Höhere Mathematik A für Elektrotechniker

Das Maximum und das Minimum reeller Zahlen a ist b gegeben durch{{a, wenn a ≥ b,a, wenn a < b,max{a,b} =, min{a,b} =b, sonstb, sonstEinige Eigenschaften: min{a,b} ≤ a,b ≤ max{a,b}, max{a,b} = −min{−a,−b}.Der (Absolut-)Betrag einer reellen Zahl a ist die nichtnegative Zahl |a| = max{a,−a}. DerBetrag |a| ist der Abstand längs der Zahlengeraden von a zum Nullpunkt 0. Einige Eigenschaften:|a| ≥ 0, |a| = | − a|, |ab| = |a||b|, die Dreiecksungleichung:|a + b| ≤ |a| + |b|,z.B. |(−3) + 4| < |(−3)| + |4|, |3 + 4| = |3| + |4|. Der Betrag einer komplexen Zahl ist folgendenichtnegative reelle Zahl:|z| := √ √z¯z = (Rez) 2 + (Imz) 2 .Für reelles z stimmt der Wert des Betrages mit dem vorher definierten Wert überein. Der Betraghat auch in der komplexen Zahlenebene die Bedeutung des geometrischen Abstandes des Punktesvom Nullpunkt; dies zeigt der Satz von Pythagoras. Offenbar gelten: Rez,Imz ≤ |z|, |z| = |¯z|.Es ist |z| > 0 genau dann, wenn z ≠ 0 ist. Für z,w ∈ C gelten |zw| = |z||w| (Homogenität) und|z + w| ≤ |z| + |w| (Dreiecksungleichung). (2)Der Beweis für die Dreiecksungleichung ergibt sich aus folgender Rechnung|z + w| 2 = (z + w)(z + w) = z¯z + z ¯w + w¯z + w ¯w= |z| 2 + 2Re(z ¯w) + |w| 2 ≤ |z| 2 + 2|z||w| + |w| 2 = (|z| + |w|) 2 .Für das Dreieck in der komplexen Ebene den Eckpunkten 0, z und z + w besagt (2) gerade,dass die Länge einer Dreiecksseite nicht größer sein kann als die Summe der Längen der beidenanderen Dreiecksseiten. Daher rührt der Name Dreiecksungleichung.Mit Hilfe des Betrages kann man die Kreisscheibe mit Mittelpunkt z 0 ∈ C und Radius r > 0wie folgt angeben:K r (z 0 ) = {z ∈ C ∣ ∣ |z − z 0 | < r}.Dies ist eine sogenannte offene Kreisscheibe. Man nennt D = K 1 (0) die Einheitskreisscheibe(engl. unit disk).3 Die Sprache der MathematikWir haben bisher einige Aspekte des Rechnens mit Zahlen behandelt. Manuelles Rechnen mitkonkreten Zahlenwerten ist nützlich, um sich mit Rechengesetzen vertraut zu machen; diese Tätigkeitist aber nicht repräsentativ für die Beschäftigung mit Mathematik. Außer Zahlen spielennoch andere Objekte wie Funktionen und Mengen eine zentrale Rolle. Rechengesetze und andereSätze der Mathematik sind wahre Aussagen, für die man einen Beweis hat. Hierauf beruhtdie Sicherheit im Umgang mit Zahlen, Funktionen u.A.7