele unbestimmter IntegraleBeispiele unbestimmter Integrale∫ dx f (x)e x2 + af (x)2xe x2ln [ x + √ x 2 + 1 ] + a (x 2 + 1) − 1 2ln[tan(x)] + ax x + ax ln(x) − x + a2/ sin(2x)[1 + ln(x)] x xln(x)arcsin(x 2 ) + a 2x/(1 − x 4 ) 1 2arctan(e x ) + a e x /(1 + e 2x )a sin(x) + āa sin(x) ln(a) cos(x)

Mathematischer Vorkurs6.1 Integration & IntegraleBeispiele unbestimmter IntegraleBeispiele unbestimmter IntegraleWeitere Beispiele:∫∫dxdx∫∫dx 1 x = ln(|x|) + a1√1 − x2 = arcsin(x) + a∣ 1 ∣∣x√x2− 1 = ln +√x 2 − 1∣ + adx tan(x) = − ln |cos(x)| + a∫1 ∣ dxsin(x) = ln tan(1x)∣ ∣2 + a∫dx e 3x = 1 3 e3x + aMathematischer Vorkurs6.1 Integration & IntegraleRiemann-Summen & numerische IntegrationRiemann-SummenRiemann-Summe:N∑S R ≡k=1Wähle {x k , x ∗ k } mit a ≡ x 0 < x 1 < x 2 < · · · < x N ≡ b(x k − x k−1 )f (x ∗ k ) , x ∗ k ∈ [x k−1 , x k ]Betrachte Limes: N → ∞ mit lim N→∞ max k (x k − x k−1 ) = 0 ⇒N∑∫ bf (x)limN→∞k=1(x k − x k−1 )f (x ∗ k ) =Riemann-Unter/Obersummea =x 0 xk−1 x kx N =baxdx f (x) , falls Limes existiertNomenklatur:Funktion f heißtRiemann-integrierbarfalls Limes N → ∞ existiertBeispiel:Limes existiert für allekontinuierlichen Funktionen fSpezialfall: (Mittelpunktsformel)x k ≡ a + kε , ε ≡ b − aNx ∗ k ≡ 1 2 (x k + x k−1 ) ≡ x k− 12

Mathematischer Vorkurs6.1 Integration & IntegraleRiemann-Summen & numerische IntegrationDie MittelpunktsformelWahl der {x k , xk ∗ } in der Riemann-Summe:x k ≡ a + kε , ε ≡ b − aN, x ∗ k ≡ 1 2 (x k + x k−1 ) = a + (k − 1 2 )ε ≡ x k− 1 2Mittelpunktsformel:∫ bN∑dx f (x) − εf (x k− 1 ) ∼ 1 ε2[ f ′ (b) − f ′ (a) ] (N → ∞, ε ↓ 0)2 24ak=1k=1denn: (mit x ≡ x k− 1 + y)2N∑∫ xk îódx f (x) − f (x k− 1 ) =2x k−1f (x)(x k− 12, f (x k− 12))x k−1x kx=∼ 1 3N∑k=1N∑k=1∫ 12ε∫ 12ε− 1 2 ε dydy− 1 2 ε(N∑1 ε) 3f ′′ (x2 k− 1 ) = 12 24 ε2k=1îóf (x k− 1 + y) − f (x2k− 1 )2îóf ′ (x k− 1 )y + 1 f ′′ (x2 2 k− 1 )y 2 + . . .2N∑εf ′′ (x k− 1 )2k=1∫ b∼ 1 24 ε2 dx f ′′ (x) = 1 ε2[ f ′ (b) − f ′ (a) ]24aMathematischer Vorkurs6.1 Integration & IntegraleEinfache Anwendung:die Stirling-FormelEinfache Anwendung: die Stirling-FormelStirling-Formel: n! ∼ n n e −n√ 2πn (n → ∞)◮ Abschätzung mit Hilfe der Mittelpunktsformel:n∑∫ 1 n+2∣ln(n!) = ln(j) ∼ dj ln(j) = [ j ln(j) − j ]j=112∣ n+ 1 212Ç åFehler ∼“ ”→ Konstantefür n → ∞= (n + 1 2 ) ln(n + 1 2 ) − n + Konstante ⇒ n! ∝ nn+ 1 2 e −n (n → ∞)◮ Vergleich mit exakten Ergebnissen: [ definiere: S(n) ≡ n n e −n√ 2πn ]n n!/S(n) n!/[S(n)(1 + 112n )]1 1,08443755 1,001019285 1,01678399 1,000115410 1,00836536 1,0000317650 1,00166803 1,00000136100 1,00083368 1,00000035

Mathematischer Vorkurs6.1 Integration & IntegraleEinfache Anwendung:Die Trapezformeldie Stirling-FormelDie Trapezformel:∫ bN∑dx f (x) − ε 1 [f (x 2 k−1) + f (x k )] ∼ − 1 ε2[ f ′ (b) − f ′ (a) ] (ε ↓ 0)12ak=1Herleitung: (mit x ≡ x k−1 + y)N∑∫ xkdx { f (x) − 1 [f (x 2 k−1) + f (x k )] } ! = −12k=1 x k−1N∑∫ εf (x)= − 1 2∼ − 1 2x k−1 x k xk=10N∑k=1N∑f ′′ (x k−1 )k=1∫ xkx k−1dx (x−x k−1 )(x k −x)f ′′ (x)dy y(ε − y)f ′′ (x k−1 + y)∫ ε0dy y(ε − y)N∑∫ b= − 1 12 ε2 εf ′′ (x k−1 ) ∼ − 1 12 ε2 dx f ′′ (x)k=1= − 1 12 ε2[ f ′ (b) − f ′ (a) ]aMathematischer Vorkurs6.1 Integration & IntegraleDie SubstitutionsregelDie SubstitutionsregelKettenregel der Differentiation:(G ◦f ) ′ (x) = G ′ (f (x)) f ′ (x) = g (f (x)) f ′ (x) [G ′ (y) ≡ g(y)]Konsequenz für Integration:(Substitutionsregel)∫ y∫ xdη g(η) = G(y) = (G ◦f )(x) = dξ g (f (ξ)) f ′ (ξ) [ f (x) = y ]Beispiel 1: f (x) = e x = y , g(y) = 1∫ xdξe ξ1 + e ξ = ∫ xdξ g(e ξ )(e ξ ) ′ =1+y∫ exdη11 + η = ln(1 + ex ) + aBeispiel 2: √ f (x) = sin(x) = y , g(y) = 1 − y 2 , D f ⊂ [ − π , π 2 2∫ y √ ∫ x √∫ xdη 1 − η 2 = dξ 1 − sin 2 (ξ) cos(ξ) = dξ cos 2 (ξ)=∫ xdξ 1 2 [1 + cos(2ξ)] = 1 2 x + 1 4 sin(2x) + a= 1 2 x + 1 2 sin(x) cos(x) + a = 1 2 arcsin(y) + 1 2 y√ 1 − y 2 + a]

