Höhere Mathematik A für Elektrotechniker

Mengen sind die Grundbausteine der modernen Mathematik; sogar einzelne Zahlen und Funktionenfasst man als Mengen auf. Primär begegnen uns Mengen aber als Zusammenfassungenvon Objekten, Element der Menge genannt, zu einem Ganzen. Man gibt eine Menge oft durchAufzählung ihrer Elemente an, z.B.:M 1 := {2,−7, √ 2,π},M 2 := {a,b,c,...,x,y,z}.Strenggenommen ist dies nur für endliche Mengen möglich; aber N := {1,2,3,...} wird auchverstanden. Allgemein gibt man Mengen dadurch an, dass man angibt, welche Eigenschaft ihreElemente erfüllen: {x ∣ ∣ A(x)} ist die Menge aller Elemente, für die die Aussage A(x) wahr ist.Beispiele:M 3 := {x ∈ N ∣ ∣ x ist Primzahl}, M4 := {x ∈ R ∣ ∣ 2sin(x 2 ) = 1}.Durch diese Definitionen sind die Mengen eindeutig spezifiziert; das heißt aber noch nicht, dassdiese Mengen schon „bekannt“ sind. Man überlegt sich, dass M 3 und M 4 unendliche Mengensind.Eine Menge M ist Teilmenge einer Menge N, in Zeichen: M ⊆ N, wenn alle Elemente vonM auch Elemente von N sind. (Man nennt N dann eine Obermenge von M.) Unter Verwendungvon der Elementbeziehung ∈ und von logischen Symbolen schreibt man dies wie folgt:M ⊆ N : ⇐⇒ (∀x : x ∈ M =⇒ x ∈ N).Es bedeuten ⇐⇒ „genau dann, wenn“, ∀ „für alle“, und A =⇒ B heißt, dass aus der Wahrheitder Aussage A auch folgt, dass B wahr ist. Aussagen sind sinnvoll formuliert, sie sind entwederwahr oder falsch. Die obige Formelzeile ist eine Definition dafür, wann die Aussage M ⊆ Nwahr ist. Rechts von : ⇐⇒ steht eine Aussage, die aus dem Allquantor ∀ und (Teil-)Aussagenaufgebaut ist. Wir verwenden auch den Existenzquantor ∃ „es gibt“, z.B. istM 5 := {x ∈ N ∣ ∣ ∃y ∈ N : x = y 2 }die Menge aller Quadratzahlen: M 5 = {1,4,9,16,...}. Zwei Mengen sind gleich, wenn sie dieselbenElemente haben; es gilt alsoM = N ⇐⇒ (M ⊆ N und N ⊆ M),wobei wir das logische „Und“ verwendet haben. Gilt M ⊆ N aber nicht M = N, so schreibt manauch M ⊂ N. Die Reihenfolge der Elemente einer Menge ist nicht festgelegt – eine Anordnungwie die von R ist eine zusätzliche Struktur!– und es treten keine Duplikate von Elementen auf.Die bekannten Zahlenmengen treten ständig auf:N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C.Wir kennen bereits spezielle Teilmengen von diesen, z.B. Intervalle als Teilmengen von R undKreisscheiben als Teilmengen von C.8