Höhere Mathematik A für Elektrotechniker

(iii) Taylorentwicklung von y = x 3 um x 0 = 1 bis zum Polynomgrad 3:x 3 = 1 + 3(x − 1) + 3(x − 1) 2 + (x − 1) 3 .Die rechte Seite ist Binomialformel für x 3 = (1 + (x − 1)) 3 . Das Restglied ist in diesemFalle Null.Ist f ∈ C ∞ (I) und x 0 ∈ I =]a,b[, dann giltf (x) =∞∑k=01k! f (k) (x 0 )(x − x 0 ) k (19)falls lim n→∞ R n (x) = 0 gilt. Man nennt die Reihe die Taylorreihe von f um den Entwicklungspunktx 0 . Für sogenannte analytische Funktionen f gilt die Reihendarstellung (19) für alle x ∈ Imit |x − x 0 | < R, wobei R > 0 der sogenannte Konvergenzradius der Reihe ist.Beispiele: Die Exponentialreihe ist die Taylorreihe der Exponentialfunktion. Die geometrischeReihe ist die Taylorreihe für y = 1/(1 − x); ihr Konvergenzradius ist R = 1.Von den vielen Anwendungen der Taylorformel betrachten hier nur noch Folgende:21.3 Satz. Sei f ∈ C n (I), I =]a,b[ und n > 1. Sei x 0 ∈ I mitf ′ (x 0 ) = 0, ..., f (n−1) (x 0 ) = 0, f n (x 0 ) ≠ 0.In x 0 liegt genau dann eine lokale Extremstelle vor, wenn n gerade ist; dabei ist die Extremstelleein Minimum (bzw. ein Maximum), wenn f n (x 0 ) > 0 (bzw. f n (x 0 ) < 0) gilt.Zum Beweis verwendet man die Taylorentwicklung bis zum Polynomgrad n − 1. Aus denVoraussetzungen folgt:f (x) = f (x 0 ) + 1 n! f (n) (z)(x − x 0 ) n .Da f (n) stetig ist, hat f (n) (z) dasselbe Vorzeichen wie f (n) (x 0 ), wenn x nahe bei x 0 liegt. Manüberlegt sich dann leicht, dass f (x) < f (x 0 ) gilt für 0 < |x − x 0 | < δ, wenn δ > 0 klein genuggewählt wird, und f (n) (x 0 ) < 0 ist. Ähnlich zeigt man die anderen Behauptungen.22 Einführung in gewöhnliche DifferentialgleichungenDifferentialgleichungen (DGLen) sind Gleichungen für Funktionen, d.h. die gesuchten Lösungensind nicht Zahlen, sondern (differenzierbare) Funktionen. In diesen Gleichungen treten nebenden gesuchten Funktionen auch einige ihrer Ableitungen auf. Die höchste auftretende Ableitungsordnungnennt man die Ordnung der Differentialgleichung.22.1 Beispiele. Hier sind Differentialgleichungen für y : R → R, x ↦→ y(x):(a) yy ′ = x ist eine DGL erster Ordnung. Die Funktion y(x) = x ist eine Lösung.(b) y ′′ + 4y = 0 ist eine DGL zweiter Ordnung; y(x) = cos(2x) aber auch y(x) = sin(2x) sindLösungen dieser DGL, y(x) = x ist dagegen keine Lösung.52