Mathematischer Vorkurs6.1 Integration & IntegraleDie SubstitutionsregelDie SubstitutionsregelBeispiel 3:∫ xdξξ√1 − ξ 2 = − 1 2®f (x) = 1 − x2g(y) = − 12 √ y∫ xdξ (1 − ξ2 ) ′√∫ y= − 1 dη 12 √ η∣= − √ η ∣ y + a= −√1 − x 2 + a1 − ξ 2Alternativ: (direkte Integration)∫ x∫ xξdξ = − dξ √1 d √1 − ξ 2− ξ 2 dξ= −= −√1 − ξ 2 ∣ ∣∣x√1 − x 2 + aIntegral:∫ dη√η2 − 1∫ dη√1 − η2∫ dη√η2 + 1Substitution:η = 1 = sec(ξ)cos(ξ)oder: η = cosh(ξ)η = cos(ξ)η = sinh(ξ)∫ dη1√1−η 2 η = sin(ξ)∫ dη √1η 2 −1∫ dη √1η 2 +1η = cosh(ξ)η = sinh(ξ)Weitere SubstitutionsbeispieleMathematischer Vorkurs6.1 Integration & IntegralePartielle IntegrationPartielle IntegrationProduktregel der Differentiation:Konsequenz:unbestimmtes Integral:bestimmtes Integral:(fg) ′ = f ′ g + fg ′ ⇒ fg ′ = (fg) ′ − f ′ g(partielle Integration)∫∫ badx f (x)g ′ (x) = f (x)g(x) −∫dx f ′ (x)g(x)∣ ∫ bdx f (x)g ′ (x) = f (x)g(x) b − dx f ′ (x)g(x)aaBeispiel 1: f (x) = √ 1 − x 2 , g(x) = x∫∫∫dxdx√1 − x 2 = x√1 − x 2 −√= x 1 − x 2 −dx∫(−x 2 )√1 − x2√1 − x 2 +dx√√1 − x 2 = 1 x 1 − x2 2 + 1 arcsin(x) + a2∫dx1√1 − x2⇒

Mathematischer Vorkurs6.1 Integration & IntegralePartielle IntegrationPartielle IntegrationBeispiel 2: f (x) = arcsin(x) , g(x) = x∫∫dx arcsin(x) = x arcsin(x) −= x arcsin(x) +Beispiel 3: f (x) = ln(x) , g(x) = x∫∫dx ln(x) = x ln(x) −dxx√1 − x2√1 − x 2 + adx 1 x x = x ln(x) − x + aBeispiel 4: I n ≡ ∫ dx (x n /n!)e −x ; f (x) = x m /m! , g(x) = −e −x∫∫I n =dx x nn!= I n−1 − x nddx (−e−x ) = − x nn! e−x +n! e−x = . . . = I 0 −n∑m=1dxx n−1(n − 1)! e−xx mm! e−x = −n∑m=0x mm! e−x + aMathematischer Vorkurs6.2 Zweidimensionale IntegraleRiemann-Summen6.2 Zweidimensionale IntegraleBerechnung zweidimensionaler Integrale:ß◮ BetrachteendlichesabgeschlossenesGebiet G ⊂ R 2◮ Betrachte Funktion f (x 1 , x 2 ) , stetig auf G◮ Definiere: ß f (x1 , x 2 ) falls (x 1 , x 2 ) ∈ Gf G (x 1 , x 2 ) =0 sonst◮ Ausdehnung des Integrationsbereichs:∫ ∫∫ ∫Gdx 1 dx 2 f (x 1 , x 2 ) =R 2 dx 1 dx 2 f G (x 1 , x 2 )Gx 2x 1Zweidimensionale Integraleals ”Riemann-Summe“Integrationsreihenfolge beliebig: [ falls f (x 1 , x 2 ) stetig im Gebiet G ]∫ ∞ ï ∫ ∞ò ∫ ∞ ï ∫ ∞ò!=dx 1 dx 2 f G (x 1 , x 2 ) dx 2 dx 1 f G (x 1 , x 2 )−∞−∞Aber Vorsicht, falls f (x 1 , x 2 ) nicht stetig ist!−∞−∞

