Höhere Mathematik A für Elektrotechniker

Wichtige Operationen, die aus Mengen M und N neue Mengen bilden, sind Durchschnitte,Vereinigungen und Differenzen:M ∩ N := {x ∣ ∣ x ∈ M und x ∈ N},M ∪ N := {x ∣ ∣ x ∈ M oder x ∈ N},M \ N := {x ∈ M ∣ ∣ x /∈ N}.Beispiele mit Intervallen:[1,3] ∩ [2,4] = [2,3], [1,3] ∪ [2,4] = [1,4], [1,4] \ [2,3[= [1,2[∪[3,4].Die leere Menge /0 ist dadurch charakterisiert, dass sie keine Elemente hat. Für jede Menge Mgilt M \ M = /0.Die Sprache der Mengenlehre wir oft benutzt, um Lösungsmengen von Gleichungen oder vonUngleichungen anzugeben. Beispiele sind M 4 und{x ∈ R ∣ ∣1x + 4 ≥ 13x + 2 } =] − 4,−3 2 [∪[1,∞[,wobei hier die Menge „ausgerechnet“ wurde.Punkte der Ebene oder des Raumes sind durch Paare (x,y) oder Tripel (x,y,z) bestehendaus Koordinaten x,y,z ∈ R gegeben. Man schreibt (x,y) ∈ R 2 bzw. (x,y,z) ∈ R 3 . Hier liegenBeispiele für das kartesische Produkt von Mengen vor:M × N := {(x,y) ∣ ∣ x ∈ M und y ∈ N}, M 2 := M × M.Das kartesische Produkt einer (Einheits-)Kreislinie L = {(x,y) ∈ R 2 ∣ ∣ x 2 + y 2 = 1} mit einemIntervall I = [a,b] ist ein ZylindermantelZ := L × I = {(x,y,z) ∈ R 3 ∣ ∣ x 2 + y 2 = 1 und a ≤ z ≤ b}der Höhe h := b − a > 0. Die Anordung reeller Zahlen ist vollständig „kodiert“ in der Menge{(x,y) ∈ R 2 ∣ ∣ x < y}.Der Mengenlehre liegen Axiome zugrunde, die wir hier nicht im Einzelnen darlegen wollen.Aus ihnen leitet man Gesetze für das Rechnen mit Mengen, beispielsweise den folgendeneinfachen Satz.3.1 Satz. Seien M, N und P Mengen. Dann gilt M ∩ (N ∪ P) = (M ∩ N) ∪ (M ∩ P):Beweis (nur eine Richtung). Wir zeigen zuerst, dass gilt:M ∩ (N ∪ P) ⊆ (M ∩ N) ∪ (M ∩ P). (3)Sei dazu x ein beliebiges Element der linken Menge, d.h. x ∈ M ∩ (N ∪ P). Dann gelten x ∈ Mund x ∈ N ∪P. Es liegt einer der beiden Fälle vor: x ∈ N oder x ∈ P (nichtausschließliches Oder!).Im ersten Fall folgt x ∈ M ∩ N, im zweiten x ∈ M ∩ P. Auf jeden Fall gilt x ∈ (M ∩ N) ∪ (M ∩9