Höhere Mathematik A für Elektrotechniker

heißt homogene lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizientena,b ∈ R. Eine Lösung hierfür ist eine Funktion y ∈ C 2 (R), x ↦→ y(x), welche y ′′ (x) + ay ′ (x) +by(x) = 0 für alle x ∈ R erfüllt. Allgemeiner versteht man unter einer linearen DGL der Ordnungn eine Gleichunga n (x)y (n) + ··· + a 1 (x)y ′ + a 0 (x)y = g(x). (20)Die Koeffizienten a j und die Störfunktion g sind gegebene stetige Funktionen auf einem IntervallI ⊆ R. (Damit die Ordnung der DGL gleich n ist, muss a 0 ≠ 0 sein.) Ist g = 0, dann heißt (20)homogen, anderenfalls inhomogen.23.1 Satz. Sind y 1 (x) und y 2 (x) Lösungen der derselben homogenen DGL, d.h. Lösungen von(20) mit g(x) = 0, dann ist für alle Konstanten C 1 ,C 2 ∈ R die durch y(x) = C 1 y 1 (x) +C 2 y 2 (x)gegebene Funktion ebenfalls eine Lösung der homogenen DGL. Die Differenz zweier Lösungeneiner inhomogenen DGL (mit derselben Störfunktion) ist eine Lösung der zugehörigen homogenenDGL.Sind die Koeffizienten keine Funktionen, die von der unabhängigen Variablen abhängen, sondernreelle Zahlen, dann spricht man von einer linearen DGL mit konstanten Koeffizienten.Wir betrachten homogene lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten:a n y (n) + a n−1 y (n−1) + ··· + a 1 y ′ + a 0 y = 0, (21)wobei a n ≠ 0. (Ohne Einschränkung kann man a n = 1 voraussetzen.) Man löst diese DGL miteinem e-Ansatz. Die Funktion y(x) = e λx ist genau dann eine Lösung von (21), wenn λ eineNullstelle des zur DGL gehörigen charakteristischen Polynomsp(λ) := a n λ n + a n−1 λ n−1 + ··· + a 1 λ + a 0 (22)ist: p(λ) = 0. Dies folgt aus folgendem Resultat, das man direkt nachrechnet.23.2 Satz. Für y(x) = e λx gilta n y (n) (x) + a n−1 y (n−1) (x) + ··· + a 1 y ′ (x) + a 0 y(x) = p(λ)e λx . (23)23.3 Beispiele. DGLen für die man alle Lösungen mittels e-Ansatz findet:(i) y ′ + ay = 0. Die einzige Nullstelle des charakteristischen Polynom ist λ = −a. Durchy(x) = Ce −ax ist die allgemeine Lösung gegeben.(ii) y ′′ +4y ′ +3y = 0; das charakteristische Polynom lautet p(λ) = λ 2 +4λ +3. Die Nullstellender charakteristischen Gleichung sind λ 1 = −1 und λ 2 = −3. Man erhält die Lösungen:y(x) = C 1 e −x +C 2 e −3x .(iii) y ′′′ − 6y ′′ + 11y ′ − 6y = 0. Man erhält die Lösungen:y(x) = C 1 e x +C 2 e 2x +C 3 e 3x .56