Höhere Mathematik A für Elektrotechniker

Hier sind a = x 0 < x 1 < ··· < x N = b eine Zerlegung des Intervalls [a,b], y k = f (x k ), und diez k ∈]x k−1 ,x k [ sind Zwischenstellen aus dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung:y k − y k−1x k − x k−1= f ′ (z k ).Ist f differenzierbar mit stetiger Ableitung, dann existiert der Grenzwert der Näherungen, wenndie Feinheiten gegen Null gehen. Somit istdie Länge des Graphen von f .L =∫ ba√1 + f ′ (x) 2 dx18.3 Beispiel. Das bestimmte Integral I = ∫ 21√1 + x −2 dx ist sowohl Flächeninhalt des Subgraphendes Integranden als auch die Längen des Graphen von y = lnx für 1 ≤ x ≤ 2.19 Der Hauptsatz der Differential- und IntegralrechnungDifferentiation und Integration betreffen Konzepte und Fragestellungen, die auf den ersten Blicknichts miteinander zu tun haben: einerseits Tangentensteigungen und Extremwertaufgaben, andererseitsFlächeninhalte und Längen. Ein tiefer Zusammenhang wurde im 17-ten Jahrhundertvon Barrow, Newton und Leibniz aufgedeckt. Dieser Zusammenhang wird sichtbar, wenn manden Flächeninhalt variert, indem man die obere Integrationsgrenze als eine Variable t ansieht.Dann betrachtet man die Integral- oder Flächenfunktion I zu einer gegebenen (stetigen) Funktionf :∫ tI(t) := f (x) dx.aDiese Funktion ist differenzierbar, und ihre Steigung ist I ′ (t) = f (t), dennI(t + h) − I(t)= 1 ( ∫ t+h ∫ t)f (x) dx − f (x) dx = 1 ∫ t+hf (x) dx = f (t + θh)h h aah twobei 0 < θ < 1 nach dem MWS der Integralrechnung existiert. Aus der Stetigkeit von f bei tfolgt I ′ (t) = f (t), d.h. die Integralfunktion I ist eine Stammfunktion für f .Offenbar ist I(a) = 0. Daher ist I(b)−I(a) = ∫ ba f (x) dx. Ändert man I(t) durch Addition einerKonstanten ab, so bleibt diese Formel gültig.19.1 Satz (Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung). Die Integralfunktion einer stetigenFunktion f : [a,b] → R ist eine Stammfunktion für f . Ist F irgendeine Stammfunktion für f , danngilt∫ bf (x) dx = F(b) − F(a) =: F| b a. (12)aDa F(t) und die Integralfunktion I(t) dieselbe Ableitung haben, unterscheiden sie sich nur umeine Konstante (Folgerung aus dem MWS der Differentialrechnung). Nach Obigem gilt daherdie Formel (12).45