Höhere Mathematik A für Elektrotechniker

hat an der Stelle x = x 1 den Wert y 1 = y(x 1 ), wobei∫ x1x 0g(x) dx =∫ x1x 0y ′ (x)h(y(x)) dx = ∫ y1y 01h(y) dygilt. Dies ist eine Gleichung für y 1 . Im Falle eines homogenen linearen Anfangswertproblemsy ′ + a(x)y = 0, y(x 0 ) = y 0kann man die Lösung in folgender Form hinschreiben:y(x) = y 0 e −∫ xx0 a(s) ds .Es gibt interessante Problemstellungen, die auf DGLen mit getrennten Variablen führen.22.6 Beispiel. Endgeschwindigkeit eines aus dem Stand konstant beschleunigten Autos. Bewegungsgleichungmit Anfangsbedingung:mv ′ = K − wv 2 , v(0) = 0,wobei v = v(t) die Momentangeschwindigkeit, m > 0 die Masse, K die Beschleunigungskraftund w > 0 der Luftwiderstand ist. Lösung Anfangswertproblems durch Trennung der Variablen:∫ v(T )0m dvK − wv 2 = ∫ TMit der Substitution u(t) = √ w/Kv(t) erhalten wir:∫ v(T )0m dvK − wv 2 = m √ ∫ K u(T ) duK w 0 1 − u 2= m2 √ Kw ln∣ ∣ u + 1∣u − 1 ∣0u(T )Hier wurde das Integral mit Hilfe einer PBZ berechnet:∫2∫duu 2 − 1 =0∫duu − 1 −1 dt = T.= m2 √ Kw ln∣ ∣ v(T ) + √ K/wv(T ) − √ ∣∣.K/wduu + 1 = ln∣ ∣ u − 1 ∣∣.u + 1Für T → ∞ muss der Logarithmus auch gegen Unendlich gehen. Das ist nur möglich, wennv(T ) → v ∞ = √ K/w gilt.23 Homogene lineare Differentialgleichungen mit konstantenKoeffizientenEine DGL der Gestalty ′′ + ay ′ + by = 055