Höhere Mathematik A für Elektrotechniker

(v) Aus 0 < a < b und 0 < c < d folgt ac < bd. (Denn: ac < bc < bd.)(vi) Sind 0 ≤ a,b, dann gilt a 2 < b 2 genau dann, wenn a < b gilt. (Wende z.B. die dritte binomischeFormel an.)Das Rechnen mit Ungleichungen ist meist weniger gut geläufig als das Rechnen mit Gleichungen.In der Regel muss man mit Fallunterscheidungen arbeiten, um eine vollständige Lösung zuerhalten. Wir illustrieren dies an einem Beispiel.2.1 Beispiel. Für welche reellen Zahlen x gilt folgende Ungleichung?2x + 1x − 1 < 1 (1)Es sind verschiedene Fälle zu unterscheiden, je nach Vorzeichen des Nenners mit dem erweitertwird. Die äquivalenten Umformungen werden mit dem logischen Symbol ⇐⇒ abgekürzt;dabei bedeutet „A ⇐⇒ B“, dass die Aussage A genau dann wahr ist, wenn B dies ist. Wirunterscheiden für x ∈ R folgende Fälle:1. Fall x > 1: Dann sind x − 1 und sein Kehrwert positive Zahlen, und es gilt2x + 1x − 1In diesem Fall gibt es keine Lösung.2. Fall x < 1: Dann gilt2x + 1x − 1< 1 ⇐⇒ 2x + 1 < x − 1 ⇐⇒ x < −2.< 1 ⇐⇒ 2x + 1 > x − 1 ⇐⇒ x > −2.Die Zahlen x mit −2 < x < 1 erfüllen die Ungleichung.3. Fall x = 1: Ausgeschlossen wegen der Unmöglichkeit einer Division durch 0.Ergebnis: Die Ungleichung (1) gilt genau dann wenn −2 < x < 1.Fallunterscheidungen sind notwendig, weil in den zu unterscheidenden Fällen verschiedenargumentiert werden muss.Lösungsmengen von Ungleichungen drückt man oft bequem mit Hilfe von Intervallen aus.2.2 Definition. Ein Intervall ist eine Teilmenge I ⊆ R, die mit zwei Punkten aus I auch alleZwischenpunkte enthält. Genauer gilt: Sind a,b ∈ I mit a < b und ist x ∈ R mit a < x < b,dann ist auch x ∈ I. Wenn nichts anderes gesagt wird, dann setzen wir voraus, dass ein Intervallmindestens zwei Punkte enthält.Beispiele für Intervalle sind[a,b] := {x ∈ R ∣ ∣ a ≤ x ≤ b},]a,b[ := {x ∈ R ∣ ∣ a < x < b},]a,b] := {x ∈ R ∣ ∣ a < x ≤ b},wobei a < b. Die reelle Zahlengerade R =]−∞,∞[ ist auch ein Intervall. Die Lösungsmenge derim obigen Beispiel untersuchten Ungleichung kann nun prägnant angegeben werden:{x ∈ R ∣ 2x + 1 }x − 1 < 1 =] − 2,1[6