Mathematischer Vorkurs6.2 Zweidimensionale IntegraleZweidimensionale Integrale - BeispieleZweidimensionale Integrale - BeispieleBeispiel 1:f (x 1 , x 2 ) = 1 , G = { (x 1 , x 2 ) ∣ ∣ 2 ≤ x1 ≤ 3 , (x 1 ) 2 ≤ x 2 ≤ (x 1 ) 3 }Zweidimensionales Integral:∫ ∫Beispiel 2:Gdx 1 dx 2 =∫ 32dx 1∫ (x1 ) 3(x 1 ) 2 dx 2 =∣= 1 (x 4 1) 4 ∣∣3∣− 1 (x 3 1) 3 ∣∣322∫ 32dx 1[ (x1 ) 3 − (x 1 ) 2]= 16 1 4 − 6 1 3 = 9 1112f (x 1 , x 2 ) = x 2√1 − (x1 ) 2 , G = { (x 1 , x 2 ) | (x 1 ) 2 + (x 2 ) 2 ≤ 1 , x 2 ≥ 0 }Zweidimensionales Integral: x 1 ≡ sin(ϕ) , cos 2 (ϕ) = 1 [1 + cos(2ϕ)]2√∫ ∫∫ 1 1−(x 1 )∫2√∫ 1[dx 1 dx 2 f (x 1 , x 2 ) = dx 1 dx 2 x 2 1 − (x1 ) 2 = 1 dx2 1 1 − (x1 ) 2] 3/2G= 1 2∫ π/2−π/2−1dϕ cos 4 (ϕ) = 1 80∫ π/2−π/2dϕ [1 + cos(2ϕ)] 2−1= 1 (π + 0 + 1 3ππ) =8 216Mathematischer Vorkurs6.2 Zweidimensionale IntegraleDie IntegrationsreihenfolgeZweidimensionale Integrale - die IntegrationsreihenfolgeIntegrationsreihenfolge beliebig: [ falls f (x 1 , x 2 ) stetig im Gebiet G ]∫ ∞ ï ∫ ∞òdx 1 dx 2 f G (x 1 , x 2 )1−∞!=−∞∫ ∞−∞ï ∫ ∞òdx 2 dx 1 f G (x 1 , x 2 )−∞x 2G0x −22−x −21Vorsicht, falls f (x 1 , x 2 ) nicht stetig ist: Wähle Gebiet G = [0, 1] 2 mit{ (x2 ) −2 (0 < x 1 < x 2 < 1)f (x 1 , x 2 ) = − (x 1 ) −2 (0 < x 2 < x 1 < 1) ⇒ f (x 2 , x 1 ) = −f (x 1 , x 2 )0 (sonst)Daher:∫ 1∫ 1∫ 1∫ x1∫ 1å ∫ 1dx 1 dx 2 f (x 1 , x 2 ) = dx 1Ç− dx 2 x −21 + dx 2 x −22 = dx 1 (−1) = −10 000x 1 0∫ 10∫ 1dx 2 dx 1 f (x 1 , x 2 ) = −0∫ 10∫ 1dx 2 dx 1 f (x 2 , x 1 ) = −0∫ 101x 1∫ 1dx 1 dx 2 f (x 1 , x 2 ) = +10

Mathematischer Vorkurs6.2 Zweidimensionale IntegralePolarkoordinatenZweidimensionale Integrale - PolarkoordinatenPolarkoordinaten:(x 1 , x 2 ) ≡ (ρ cos(ϕ), ρ sin(ϕ)) , ¯f G (ρ, ϕ) ≡ f G (ρ cos(ϕ), ρ sin(ϕ))Zweidimensionales Integral in Polarkoordinaten:∫ ∫∫ ∞∫ 2πdx 1 dx 2 f (x 1 , x 2 ) = dρ dϕ ρ¯f G (ρ, ϕ)G0 0x 2ϕ0dϕρdϕdρx 1|x| = ρ + dρ|x| = ρBeispiel 1:G = R 2 , ¯f G = e −ρ sin 2 (ϕ)Zweidimensionales Integral:∫ ∞0∫ 2πdρ dϕ ρ¯f G (ρ, ϕ) =0Å ∫ ∞ ã ï ∫ 2π ò= dρ ρe −ρ dϕ sin 2 (ϕ)00= πMathematischer Vorkurs6.2 Zweidimensionale IntegralePolarkoordinaten - BeispieleZweidimensionale Integrale - PolarkoordinatenBeispiel 2:G = R 2 , f G (x 1 , x 2 ) = e − [(x 1 ) 2 +(x 2 ) 2 ] , ¯f G (ρ, ϕ) = e −ρ2Zweidimensionales Integral:Å ∫ ∞ ã 2 Å ∫ ∞ ã Å ∫ ∞ ã ∫ ∫dx e −x2 = dx 1 e −x2 1 dx 2 e −x2 2 = dx 1 dx 2 e − [(x 1 ) 2 +(x 2 ) 2 ]−∞Fazit:√π=∫ ∞∫ ∫−∞−∞∫ ∞∫ 2π= dx 1 dx 2 f G (x 1 , x 2 ) = dρ dϕ ρ¯f G (ρ, ϕ)0 0∫ ∞∫ 2π∫ ∞= dρ dϕ ρ e −ρ2 = π dy e −y = π0 00dx e −x2 = 2−∞0∫ ∞dy e−y∫ ∞2 √ y = dy y − 1 2 e −y = Γ ( )120Allgemeine Definition:Γ(z) ≡ ∫ ∞dy y z−1 e −y0

Mathematischer Vorkurs6.3 Dreidimensionale IntegraleRiemann-Summen6.3 Dreidimensionale Integrale◮ Betrachte: Gebiet G ⊂ R 3 , Funktion f (x) , x ≡ (x 1 , x 2 , x 3 )ß◮ f (x) falls x ∈ GDefiniere: f G (x) =0 sonst◮ Ausdehnung des Integrationsbereichs:∫ ∫ ∫Gdx f (x) =∫ ∫ ∫R 3 dx f G (x)◮ Integrationsreihenfolge beliebig, falls f (x) stetig im Gebiet GBeispiel: f (x) = 1 , G = {x | x 1 ≥ 0 , x 2 ≥ 0 , x 3 ≥ 0 , x 1 + x 2 + x 3 ≤ 1}∫ 1∫∫1−x 1 1−x 1 −x 2dx 1 dx 2dx 3 =∫ 1∫dx 11−x 1dx 2 (1 − x 1 − x 2 ) =∫ 1dx 1[ (1 − x1 ) 2 − 1 2 (1 − x 1) 2]0000 0∫ 1= 1 20dx 1 (1 − x 1 ) 2 = 1 2∫ 100dx 1 (x 1 ) 2 = 1 6 (x 1) 3 ∣ ∣∣10= 1 6Mathematischer Vorkurs6.3 Dreidimensionale IntegraleKugelkoordinatenDreidimensionale Integrale - KugelkoordinatenKugelkoordinaten:x ≡ (r cos(ϕ) sin(ϑ), r sin(ϕ) sin(ϑ), r cos(ϑ))¯f G (r, ϕ, ϑ) ≡ f G (r cos(ϕ) sin(ϑ), r sin(ϕ) sin(ϑ), r cos(ϑ))Dreidimensionales Integral in Kugelkoordinaten:∫ ∫ ∫Gdx f (x) =∫ ∞0dr∫ π0dϑ∫ 2π0dϕ r 2 sin(ϑ)¯f G (r, ϑ, ϕ) =∫ ∞0dr∫dΩ r 2¯f G (r, Ω)x 3dϕr cos(ϑ) r sin(ϑ)dϕr dϑr sin(ϑ)r drϑ dϑ0ϕx 1x 2Volumenelement:dx → r 2 sin(ϑ)dr dϑ dϕEinfachere Notation: ( Raumwinkel“)”(ϑ, ϕ) ≡ Ωsin(ϑ)dϑdϕ ≡ dΩ

