Höhere Mathematik A für Elektrotechniker

(c) x 2 y ′′′ y ′ +2e x y ′′ +x 2 y 5 +cos(x 2 ) ist eine DGL dritter Ordnung. Ich kenne keine Lösung dieserDGL.Wir befassen uns ausschließlich mit gewöhnlichen Differentialgleichungen. Bei diesen sinddie gesuchten Lösungen Funktionen einer unabhängigen Variablen, y : I → R n wobei I ⊂ R einIntervall ist. Meist betrachten wir skalare DGLen, bei denen n = 1 gilt. Differentialgleichungenfür Funktionen, die von mehreren unabhängigen Variablen (typisch: Ortsvariablen und Zeit)abhängen, heißen partielle Differentialgleichungen. Mit diesen können wir uns jetzt noch nichtbefassen. DGLen kommen in den Naturwissenschaften und in der Technik sehr häufig vor, dennsie sind oft genau die Formulierung relevanter Gesetze, wie die der Energie-, Massen- oderImpulserhaltung.22.2 Beispiele. Einige Differentialgleichungen aus Anwendungen.(i) ṁ(t) = −km(t) ist die DGL für den radioaktiven Zerfall mit Zerfallsrate k > 0. Hier istm(t) die Masse der radioaktiven Substanz zur Zeit t, ṁ(t) := d dtm(t) die Ableitung (Änderungsrate).Die allgemeine Lösung hat die Form m(t) = m(0)e −kt .(ii) Newton’sche Bewegungsgleichungen in einem räumlichen Kraftfeld −→ F : R 3 → R 3 :m d2dt 2 −→ x =−→ F (−→ x ),−→ x : R → R 3 .(iii) Für einen elektrischen LRC-Schwingkreis gelten nach den Kirchhoff’schen Regeln:U C +U L +U R = 0, C ˙U C = I, Lİ = U L , U R = RI.Dies führt auf die SchwingungsgleichungLCÏ + RCİ + I = 0,eine DGL zweiter Ordnung für den Strom I = I(t):Wir befassen uns in diesem Abschnitt mit einigen speziellen Lösungsmethoden für skalareDGLen erster Ordnung, welche von der allgemeinen Form y ′ (x) = f (x,y(x)) sind. Um eindeutigeLösungen zu erhalten, fordert man zusätzlich oft das Erfülltsein einer Anfangsbedingung:y ′ = f (x,y), y(x 0 ) = x 0 .Die Funktion f : G ⊆ R 2 → R und der Anfangswert (x 0 ,y 0 ) ∈ G sind gegeben; eine differenzierbareLösungsfunktion y : I ⊆ R → R ist gesucht.22.3 Beispiele. Folgende Differentialgleichungen sind uns bekannt:(i) y ′ = 0 ist die einfachste DGL; ihre Lösungen sind die konstanten Funktionen.(ii) y ′ = f (x) zu lösen ist gerade die Aufgabe der unbestimmten Integration; die gesuchtenLösungen sind gerade die Stammfunktionen von f .(iii) y ′ = y hat die Exponentialfunktion y = e x als (bis auf Vielfache einzige) Lösung; dies isteine der fundamentalsten DGLen.53