Höhere Mathematik A für Elektrotechniker

Das folgende Polynom in x,T n (x) = T n (x;x 0 , f ) :=n1∑j=0j! f ( j) (x 0 )(x − x 0 ) j ,heißt Taylorpolynom n-ten Grades von f bezüglich des Entwicklungspunktes x 0 . Man kann dieTaylorformel (16) auch so schreiben:f (x) = T n (x) + R n (x), R n (x) :=1(n + 1)! f (n+) (z)(x − x 0 ) n+1 .Man nennt R n (x) das Restglied der Taylorformel. Eine präzise Darstellung des Restgliedes istdie Integralformel∫ xR n (x) = 1 (x −t) n f (n+1) (t) dt. (17)n! x 0Entsprechend hat man folgende Alternative zu (16), in der keine unbekannte Zwischenstelleauftritt:f (x) = f (x 0 ) + f ′ (x 0 )(x − x 0 ) + ··· + 1 n! f (n) (x 0 )(x − x 0 ) n+ 1 ∫ x(18)(x −t) n f (n+1) (t) dt.n! x 0Im Falle n = 0 ist (18) genau die Formel des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung,und (16) ist dann der MWS der Differentialrechnung. Die Taylorformel (16) folgt (18) mit einerVariante des Mittelwertsatzes der Integralrechnung, die hier aber nicht formuliert werden soll.Eine partielle Integration im Integral (17) liefert:R n (x) =1(n + 1)! f (n+1) (x 0 )(x − x 0 ) n+1 + R n+1 (x).Dies ist i.W. der Induktionsschritt für einen Beweis von (18) mittels vollständiger Induktion übern.Man benutzt die Taylorformeln (16) und (18), welche auch Taylorentwicklungen genannt werden,um eine gegebene Funktion y = f (x) in der Nähe des Entwicklungspunktes x 0 durch ihrTaylorpolynom y = T n (x) anzunähern oder sogar zu ersetzen. Das Restglied R n (x) gibt die Genauigkeitder Näherung bzw. den Ersetzungsfehler an.21.2 Beispiele. Beispiele für Taylorentwicklungen Restglied in der in (16) verwendeten Lagrange’schenForm:(i) Die Exponentialfunktion um den Entwicklungspunkt x 0 = 0:e x = 1 + x + 1 2 x2 + ··· + 1 n! xn + e z 1(n + 1)! xn+1 .(ii) Taylorentwicklung von y = sinx um x 0 = 0 bis zum Polynomgrad 7:sinx = x − x33! + x55! − x77! + sin(z)x8 8! .Wegen |sinz| ≤ 1 folgt hieraus die Abschätzung |sinx − T 7 (x)| ≤ |x| 8 /8!.51