Höhere Mathematik A für Elektrotechniker

Eine komplexe Zahl z is genau dann reell, wenn z = ¯z gilt.Jede komplexe Zahl z ≠ 0 besitzt genau zwei Quadratwurzeln w und −w, z = w 2 = (−w) 2 .Beispiel: j hat die Wurzeln ± 1 √2(1 + j). Die allgemeine Existenz von Qudaratwurzeln zeigenwir später, wenn die Polardarstellung komplexer Zahlen zur Verfügung steht. Die bekannte „pq-Formel“z ± = −p ± √ p 2 − qführt die Lösung einer quadratischen Gleichung z 2 + 2pz + q = 0 auf das Ziehen einer Qudratwurzelzurück. Sie gilt sinngemäß auch im Komplexen, denn die Gleichung ist gleichwertig zu(z + p) 2 + q = p 2 . Die hier benutzte quadratische Ergänzung gilt so in jedem Körper.Ein Beispiel: Die quadratische Gleichung z 2 + 2 jz − 2 = 0 hat die Lösungen z ± = − j ± 1. Dadie Koeffizienten nicht reell sind, sind die Lösungen nicht konjugiert-komplex.Für eine natürliche Zahl n und eine komplexe Zahl z ist die n-te Potenz z n ∈ C das n-facheProdukt von z mit sich selbst. Man setzt z 0 := 1. Es gilt der Fundamentalsatz der Algebra: JedesPolynom Über den komplexen Zahlen zerfällt vollständig in Linearfaktoren:z n + a 1 z n−1 + ··· + a n z 0 = (z − z 1 )···(z − z n ).Wenn die Koeffizienten a j reell sind, muss dies für Nullstellen z k nicht so sein. Das grundlegendeBeispiel hierfür ist z 2 + 1 = (z − j)(z + j).Gibt es Eigenschaften von R, die C nicht hat? Ja, komplexe Zahlen können nicht rechnerischsinnvoll der Größe nach angeordnet werden. Gäbe es eine sinnvolle Anordnung von C,dann sollte diese auf jeden Fall auf den reellen Zahlen mit der üblichen Anordnung übereinstimmen.Ferner sollte die Anordnung eine Mindestverträglichkeit mit den Operationen Additionund Multiplikation aufweisen. (Wir formulieren diese Eigenschaften genauer im nächsten Abschnitte.)Die weiter oben skizzierte Argumentation liefert dann aber den Widerspruch, dass eskeine Quadratwurzel aus −1 geben kann. Wir werden Ungleichungen wie a < b oder a ≥ bstets so interpretieren, dass a und b reelle Zahlen sind; anderenfalls sind solche Ungleichungensinnlos.2 Ungleichungen und AbsolutbeträgeReelle Zahlen kann man der Größe nach vergleichen. Man verwendet die üblichen Symbole:a < b heißt „a ist echt kleiner als b“, a ≥ b heißt „a ist größer oder gleich b“, usw. Alle Regelnfür das Rechnen mit Ungleichungen folgen aus den nachfolgenden Anordnungsaxiomen. Füra,b,c ∈ R gelten:Vergleichbarkeit a < b oder a = b oder a > bTransitivität Aus a < b und b < c folgt a < c.Verträglichkeit Wenn a < b, dann ist a + c < b + c. Gilt auch 0 < c, dann ist ac < bc.Einige Folgerungen aus diesen Axiomen sind:(i) Aus 0 < a folgt (−a) < 0. (Denn: (−a) = 0 + (−a) < a + (−a) = 0.)(ii) Aus a < b folgt −b < −a. (Beweis: Addiere (−a) + (−b) zu beiden Seiten von a < b.)(iii) a 2 = (−a) 2 > 0, wenn a ≠ 0.(iv) 0 < 1 < 1 + 1 =: 2, insbesondere 0 ≠ 2.5