Mathematischer Vorkurs6.3 Dreidimensionale IntegraleIntegrale mit sphärischer SymmetrieDreidimensionale Integrale mit sphärischer SymmetrieSpezialfall:¯f G (r, ϕ, ϑ) = ¯f G (r) , G = {x | r 1 ≤ |x| ≤ r 2 }Dreidimensionales Integral:∫ ∫ ∫ ∫ ∞∫Å ∫ ã∫dx f (x) = dr dΩ r 2¯f ∞G (r) = dΩ dr r 2¯f G (r) = 4πGInterpretation:0∫ dΩ =Å Fläche einer Kugel mit Radius Einsim dreidimensionalen Raum0ã∫ ∞0dr r 2¯f G (r)≡ S 3 (1)Berechnung von S 3 (1) : [ mit S 3 (r) = r 2 S 3 (1) = 4πr 2 ]∫ ∫ π∫ 2π∣S 3 (1) = dΩ = dϑ dϕ sin(ϑ) = 2π [− cos(ϑ)]Beispiel:Dreidimensionales Integral:∫ ∫ ∫00f (x) = 1 , G = { x | (x 1 ) 2 + (x 2 ) 2 + (x 3 ) 2 ≤ 1 }Gdx f (x) = 4π∫ 10dr r 2 = 4π ( 13 r 3) ∣ ∣ ∣10= 4π 3∣ π 0= 4πMathematischer Vorkurs6.3 Dreidimensionale IntegraleZylinderkoordinatenDreidimensionale Integrale - ZylinderkoordinatenAnalog:Zylinderkoordinatenx ≡ (ρ cos(ϕ), ρ sin(ϕ), x 3 )¯f G (ρ, ϕ, x 3 ) ≡ f G (ρ cos(ϕ), ρ sin(ϕ), x 3 )Dreidimensionales Integral in Zylinderkoordinaten:∫x 3x 2dx f G (x) =ρdϕdρϕ(0, 0, x3 ′) |x ⊥ | = ρdϕx 1∫ ∞0|x ⊥ | = ρ + dρdρ∫ 2π0dϕ∫ ∞−∞dx 3 ρ¯f G (ρ, ϕ, x 3 )Definition: x ⊥ ≡ (x 1 , x 2 )Volumenelement:dx → ρdρ dϕ dx 3Beispiel:f (x) = µ [ (x 1 ) 2 + (x 2 ) 2]G = {x | 0 ≤ x 3 ≤ H ,0 ≤ (x 1 ) 2 + (x 2 ) 2 ≤ R 2}

Mathematischer Vorkurs6.3 Dreidimensionale IntegraleZylinderkoordinatenDreidimensionale Integrale - ZylinderkoordinatenAnalog:Zylinderkoordinatenx ≡ (ρ cos(ϕ), ρ sin(ϕ), x 3 )¯f G (ρ, ϕ, x 3 ) ≡ f G (ρ cos(ϕ), ρ sin(ϕ), x 3 )Dreidimensionales Integral in Zylinderkoordinaten:∫Beispiel:dx f G (x) =∫ ∞0dρ∫ 2π0dϕ∫ ∞−∞dx 3 ρ¯f G (ρ, ϕ, x 3 )f (x) = µ [ (x 1 ) 2 + (x 2 ) 2] , G = { x | 0 ≤ x 3 ≤ H , 0 ≤ (x 1 ) 2 + (x 2 ) 2 ≤ R 2}Integral in Zylinderkoordinaten:∫∫ H∫ Rdx f G (x) = µ dx 3 dρ00∫ 2π0dϕ ρ 3 = 2πµH ( 14 ρ4) ∣ ∣ ∣R0= 1 2 πµHR4Physikalische Interpretation von 1 2 πµHR4 = 1 2 MR2 mit M ≡ πµHR 2 :Trägheitsmoment bzgl. der ê 3 -Achse eines homogenen Zylindersmit der Höhe H, dem Radius R, der Massendichte µ und der Masse MMathematischer VorkursKapitel 7: Differentialgleichungen◮ 7.1 Gewöhnliche Differentialgleichungen◮ 7.2 Weitere Differentialgleichungen der Mechanik◮ 7.3 Allgemeine LösungsverfahrenInhaltsverzeichnis7.1

