Höhere Mathematik A für Elektrotechniker

5x + 120.6 Beispiel.x 2 + x − 6 = 5x + 1(x − 2)(x + 3) = Ax − 2 + Bx + 3 .Die Koeffizienten A und B der PBZ bestimmt man ausMan erhält A = 11 5∫ 435x + 1 = A(x + 3) + B(x − 2).14und B =5. Damit erhält man beispielsweise5x + 1x 2 + x − 6 dx = 11 521 Die Taylorformel∫ 43dxx − 2 + 14 ∫ 4 dx5 3 x + 3 = 115 ln(x − 2)|4 3 + 145 ln(x + 3)|4 3Die Tangente einer differenzierbaren Funktion ist eine Näherung an die Funktion:f (x) ≈ f (x 0 ) + f ′ (x 0 )(x − x 0 ) für x ≈ x 0 .Wie gut ist diese Näherung tatsächlich? Kann man den Fehler abschätzen, den man begeht,wenn man f durch seine Tangente ersetzt? Ist f zweimal differenzierbar mit stetiger zweiterAbleitung, dann liefert folgender Spezialfall der Taylor’schen Formel ein Antwort:f (x) = f (x 0 ) + f ′ (x 0 )(x − x 0 ) + 1 2 f ′′ (z)(x − x 0 ) 2 , (15)wobei z = x 0 + θ(x − x 0 ), 0 < θ < 1, eine (i.A. unbekannte) Stelle zwischen x 0 und x ist. Mitbeweist (15) z.B. mit folgender Rechnung:∫ x ∫ xf (x) − f (x 0 ) = f ′ (t) dt = 1 · f ′ (t) dt = (t − x) f ′ (t) ∣ ∫ xx − (t − x) · f ′′ (t) dtxx 0 x 0 0 x 0= (x − x 0 ) f ′ (x 0 ) + f ′′ (z)∫ xx 0(x −t) dt = (x − x 0 ) f ′ (x 0 ) + f ′′ (z) 1 2 (x − x 0) 2 .Es ist nützlich, Bezeichnungen für Mengen von Funktionen zu haben. Sei I ⊂ R ein Intervall.Mit C(I) bezeichnet man die Menge aller stetigen Funktionen f : I → R. Für k ∈ N bezeichnetC k (I) die Menge aller k-mal differenzierbaren Funktionen f : I → R mit stetiger k-ter Ableitungf (k) : I → R. Funktionenf ∈ C ∞ (I) := ∩ k∈N C k (I)nennt man beliebig oft differenzierbar.Beispiele: exp,sin ∈ C ∞ (R), ln ∈ C ∞ (R + ); y = |x| 3 liegt in C 2 (R), aber nicht in C 3 (R).21.1 Satz (Taylorformel). Sei I =]a,b[, x 0 ∈ I. Sei f ∈ C n+1 (I). Zu x ∈ I gibt es eine zwischenx 0 und x gelegene Stelle z, sodass giltf (x) = f (x 0 ) + f ′ (x 0 )(x − x 0 ) + ··· + 1 n! f (n) (x 0 )(x − x 0 ) n+1(n + 1)! f (n+1) (z)(x − x 0 ) n+1 .(16)50