Höhere Mathematik A für Elektrotechniker

Wir betrachten eine spezielle Klasse von DGLen, nämlich die mit getrennten Variablen. Diessind DGLen der Formy ′ = g(x)h(y) mit h(y) ≠ 0.Hierfür ist ein Lösungsrezept vorhanden:y ′ = g(x)h(y) ⇐⇒ dy = g(x)h(y) ⇐⇒dydx∫ ∫dy⇐⇒h(y) = g(x) dx;berechne die Integrale, und löse nach y auf: y = y(x).22.4 Beispiele. Lösung durch Trennung der Variablen x und y:(a) Lösung y(x) > 0 von y ′ = xy:∫ dyy = ∫Lösung durch Exponentieren: y(x) = e C e x2 /2(b) Vorgelegt sei die Anfangswertaufgabe für y = y(t):Die eindeutige Lösung ist:Eine DGL der Gestalt= g(x) dxh(y)x dx ⇐⇒ ln|y| = 1 2 x2 +C.y ′ = e y sint, y(0) = 1.y(t) = −ln(e −1 − 1 + cos(t)).y ′ + a(x)y = 0heißt homogene lineare DGL erster Ordnung. Gegeben ist die Koeffizientenfunktion a ∈ C(I);gesucht ist eine (die allgemeine) Lösung y ∈ C 1 (I). Hier liegt ein spezieller Typ von DGLen mitgetrennten Variablen vor. Gemäß obigem Vorgehen löst man die DGL wie folgt:∫ dyy = ∫a(x) dx =⇒ y(x) = e −∫ a(x) dx .22.5 Beispiele. (i) Das Anfangswertproblem y ′ +y/x 2 = 0, y(1) = 2 hat die Lösung y = 2 e e1/x .(ii) Die DGL (1 + x 2 )y ′ = y hat die Lösung y = e arctanx .Man kann die Lösungsmethode bei DGLen mit getrennten Variablen auch mittels bestimmterIntegration und die Substitutionsregel herleiten: Eine Lösung y(x) eines Anfangswertproblemsy ′ = g(x)h(y), y(x 0 ) = y 054