Mathematischer Vorkurs7.1 Gewöhnliche DifferentialgleichungenAllgemeine Form & erste Beispiele7.1 ”Gewöhnliche“ DifferentialgleichungenGewöhnliche Differentialgleichungen . . .◮ . . . der ersten Ordnung: f (x, y(x), y ′ (x)) = 0◮ . . . der zweiten Ordnung: f (x, y(x), y ′ (x), y ′′ (x)) = 0◮ . . . der n-ten Ordnung: f (x, y(x), y ′ (x), . . . , y (n) (x)) = 0Achtung: Z.B. y ′ (x) = y(y(x)) ist keine Differentialgleichung!Beispiele gewöhnlicher Differentialgleichungen:1. Wachstumsprozess: x ̂= t , ∆t → 0 , y(0) ≡ y 0 > 0 , λ > 0Lösung:y(t + ∆t) − y(t) = λy(t)∆t , λy(t) =λ = 1 yy(t + ∆t) − y(t)∆t∼ y ′ (t)dydt = d dt ln(y) ⇒ ln[y(t)] = λt + ln(y 0 ) , y(t) = y 0 eλt2. Zerfallsprozess: analog, mit λ < 0 , Lösung y(t) = y 0 e −|λ|tMathematischer Vorkurs7.1 Gewöhnliche DifferentialgleichungenAllgemeine Form & erste BeispieleDie logistische Differentialgleichung3. Logistische Gleichung: (< frz. logis = Lebensraum)(dNdt = λN 1 − N )(0 ≤ N ≤ N max )N maxNotation:x ̂= t ; N/N max ≡ y , y(0) ≡ y 0 ; λ > 0Zu lösen:dydt = λy(1 − y) , y(0) = y 0 (0 ≤ y ≤ 1)Pierre François Verhulst(1804 - 1849)Lösungsmethode für die logistischen Gleichung:(1 dy 1λ =y(1 − y) dt = y + 1 ) dy1 − y dt = d dt [ln(y)−ln(1−y)] = d ( ) ydt ln 1 − yDaher Lösung:y1 − y = eλ(t+t 0) ! y = 0e λt1 − y 0⇒ y(t) =11 + (y −10− 1)e −λt

Mathematischer Vorkurs7.1 Gewöhnliche DifferentialgleichungenAllgemeine Form & erste BeispieleDie logistische Differentialgleichung3. Logistische Gleichung: (Fortsetzung)dydt = λy(1 − y) , y(0) = y 0 (0 ≤ y ≤ 1)Daher Lösung:y(t) =11 + (y −10− 1)e −λt , N(t) =N max1 + (y −10− 1)e −λt Pierre François Verhulsty(t) (y 0 = 0.01)1.00.80.60.40.20.00.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0λt(1804 - 1849)Nomenklatur:” Sigmoidfunktion“Mathematischer Vorkurs7.1 Gewöhnliche DifferentialgleichungenHarmonische SchwingungGewöhnliche Differentialgleichungen4. Harmonische Schwingung: x ̂= t ; y(0) ≡ y 0; y ′ (0) ≡ y ′ 0 , λ > 0√my ′′ = −λy , y ′′ + ω 2 y = 0 ; ω ≡ λ/m[Lösungsmethode: 0 = y ′ y ′′ + ω 2 yy ′ = d 1dt 2 (y ′ ) 2 + 1 2 ω2 y 2]Erste Integration:12 (y ′ ) 2 + 1 2 ω2 y 2 = ɛ 0 ≡ 1 2 (y ′ 0) 2 + 1 2 ω2 (y 0 ) 2 , y ′ = ± √ 2ɛ 0 − ω 2 y 2Substitutiony ≡± 1 =√2ɛ0z →ωdy/dt√2ɛ0 − ω 2 y = 1 2 ωdz/dt√1 − z2 = 1 ωddt arcsin(z)Zweite Integration: ± (ωt + ϕ 0) = arcsin(z) ⇒ Lösung:√ √ √2ɛ0y(t) = z(t) = ± 2ɛ0sin(ωt + ϕ 2ɛ0ωω0) ≡ sin(ωt + ¯ϕ ω 0)√2ɛ0ω [sin(ωt) cos( ¯ϕ 0) + cos(ωt) sin( ¯ϕ 0 )]=® √= y 0 cos(ωt) + y 0′ 2ɛ0y0ω sin(ωt) mit = sin( ¯ϕ ω 0)y 0 ′ = √ 2ɛ 0 cos( ¯ϕ 0 )

Mathematischer Vorkurs7.1 Gewöhnliche DifferentialgleichungenBewegung in allgemeinen PotentialenGewöhnliche Differentialgleichungen5. Verallgemeinerung: x ̂= t ; y(0) ≡ y 0 ; y ′ (0) ≡ y 0′y ′′ = − dvdy (y) ⇒ 0 = y ′ y ′′ + dvdy y ′ = d [ 12dt(y ′ ) 2 + v(y) ]Erste Integration:Daher:12 (y ′ ) 2 + v(y) = ɛ 0 , y ′ = ± √ 2 [ɛ 0 − v(y)]± 1 =dy/dt√2 [ɛ0 − v(y)] = d dt∫ ydx1√2 [ɛ0 − v(x)]Zweite Integration:∫ y(t)± t = dxy 01√2 [ɛ0 − v(x)]⇒ y(t) implizit bekannt!Anwendung, Ausblick: (z.B. V (x) = − GµMxim Kepler-Problem)v(x) = 1 µ V f(x) , V f (x) = V (x) + L22µx 2 , x = |x|Mathematischer Vorkurs7.2 Weitere Differentialgleichungen der MechanikDer freie Fall7.2 Weitere Differentialgleichungen der MechanikTypische Differentialgleichung der Mechanik:mẍ(t) = F(t, x(t), ẋ(t))(2. Newton’sches Gesetz)Nomenklatur:Differentialgleichung heißt ”autonom“, falls ∂F∂tBeispiele:1. Gleichförmige, geradlinige Bewegung:= 0 giltÇ å3 ungekoppelteautonome Dgln.2. Ordnung( )mẍ = m d 2 x1xdt 2 2 = 0 , Lösung: x(t) = x(0) + ẋ(0)tx 32. Der freie Fall: (g = −gê 3 )( 0mẍ = mg = −mgê 3 = −mg 01Lösung: x(t) = x(0) + ẋ(0)t − 1 2 gt2 ê 3)

