Höhere Mathematik A für Elektrotechniker

Partielle IntegrationDie Produktregel der Differentialrechnung lautet (uv) ′ = u ′ v+uv ′ . Integriert man die umgestellteFormel uv ′ = (uv) ′ − u ′ v, dann erhält man die Regeln der partiellen Integration (oder Produktintegration):∫∫u(x)v ′ (x) dx = u(x)v(x) − u ′ (x)v(x) dx,∫ bau(x)v ′ (x) dx = u(x)v(x) ∣ ∫ bb a − u ′ (x)v(x) dx.20.1 Beispiele. Wir wenden partielle Integration an.∫∫(i) xcosx dx = xsinx − sinx dx = xsinx + cosx +C(ii)∫∫lnx dx =∫x ′ lnx dx = xlnx −x 1 dx = xlnx − x +Cxa(iii)∫ b∫ bcos 2 x dx = cosx(sinx) ′ dx = (cosxsinx) ∣ ∫ bb 0 + sin 2 x dx.000Ersetze sin 2 x durch 1 − cos 2 x und stelle um:Folglich haben wir2∫ b0∫ bSpeziell gilt ∫ π/20cos 2 x dx = π/4.Substitution0cos 2 x dx = cos(b)sin(b) +∫ bcos 2 x dx = 1 2 cos(b)sin(b) + b 2 .Eine Verkettung G(t) = F(x(t)) differenzierbarer Funktionen differenziert man nach der Kettenregel:G ′ (t) = F ′ (x(t))x ′ (t).Ist F eine Stammfunktion von f , dann hat manIntegriert man, dann ergibt sich∫ ba01 dx.f (x(t))x ′ (t) = G ′ (t), F ′ (x) = f (x), G(t) = F(x(t)).∫ bf (x(t))x ′ (t) dt = G ′ (t) dt = G ∣ ∫ x(b)b a = F∣ ∣ x(b)x(a) = f (x) dx.ax(a)Wir damit eine Form der Substitutionsregel erhalten:∫ x(b)x(a)∫ bf (x) dx = f (x(t))x ′ (t) dt (13)a47