Höhere Mathematik A für Elektrotechniker

(iii) Ähnlich berechnet man ∫ 10 x2 dx = 1 3 .(iv) Für ∫ 10 ex dx verwenden wir auch die obigen Zerlegungen und die Formel für geometrischeSummen:O( f ,Z N ) = ∑ N 1 k=1 ek/N N = 1 N e1/N ∑ N−1 (k=0 e1/N ) k= 1 1 − eN/Ne1/NN 1 − e 1/N = (e − 1/n1)e1/Ne 1/N − 1Für N → ∞ folgt O( f ,Z N ) → e − 1, denn lim x→0 e x x= 1 und lim x→0 e x −1= 1 (nach l’Hospital).Die Folge der Untersummen hat denselben Grenzwert; folglich ist ∫ 10 ex dx = e − 1.Für das bestimmte Integral leitet man folgende Eigenschaften und Rechengesetze her:Positivität f ≥ 0 =⇒ ∫ baf (x) dx ≥ 0Linearität ∫ ba (α f (x) + βg(x)) dx = α ∫ ba f (x) dx + β ∫ ba g(x) dx für α,β ∈ R.Beispiel: ∫ 10 (5x + 2ex ) dx = 5 ∫ 10 x dx + 2∫ 10 ex dx = 5 2 + (e − 1) = 1 2 + e.Teilintegration Seien a < b < c und f : [a,c] → R. Dann ist f über [a,c] integrierbar, wenn füber die Teilintervalle [a,b] und [b,c] integrierbar ist, und es gilt∫ c ∫ b ∫ cf (x) dx = f (x) dx + f (x) dx. (11)aabBeispiel: ∫ 2−1 |x| dx = ∫ 0−1 (−x) dx + ∫ 20 x dx = 5 2 .Mittelwertsatz der Integralrechnung Das bestimmte Integral ist gleich einer Rechteckfläche,deren Grundseite das Integrationsintervall ist und deren Höhe ein Funktionswert an einergeeigneten Zwischenstelle ist:∫ bf (x) dx = f (z)(b − a) für ein z ∈]a,b[.aAus der Regel für die Teilintegration und dem Satz über die Integrierbarkeit stetiger Funktionenfolgt, dass auch stückweise stetige Funktionen interierbar sind. Es gibt Funktionen, dienicht integrierbar sind. – Beispiele?Bisher setzen wir bei bestimmten Integralen ∫ ba f (x) dx stets a < b voraus. Es ist praktisch,auch den Fall a ≥ b durch folgende Definitionen zuzulassen:∫ aaf (x) dx := 0,∫ baf (x) dx := −∫ abf (x) dx.Damit gilt (11) für alle a,b,c ∈ R.Das bestimmte Integral tritt nicht nur bei der Berechnung von Flächeninhalten auf, sondernbeispielsweise auch bei der Bestimmung von Kurvenlängen. Man nähert den Graphen von f :[a,b] → R durch einen Polygonzug an und erhält folgende Näherung für seine Länge L:L ≈ ∑ N k=1√(x k − x k−1 ) 2 + (y k − y k−1 ) 2 = ∑ N k=1√1 + ( f ′ (z k )) 2 (x k − x k−1 ).44