Mathematischer Vorkurs7.2 Weitere Differentialgleichungen der MechanikReibung in FlüssigkeitenWeitere Differentialgleichungen der Mechanik3. Reibung (in Flüssigkeiten): F R ∝ −ẋLösungsmethode:mẍ = −Rẋ (R = Reibungskonstante)ẋ ≡ v ⇒ ˙v = − R m vKomponentenweise:( ̂= Zerfallsprozess)˙v i = − R m v i ⇒ v i (t) = v i (0)e −Rt/m ⇒ v(t) = v(0)e −Rt/mDaher Lösung:x(t) − x(0) =4. Reibung∫ t0dt ′ v(t ′ ) = v(0)∫ t0dt ′ e −Rt′ /m = m R ẋ(0) Ä1 − e −Rt/mäÅãin Gasen, allgemein bei: Fhöheren GeschwindigkeitenR ∝ −|v| 2ˆvm ˙v = mẍ = −Rv 2ˆv(v ≡ ẋ , v ≡ |v|)Mathematischer Vorkurs7.2 Weitere Differentialgleichungen der MechanikReibung in GasenWeitere Differentialgleichungen der Mechanik4. Reibung (in Gasen): m ˙v = mẍ = −Rv 2ˆvLösungsmethode:( 1 mv 2) = mv · ˙v = −Rv 2 v · ˆv = −Rv 3 = −R2dEdt = d dt2 √ 2m R = −E −3/2 Ė = d 3/2 dt (2E −1/2 )Lösung für v(t): E = 1 mv 2 →2√ √2 2√ = √ +m v(t) m v(0)E(t) ≡ 1 mv 2 (t) erfüllt die Differentialgleichung2( ) 2E 3/2⇒m√1 1 2R⇒ √ = √ +E(t) E(0) m t 3/2√2Rm 3/2 t ⇒ v(t) = v(0)1 + Rv(0)t/mWähle o.B.d.A.: v(0) = v(0)ê 3 ⇒ v 1 (0) = v 2 (0) = 0 , v 3 (0) = v(0)Lösung:˙v i = d dt (v · ê i) = − R m v(v · ê i) = − R m vv i , v i (0) = v(0)δ i3v i (t) = 0 ∨ − R m v = ˙v i= d v i dt ln |v i|î− R mIntegration:v i (t) = 0 ∨ |v i (t)| = |v i (0)| exp∫ t0 dt′ v(t ′ )ó

Mathematischer Vorkurs7.2 Weitere Differentialgleichungen der MechanikFall mit ReibungWeitere Differentialgleichungen der Mechanik4. Reibung (in Gasen): m ˙v = mẍ = −Rv 2ˆv , Integration:óv i (t) = 0 ∨ |v i (t)| = |v i (0)| expî− R m∫ t0 dt′ v(t ′ )Lösung:v 1 (t) = 0 , v 2 (t) = 0 , v 3 (t) =, v(t) =v(0)1 + Rv(0)t/m5. Fall mit Reibung: F R ∝ −vmẍ = mg − Rẋ , m ˙v = −mgê 3 − RvLösung:x 1,2 (t) wie in Beispiel 3 und˙¯v 3 = ˙v 3 = − R m v 3 − g = − R mDaher: (wie in Beispiel 3)v 3 (t) + mgFazit:Äv 3 + mgRä≡ − R m ¯v 3R = ¯v 3(t) = ¯v 3 (0) e −Rt/m =îv 3 (0) + mgRv 3 (t) = − mg îR+ v 3 (0) + mg óe −Rt/mRIntegration →x 3 (t) = x 3 (0) − mgR t + m Rîv 3 (0) + mgRv(0)1 + Rv(0)t/m!= v(t)óe −Rt/mó(1 − e −Rt/m )Mathematischer Vorkurs7.2 Weitere Differentialgleichungen der MechanikDer ”schwingende Aufzug“Weitere Differentialgleichungen der Mechanik6. Der ”schwingende Aufzug“:mẍ = −mg(t)ê 3 − Rẋ , g(t) = g 0 + A sin ( 2πtTLösungsmethode für x 1,2 (t) : wie in Beispiel 3Lösungsmethode für x 3 (t): ˙v 3 (t) = −g(t) − RÄ v m 3(t) ⇒ä− g(t) = ˙v 3 + R v m 3 = e −Rt/m e Rt/m ˙v 3 + R m eRt/m v 3= e −Rt/m d ä Äe Rt/m v 3 (e Rt/m = integrierender Faktor“)dt”Daher:d ä∫ tÄe Rt/m v 3 = −g(t) e Rt/m ⇒ e Rt/m v 3 = v 3 (0) − dt ′ g(t ′ ) e Rt′ /mdtLösung:v 3 (t) =îv 3 (0)−∫ t0dt ′ g(t ′ ) e Rt′ /m ó e −Rt/m , x 3 (t) = x 3 (0)+0)∫ t0dt ′ v 3 (t ′ )

Mathematischer Vorkurs7.3 Allgemeine LösungsverfahrenDie allgemeine lineare Gleichung & integrierende Faktoren7.3 Allgemeine Lösungsverfahren - die allgemeine lineare GleichungMotivation:(der schwingende Aufzug“)”mẍ = −mg(t)ê 3 − Rẋ , g(t) = g 0 + A sin ( )2πtTLösung: (e Rt/m = integrierender Faktor“)î∫ t ” óv 3 (t) = v 3 (0) − dt ′ g(t ′ ) e Rt′ /me −Rt/m , x 3 (t) = x 3 (0) +Allgemeines Muster:0(allgemeine lineare Gleichung, wichtig!)∫ tdudt = −a(t)u + b(t) , A(t) ≡ dt ′ a(t ′ ) ⇒ Lösung:0b(t) = du[]dt + a(t)u = e−A(t) e A(t) dudt + a(t) eA(t) u = e −A(t) d î óe A(t) uòdtu(t) = e −A(t) ïu(0) +Spezialfall:dudt∫ t0dt ′ e A(t′) b(t ′ )∫ t0dt ′ v 3 (t ′ )(e A(t) = ”integrierender Faktor“)(homogene lineare Gleichung, auch wichtig!)du= −a(t)u ⇒ 0 =dt + a(t)u = · · · = de−A(t)dt⇒ e A(t) u(t) = Konstant = u(0) ⇒ u(t) = u(0)e −A(t)î óe A(t) uMathematischer Vorkurs7.3 Allgemeine LösungsverfahrenDie allgemeine lineare Gleichung & integrierende FaktorenDie allgemeine lineare Gleichung - BeispieleBeispiel 1: [ homogene lineare Gleichung: a(t) = 2t, A(t) = ln(1 + t 2 ) ]1+t 2dudt = − 2t1 + t u ⇒ 0 = du2 dt + a(t)u = · · · = d î óe−A(t) e A(t) udt⇒ e A(t) u(t) = u(0) ⇒ u(t) = u(0)e −A(t) = u(0)e − ln(1+t2) = u(0)1 + t 2Beispiel 2: [ lineare Gleichung: a(t) = b(t) = t , A(t) = 1 2 t2 ]dudu= −tu + t ⇒ t = b(t) =dt dt + a(t)u = · · · = 1 d î óe− 2 t2e 2 1 t2 u∫ dtt òu(t) = e − 1 2ïu(0) î ót2+ dt ′ t ′ e 1 2 t′2 = e − 1 2 t2 u(0) + (e 1 2 t2 − 1)0= 1 + [u(0) − 1] e − 2 1 t2 Alternative methode? Definiere: ū ≡ u − 1 ⇒dūdt = dudt = −tu + t = −t(u − 1) = −tū ⇒ ū(t) = 1 ū(0)e− 2 t2Beispiel 3: [ lineare Gleichung: a(t) = 2 , b(t) = e −t , A(t) = 2t ]du( e 2t u ) d (, e 2t u ) = e tdt = −2u + e−t ⇒ e −t = b(t) = · · · = e −2t ddtdt⇒ e 2t u(t) = u(0) + (e t − 1) , u(t) = [u(0) − 1]e −2t + e −t

