Höhere Mathematik A für Elektrotechniker

(a)∫ √1 − x 2 dx = 1 ( √x 1 − x22 + arcsinx ) +C, denn mit der Substitution x = sint haben wirdx = cost dt und∫ √∫ √∫1 − x 2 dx = 1 − sin 2 t cost dt = cos 2 t dt= 1 ( ) 1( √sint cost +t = sint 1 − sin 2 t +t ) .22Die Rücksubstitution t = arcsinx liefert die behauptete Formel. In den Rechnungen wird|x| < 1 angenommen.∫∫(b) f (e x ) dx = f (s) 1 s ds mit s = ex , ds = s dx. Zahlenbeispiel:∫ 10e x ∫ e1 + e 2x dx = s 11 + s 2 ds = arctan(e) − arctan(1)s1(c)∫ ba∫ −bf (−x) d= −−a∫ −af (z) dz =−bf (x) dxEine Funktion f heißt gerade (bzw. ungerade), wenn gilt f (−x) = f (x) (bzw. f (−x) =− f (x)) für alle x ∈ R gilt. Aus Obigem folgt, dass ∫ b−b f (x) dx = 2∫ b0 f (x) dx gilt, wennf gerade ist und b > 0. Für ungerades f gilt dagegen ∫ b−b f (x) dx = 0. Beispiele geraderFunktionen sind cos und cosh. Dagegen sind sin und sinh ungerade Funktionen.Integration rationaler FunktionenEine wichtiger Schritt bei der Berechnung von Integralen ist oft eine Vereinfachung des Integranden:20.5 Beispiel. Integration nach Zerlegung eines Bruches in einfachere Ausdrücke:∫ 2x 4 + x 2 − 3x 2 + 1∫ (2xdx =2 − 1 − 2 ) 2 dx =x 2 + 1 3 x3 − x + 2arctan(x) +C.Der gegebene Integrand ist eine rationale Funktion, d.h. ein Bruch von Polynomen. Durch Polynomdivisionwurde der Integrand vereinfacht.Ist der Grad des Zählerpolynoms mindestens so groß wie der des Nennerpolynoms, dann isteine Polynomdivision mit Rest durchführbar. Die zugehörige rationale Funktion wird dadurchzerlegt in eine Summe aus einem Polynom und einer echt gebrochenen rationalen Funktion, fürdie der Zählergrad echt kleiner ist als der Nennergrad.Echt gebrochene rationale Funktionen versucht man mit einer Partialbruchzerlegung (PBZ)zu vereinfachen; im Idealfall:p(x)q(x) = A 1+ ··· +A N.x − a 1 x − a NDazu zerlegt man das Nennerpolynom in Linearfaktoren, q(x) = (x − a 1 )...(x − a N ), bringt dierechte Seite auf den Hauptnenner und bestimmt schließlich die Koeffizienten A j .49