Höhere Mathematik A für Elektrotechniker

19.2 Beispiele. Die Formel (12) erlaubt oft eine einfache Berechnung von Integralen.(i) ∫ ba 1 dx = x|b a = b − a(ii) ∫ ba xn dx = 1n+1 (bn+1 − a n+1 )(iii) ∫ 10 ex dx = e x | 1 0 = e − 1(iv) ∫ π0 sinx dx = −cosx|π 0 = 2Die Menge aller Stammfunktionen F von f nennt man das unbestimmte Integral von f undschreibt dafür ∫ f (x) dx:∫f (x) dx = F(x) +C ⇐⇒ F ′ (x) = f (x),C eine Konstante. Das Aufsuchen einer Stammfunktion („Aufleiten“) ist nach dem Hauptsatzeine Technik zur Berechnung von Integralen. Mit unserer Kenntnis von speziellen Ableitungenkönnen wir eine einfache Tabelle von Grundintegralen aufstellen:∫f (x)f (x) dx∫ 2x a (a ≠ −1)1xa x (a > 0,a ≠ 1)x a+1a + 1 +Cln|x| +Ca xlna +Csinx −cosx +Ccosx sinx +C11 + x 2 arctanx +C. . . . . .Eine Anwendung: 4 x dx = 4x∣ 20 ln40 = 152ln2Der Hauptsatz besagt, dass ein Integral sofort berechnet werden kann, wenn der Integrandeine Ableitung ist:∫ baf ′ (x) dx = f (b) − f (a)Eine andere Formulierung des Hauptsatzes ist:20 Integrationsmethodenund∫∫d xf (t) dt = f (x).dx af ′ (x) dx = f (x) +C.Aus den Rechengesetzen für das Differenzieren erhält man mit Hilfe des Hauptsatzes Methodenzur Berechnung bestimmter Integrale. Diese Gesetze werden für bestimmte und für unbestimmteIntegrale formuliert.46