Mathematischer Vorkurs7.3 Allgemeine LösungsverfahrenLösung durch VariablentrennungLösung durch VariablentrennungAllgemeine Form einer ”trennbaren“ Differentialgleichung:Lösungsmethode:0 = f (x) + g(y) dyLösung:Beispiel 1:∫dydx = y ′ = − f (x)g(y)ï∫dx!= d dxdx f (x) +∫dx f (x) +dy g(y) = kdydx = y ′ = − y x = − x −1,y −1∫1x + 1 ydy g(y)òdydx = 00 = d dx (ln |x| + ln |y|) = d dx (ln |xy|) ⇒ ln |xy| = k , y = λ xBeispiel 2:dydx = y ′ = 2x(1 + y 2 ) , 2x − 1 dy1 + y 2 dx = 0ddx [x 2 − arctan(y)] = 0 ⇒ x 2 − arctan(y) = k ⇒ y = tan(x 2 − k)Beispiel 3: Das Lotka-Volterra-Modell! Lotka-Volterra-Modell⇒⇒Mathematischer Vorkurs7.3 Allgemeine LösungsverfahrenLösung einer homogenen DifferentialgleichungLösung einer homogenen DifferentialgleichungAllgemeine Form: y ′ = −G ( y)x⇒ definiere z ≡ y xLösung: y ′ = (xz) ′ = z + xz ′ ⇒ 0 = y ′ + G = z + xz ′ + G(z) ⇒1x +dz/dx∫z + G(z) = 0 ⇒ ln |x| +dz1z + G(z) = k , y = xzBeispiel: y ′ = tan(α + ϕ) ⇒ [mit x = ρ cos(ϕ) und y = ρ sin(ϕ)])y ′ = tan(α + ϕ) =tan(ϕ) + t α1 − t α tan(ϕ) = t α + y/x1 − t α y/x = −G( yx, t α ≡ tan(α)Definiere z = y ⇒ G(z) = −(tx α + z)/(1 − t α z) mit∫∫1dzz + G(z) = − 1 − t α zdzt α (1 + z 2 ) = − 1 arctan(z) + 1t ln(1 + z 2 ) + a2 αLösung für z(x): ln |x| − 1t αarctan(z) + 1 2 ln(1 + z 2 ) = kPolarkoordinaten: z = y x= tan(ϕ) , x = ρ cos(ϕ) ⇒ln(ρ) − 1t αϕ = k , ρ = ρ 0 e ϕ/t α(ρ 0 ≡ e k )Form der Integralkurven: logarithmische Spirale!

Mathematischer VorkursAnhangPeano-Axiome der natürlichen ZahlenDie Peano-Axiome der natürlichen Zahlen (1889)1. ∃ 1 ∈ NEs gibt eine natürliche Zahl 12. (∀m ∈ N)(∃! N m ∈ N)Jede natürliche Zahl m hat genau einenNachfolger N m3. (∀m ∈ N)(N m ≠ 1)Es gibt keine natürliche Zahl mit 1 alsNachfolger4. (∀m, n ∈ N)(m ≠ n ⇒ N m ≠ N n )Unterschiedliche natürliche Zahlen habenunterschiedliche Nachfolger5.U ⊂ N , 1 ∈ Um ∈ U ⇒ N m ∈ U⇔ U = N” Induktionsaxiom“ Giuseppe Peano (1858 - 1932)Mathematischer VorkursAnhangDistributivität des VektorproduktsDistributivität des VektorproduktsVektorprodukt distributiv wegen:a × (b + c) = a × (b ⊥ + c ⊥ ) ! = a × b ⊥ + a × c ⊥ = a × b + a × cab ⊥c ⊥b ⊥+ c ⊥a × b ⊥a × c ⊥a × (b ⊥+ c ⊥)Parallelogramme geometrisch ähnlich!

