Höhere Mathematik A für Elektrotechniker

20.2 Beispiel. Mit x(t) = 2t + 1 und f (x) = √ x gilt∫ 402 √ 2t + 1 dt =∫ 91√ x dx =23 x3/2∣ ∣ 9 0 = 523 .Bei Verwendung unbestimmter Integrale ist eine Rücksubstitution auszuführen:∫f (x) dx ∣ ∫x=x(t)= f (x(t))x ′ (t) dt.Das obige Beispiel kann mit unbestimmter Integration etwa so behandelt werden:∫2 √ ∫ √x 22t + 1 dt = dx =3 x3/2 = 2 3 (2t + 1)3/2 +C.In der Praxis rechnet man häufig wie folgt: dx = 2 dt und daher∫2 √ 2t + 1 dt =∫ √x dx = ...Die zugehörige allgemeine Formel lautet∫∫f (x(t)) dt =f (x) dtdx dx.Bei bestimmter Integration ist keine Rücksubstitution nötig. Stattdessen muss man aber die Integrationsgrenzenumwandeln:∫ b20.3 Beispiele. Integration mittels Substitution.a∫ x(b)f (x(t)) dt = f (x) dt dx. (14)x(a) dx(i) Flächeninhalt F des Einheitskreises. Wir substituieren x = sint in∫ 1F = 2= 2−1∫ π/2−π/2√∫ π/21 − x 2 dx = 2cos 2 t dt = π.−π/2√1 − sin 2 t dt(ii) Mit der Substitution x = t 2 erhält man∫te −t2 dt = 1 ∫e −x dx = − 1 22 e−x +C = − 1 2 e−t2 +C.Im letzten Schritt wurde eine Rücksubstitution durchgeführt.Viele in Integraltafeln angegebene Integrale werden mittels partieller Integrationen oder mitHilfe von Substitutionen berechnet.20.4 Beispiele. Weitere Beispiele für Integration mittels Substitution:48