Höhere Mathematik A für Elektrotechniker

Sie hat die Lösungen√λ 1,2 = −δ ± δ 2 − ω0 2.Anhand des Vorzeichen der Diskrimante D = δ 2 − ω0 2 unterscheidet man drei Fälle.Schwingfall δ < ω 0 : Es liegt eine gedämpfte Schwingung mit der Kreisfrequenz ω vor:√x(t) = Ce −δt sin(ωt + ϕ), ω = ω0 2 − δ 2 .Zahlenbeispiel: ẍ + 4ẋ + 13x = 0 mit x(t) = Ce −2t sin(3t + ϕ). Die Konstanten C und ϕsind aus den Anfangswerten zu bestimmen. Beispielsweise folgen aus x(0) = 0 und ẋ(0) =1: C = 1/3 und ϕ = 0.Dämpfungsfall δ > ω: Hier sind λ 1,2 < 0, und die Lösung ist (stark) gedämpft ohne Schwingungsverhalten:x(t) = C 1 e λ 1t +C 2 e λ 2t .Kriechfall δ = ω: Hier ist die Lösungx(t) = (C 1 +C 2 t)e −δt .In den Beispielen 22.2 haben wir die SchwingungsgleichungLCÏ + RCİ + I = 0für einen elektrischen LCR-Schwingskreis angegeben. Der Schwingsfall tritt ein, wenn R 2 C