Mathematischer VorkursAnhangDetails zu Logarithmen und ExponentialfunktionenDetails zu Logarithmen und ExponentialfunktionenHerleitung vonln(ab) =ln(a β ) =∫ ab1∫ aβHerleitung von1ßln(ab) = ln(a) + ln(b)ln(a β ) = β ln(a)1a: (mit x ≡ ay)∫dx 1 a∫x = dx 1 ab∫x + dx 1 a∫x = dx 1 bx + dy 1 = ln(a) + ln(b)y∫dx 1 a∫x = dy βy β−1 1ay β = β dy 1 y = β ln(a) (mit x ≡ y β )1ß exp(a + b) = exp(a) exp(b):exp(ab) = [exp(a)] b = [exp(b)] a111Åmitß ãa ≡ ln(α)b ≡ ln(β)exp(a + b) = exp [ln(α) + ln(β)] = exp [ln(αβ)] = αβ = exp(a) exp(b)! = [exp(β)]α[mit α ≡ ln(a)]exp(αβ) = exp [β ln(a)] = exp [ ln(a β ) ] = a β = [exp(α)] βHerleitung von e a+b = e a e b und e ab = (e a ) b = ( e b)a :· · · folgt direkt aus exp(a) = exp(1·a) = [exp(1)] a = e a (∀a ∈ R)Mathematischer VorkursAnhangBeispiele asymptotischen VerhaltensBeispiele asymptotischen VerhaltensEinige Identitäten (∀a > 0):(1) limx→∞x a= 0 (2) limex x→∞Zu (1): (mit x ≡ y/2a)ln(x)= 0 (3) limx a x↓0x a ln(x) = 0f (x) ≡ e x − x − 1 > f (0) = 0 (∀x > 0) wegen f ′ (x) = e x − 1 > 0⇒ e x > x + 1 > x ⇒ e 2ax > x 2a ⇒ e y > ( y2a) 2a(∀x, y > 0)⇒y ae y< (2a)2ay a ⇒ 0 ≤ limy→∞y ae yZu (2): [mit x ≡ ln(y) und a ≡ 1 bin (1)][ln(y)] 1/blimy→∞ yZu (3): [mit x ≡ y −1 in (2)]0 = limy↓0≤ lim (2a) 2a= 0y→∞ y aln(y)= 0 ⇒ lim = 0 (∀b > 0)y→∞ y bln(y −1 )y −a= − limy↓0y a ln(y)

Mathematischer VorkursAnhangHerleitung der KettenregelHerleitung der ”Kettenregel“Standardkettenregel: f ∈ R , x = x ∈ R(g ◦f ) ′ 1(x) = limh→0h= limh→01h[(g ◦f )(x + h) − (g ◦f )(x)] = limh→0[ g(f (x) + hf ′ (x)) − g(f (x)) ]1[g(f (x + h)) − g(f (x))]h{[1= limh→0h g(f (x)) + hg ′ (f (x))f ′ (x) ] − g(f (x)) } = g ′ (f (x))f ′ (x)Verallgemeinerung (x ∈ R m ):[∂ x1 (g ◦f )] (x) = g ′ (f (x))(∂ x1 f )(x)Partielle Ableitung: x = (x 1 , x 2 , . . . x m ) = (x 1 , x >1 ) mit x >1 ≡ (x 2 , . . . x m )f (x 1 + h, x 2 , . . . x m ) − f (x) f (x(∂ x1 f )(x) = lim= lim 1 + h, x >1 ) − f (x)h→0hh→0 hHerleitung der Kettenregel: [ f ∈ R , x = (x 1 , x 2 , . . . x m ) ∈ R m ]1[∂ x1 (g ◦f )] (x) = lim [(g ◦f )(xh→0h 1 + h, x >1 ) − (g ◦f )(x)]1= lim [g(f (x 1h→0h 1 + h, x >1 )) − g(f (x))] = lim [g(f (x) + h(∂h→0h x 1f )(x)) − g(f (x))]{[1= limh→0h g(f (x)) + hg ′ (f (x))(∂ x1 f )(x) ] − g(f (x)) } = g ′ (f (x))(∂ x1 f )(x)Mathematischer VorkursAnhangDas Lotka-Volterra-ModellDas Lotka-Volterra-Modell für den ”Kampf um das Leben“Räuber-Beute-Modell: [A. J. Lotka (1925), V. Volterra (1926)]du 1dt = αu du 21 − au 1 u 2 ,dt = −βu 2 + bu 1 u 2 (α, a, β, b > 0)Gleichgewichtsbedingungen:0 = du 1dt = u 1(α − au 2 ) , 0 = du 2dt = u 2(−β + bu 1 )Mögliche Gleichgewichtslösungen:∣∣ u 1 = 0 oder u 2 = α/a⇒u 2 = 0 oder u 1 = β/bÅ 00ãResultat:Notation:u i =ßu1 = 0 ⇒ u 1 ≠ β/b ⇒ u 2 = 0u 2 = α/a ⇒ u 2 ≠ 0 ⇒ u 1 = β bÅ ã β/bα/aund u s =(Abweichung von der Gleichgewichtslösung)Å ã Å ãx1 u1 − β/b=x 2 u 2 − α/a

Mathematischer VorkursAnhangDas Lotka-Volterra-ModellDas Lotka-Volterra-ModellBewegungsgleichungen für x 1 (t) und x 2 (t):Å ãx1∣ã=x 2Åu1 − β/bu 2 − α/a⇒∣ ẋ1 = ˙u 1 = u 1 (α − au 2 ) = −ax 2 (β/b + x 1 )ẋ 2 = ˙u 2 = u 2 (−β + bu 1 ) = bx 1 (α/a + x 2 )Differentialgleichung für x 2 (x 1 ):dx 2 /dtdx 1 /dt = − bx 1(α/a + x 2 )ax 2 (β/b + x 1 )!= dx 2dx 1;dx 1dt= −ax 2 (x 1 )(β/b + x 1 )Lösung durch Variablentrennung: [ mit f (y) ≡ y − ln(1 + y) ]äó != x 2x 1ad îαfdx 1Ä aα x 2ïdx 2= −b = −b 1 − β/b òα/a + x 2 dx 1 β/b + x 1β/b + x 1ñ ô1= −b 1 −1 + b x = − d ßbïx 1 − β Åβ 1 dx 1 b ln 1 + b ãòβ x 1= − d ß ï Å bβdx 1 β x 1 − ln 1 + b ãòβ x 1 = − d ï Å bβf 1ãòdx 1 β xMathematischer VorkursAnhangDas Lotka-Volterra-ModellDas Lotka-Volterra-ModellFazit: [ mit f (y) ≡ y − ln(1 + y) ]ïd Ä Å a b Ä Å a bαf 2ädx 1 α x + βf 1ãòβ x = 0 ⇒ αf 2äα x + βf 1ãβ x = konstantBeispiel: [ kleine Abweichungen x von u s : f (y) ∼ 1 y 2 (y → 0) ]2òã12ï a2α x 2 2 + b2β x 2 1= 1 2 α Ä aα x 2ä 2+12 β Å bβ x 1ã 2= konstantÅPopulationszyklen!